河北省武邑中学2020届高三数学(文)下学期第二次质检试题(Word版有答案)
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资料简介
第 7 页 共 21 页 河北武邑中学 2019—2020 学年高三年级下学期第二次质检考试 数学试题(文科)答案 一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符 合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。 1.已知集合 A={x|x2﹣3x﹣4<0},B={y|y=2x+3},则 A∪B=( ) A.[3,4) B.(﹣1,+∞) C.(3,4) D.(3,+∞) 解:∵集合 A={x|x2﹣3x﹣4<0}={x|﹣1<x<4},B={y|y=2x+3}={y|y>3}, ∴A∪B={x|x>﹣1}=(﹣1,+∞).故选:B. 2.已知复数 z1=3﹣bi,z2=1﹣2i,若 是实数,则实数 b 的值为( ) A.0 B.﹣6 C. 6 D. 解:∵ = = = 是实数, 则 6﹣b=0,∴实数 b 的值为 6, 故选 C 3.党的十九大报告明确提出:在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资 源通过社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响, 在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验,根据四个企业得到的试验数据画出如下四个 等高条形图,最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是( ) A. B. C. D. 解: 根据四个列联表中的等高条形图可知, 图中 D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大, 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果,故选 D. 4.设 1tan 2   , 4cos(π ) ( (0,π))5      ,则 tan(2 )  的值为( ) A. 7 24  B. 5 24  C. 5 24 D. 7 24第 8 页 共 21 页 解: 1tan 2   , 2 2tan 4tan 2 1 tan 3    , 4cos(π ) cos5       , ( (0,π)  , 4cos 5   , 3sin 5   , 3tan 4   , 4 3 tan 2 tan 73 4tan(2 ) 4 31 tan 2 tan 241 3 4            【答案】D 5.大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释我国传 统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和. 已知该数列前 10 项是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则大衍数列中奇数项的通项公式 为( )A. 2 2 n n B. 2 1 2 n  C. 21 2 n   D. 2 2 n 解:由题意 1 0a  ,排除 D, 3 4a  ,排除 A,C.同时 B 也满足 5 12a  , 7 24a  , 9 40a  , 故选:B. 6.椭圆 2 2 39 1x y  的左、右焦点分别为 1F 、 2F ,点 P 在椭圆上,如果 1PF 的中点在 y 轴上,那么 1PF 是 2PF 的( ) A.7 倍 B.6 倍 C.5 倍 D.4 倍 【答案】C 7.如图所示,某几何体的正视图与俯视图均为边长为 4 的正方形, 其侧视图中的曲线为 圆周,则该几何体的体积为( ) A. B. C. D.第 9 页 共 21 页 解:结合题意,绘制图像,如图所示 平面 DEF 的面积为 ,故该几何体的体积 ,故选 B. 8.函数 ( ) 2 1 x xf x x    的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据导数和单调性的关系,判断函数的单调性,再判断函数的变化趋势,即可得到答案. 【详解】 解: 1( ) 2 2 11 1 x xxf x x x       的定义域为 ( , 1) ( 1, )     , 2 1( ) 2 ln 2 0( 1) xf x x      恒成立, ( )f x 在 ( , 1)  , ( 1, )  单调递增, 当 0x x 时, ( ) 0f x  ,函数单调递增,故排除C , D , 当 x   时, 2 0x  , 11 x x  , ( ) 1f x  ,故排除 B ,第 10 页 共 21 页 故选:A. 【点睛】 本题主要考查函数图象的识别,关键是掌握函数的单调性和函数值的变化趋势,属于中档题. 9.已知函数     20,0,0 A 与 轴交于点    2 3,0M ,距离 轴最近的 最高点    3,9 N ,若 ,且 ,恒有 ,则实数 的最大值为( ) A. B. C. D. 解:由题意得, , , , ,由五点作图法知 ,解得 , ,令 , . 解得 , . , ,故选:C. 10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着 一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边 饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为 x2+y2≤1, 若将军从点 A(3,0)处出发,河岸线所在直线方程为 x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区 域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( ) A. 117  B. C. D. 【答案】A 【解析】分析:求出 A 关于 x+y=4 的对称点 A',根据题意,A'C﹣ 为最短距离,求出即可. 解:设点 A 关于直线 x+y=4 的对称点 A'(a,b),设军营所在区域为的圆心为 C, 根据题意,A'C﹣1 为最短距离,先求出 A'的坐标,第 11 页 共 21 页 AA'的中点为( , ),直线 AA'的斜率为 1, 故直线 AA'为 y=x﹣3, 由 ,联立得故 a=4,b=1, 所以 A'C= , 故 A'C﹣1= 117  ,故选:A. 11.如图, 为 的外心, 为钝角, 是边 的中点, 则 的值为( ) A. 4 B. C. D. 12.已知定义在 R 上的函数  y f x 对任意 x 都满足    1f x f x   ,且当 0 1x  时,  f x x ,则函数     ln | |g x f x x  的零点个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C 【解析】 【详解】 当 01  x 时,则 110  x , 此时有 ( ) ( 1) 1f x f x x      , ∵    1f x f x   , ∴    2 1 [ ( )] ( )f x f x f x f x        , ∴函数  y f x 是周期为 2 的周期函数.第 12 页 共 21 页 令     ln 0g x f x x   ,则   lnf x x , 由题意得函数     lng x f x x  的零点个数即为函数  y f x 的图象与函数 y ln x 的图象交 点的个数. 在同一坐标系内画出函数  y f x 和函数 y ln x 的图象(如图所示), 结合图象可得两函数的图象有三个交点, ∴函数     lng x f x x  的零点个数为 3.选 C. 点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图 象,利用数形结合的方法求解. 13.若 ,x y 满足约束条件 2 2 0 3 3 0 0 x y x y x          ,则 z x y  的最小值为( ) A. 3 B.1 C. 2 解:先作可行域,则直线 z x y  过点 (0,2)A 时取最小值 2 , 选 C. 14.利用随机模拟方法计算 4y 和 2y x= 所围成图形的面积.首先利 用计算机产生两组 0~1 区间的均匀随机数, 1a RAND , RANDb 1 ,然后进行平移和伸缩变换,   11 4,5.04 bbaa  , 若共产生了 N 个样本点 ( , )a b ,其中落在所围成图形内的样本点数为 1N ,则所围成图形的面积可估第 13 页 共 21 页 计为__________.(结果用 N , 1N 表示) 【答案】 N N116 15.已知双曲线 C : 2 2 2 2 1x y a b    0, 0a b  的左右焦点分别为 1F , 2F ,P 为双曲线C 上一点,Q 为双曲线 C 渐近线上一点, P ,Q 均位于第一象限,且 22QP PF  , 1 2 0QF QF   ,则双曲线C 的离心率为__________. 【答案】 13 2 【解析】 由双曲线的方程 2 2 2 2 1x y a b   的左右焦点分别为 1 2,F F , P 为双曲线C 上的一点, Q 为双曲线C 的 渐近线上的一点,且 ,P Q 都位于第一象限,且 2 1 22 , 0QP PF QF QF      , 可知 P 为 2QF 的三等分点,且 1 2QF QF  , 点Q 在直线 0bx ay  上,并且 OQ c ,则 ( , )Q a b , 2 ( ,0)F c , 设 1 1( , )P x y ,则 1 1 1 12( , ) ( , )x a y b c x y     , 解得 1 1 2 2,3 3 a c bx y  ,即 2 2( , )3 3 a c bP  , 代入双曲线的方程可得 2 2 (2 ) 4 19 9 a c a    ,解得 13 2ce a    点睛:本题考查了双曲线的几何性质,离心率的求法,考查了转化思想以及运算能力,双曲线的离心 率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出 ,a c ,代入公式 ce a  ;②只需要根据一个条件得到关于 , ,a b c 的齐次式,转化为 ,a c 的齐次式,然 后转化为关于 e 的方程(不等式),解方程(不等式),即可得 e ( e 的取值范围). 16.点 P 为棱长是3的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的内切球O 球面上的动点,点 P 满足 1BP AC , 则动点 P 的轨迹的长度为第 14 页 共 21 页 17.(本题满分 12 分) 为利于分层教学,某学校根据学生的情况分成了 A,B,C 三类,经过一段时间的学习后在三类学生中分 别随机抽取了 1 个学生的 5 次考试成绩,其统计表如下: A 类 第 x 次 1 2 3 4 5 分数 y(小于等于 150) 145 83 95 72 110       180,10 5 1 2 5 1 2 5 1    i i i i i i yyxxxx ; B 类 第 x 次 1 2 3 4 5 分数 y(小于等于 150) 85 93 90 76 101       60,10 5 1 2 5 1 2 5 1    i i i i i i yyxxxx C 类 第 x 次 1 2 3 4 5 分数 y(小于等于 150) 85 92 101 100 112第 15 页 共 21 页       63,10 5 1 2 5 1 2 5 1    i i i i i i yyxxxx (3)经计算已知 A,B 的相关系数分别为 ,25.0,45.0 21  rr 请计算出 C 学生的   5,4,3,2,1, iyx ii 的相关系数,并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定;(结果保留三位有效数字, r 越大认为成绩越稳定)。 (4)利用(1)中成绩最稳定的学生的样本数据,已知线性回归方程为 axy ˆ2.6ˆ  ,利用线性回归 方程预测该生第九次的成绩。 参考公式:(1)样本 ( )(, 1,2, , )i ix y i n  的相关系数 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            (2)对于一组数据 1 1( , )x y , 2 2( , )x y , ,( , )n nx y ,其回归方程 y b x a      的斜率和截距的最小 二乘估计分别为 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i x x y y b x x          , a y b x     . 相关系数 984.063 62 3 r ,第 16 页 共 21 页 又因为 213 rrr  ,则 C 类学生学习成绩最稳定 当 9x 时, 2.135ˆ y , 所以预测该生的第九次成绩约为 135.2. 18.已知等比数列 na 的公比 1q  ,且 1 3 5 42a a a   , 3 9a  是 1 5,a a 的等差中项,数列 nb 的 通项公式 1 2 1 1 n n n n b a a      , *n N . (1)求数列 na 的通项公式; (2)求数列 nb 的前 n 项和 nS . 解:(1)由 3 9a  是 1a , 5a 的等差中项得 1 5 32 18a a a   , 所以 1 3 5a a a  33 18 42a   ,解得 3 8a  , 由 1 5 34a a  ,得 2 2 8 8 34qq   ,解得 2 4q  或 2 1 4q  ,因为 1q  ,所以 2q = . 所以, 2n na  . (2)由(1)可得 1 2 2 1 2 1 n n n n b      , *n N . 所以 1 2 2 1 2 1 n n n n b       1 1 1 2 ( 2 1 2 1) ( 2 1 2 1)( 2 1 2 1) n n n n n n n             1 1 2 ( 2 1 2 1) 2 1 2 1 n n n n n         1 12 ( 2 1 2 1) 2 1 2 12 n n n n n n         , 所以 +... ...第 17 页 共 21 页 19.如图,四边形 PCBM 是直角梯形, 90PCB   , //PM BC , 1PM  , 2BC  ,又 1AC  , 120ACB  , AB PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°. (1)求证: PC AC ; (2)求点 B 到平面 ACM 的距离. 【答案】(1)证明见解析;(2) 2 21 7 . 【解析】 【分析】 (1)根据已知 BC PC , AB PC ,可得 PC  平面 ABC ,即可证明结论; (2)过 M 做 / /MO PC ,交 BC 于O ,连 AO ,根据 (1)可得OM  平面 ABC ,得到 OMA 为异面直线 AM 与直线 PC 所成的角,在 AOC 求出OA, Rt AOM 中可得出 ,OM AM ,求出 ,ACM ABCS S  , 用等体积法,即可求解. 【详解】 (1)∵ BC PC , AB PC , AB BC B  , ∴ PC  平面 ABC , ∵ AC  平面 ABC , PC AC  . (2)过 M 做 / /MO PC ,交 BC 于O ,连 AO ,第 18 页 共 21 页 1PM  , 2BC  , O 为 BC 中点, PC  平面 ABC , OM  平面 ABC , OM OA  , OMA∴ 为异面直线 AM 与直线 PC 所成的角, 60OMA  ,在 AOC 中,由余弦定理得, 2 2 2 2 cos 3OA CA OC CA OC ACB       , 3, 1, 2tan 60 OAOA OM AM     , 2MC  在 ACM 中, 2 2 2 4 1 2 3cos 2 2 2 1 4 AM AC MCMAC AM AC          , 2 7sin 1 cos 4MAC MAC      , 1 7sin2 4MACS AC AM MAC      , 1 3sin2 2ABCS CA CB ACB      , 设点 B 到平面 ACM 的距离为 , M ABC B MACh V V  , 3 1 1 2 212,3 3 77 4 ABC MACS OM S h h       , 点 B 到平面 ACM 的距离为 2 21 7 . 【点睛】 本题考查空间点、线、面位置关系,证明直线与直线垂直,应用等体积法求点到平面的距离,考查直 观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于中档题. .第 19 页 共 21 页 20.(本题满分 12 分)已知抛物线 2 2y x ,过点 (1,1)P 分别作斜率为 1k , 2k 的抛物线的动弦 AB 、 CD ,设 M 、 N 分别为线段 AB 、CD 的中点. (Ⅰ)若 P 为线段 AB 的中点,求直线 AB 的方程; (Ⅱ)若 1 2 1k k  ,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解:(Ⅰ)设 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y ,则 2 1 12y x ①, 2 2 22y x ②. ①-②,得 1 2 1 2 1 2( )( ) 2( )y y y y x x    . 又因为 (1,1)P 是线段 AB 的中点,所以 1 2 2y y  所以, 2 1 1 2 1 2 1 2= 1y yk x x y y    . 又直线 AB 过 (1,1)P ,所以直线 AB 的方程为 y x ;…………………………………5 分 (Ⅱ)依题设 ( , )M MM x y ,直线 AB 的方程为 11 ( 1)y k x   ,即 1 11y k x k   , 亦即 1 2y k x k  ,代入抛物线方程并化简得 2 2 2 1 1 2 2(2 2) 0k x k k x k    . 所以, 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2k k k kx x k k      …………………………………7 分 于是, 1 2 2 1 1 M k kx k  , 1 2 1 2 1 22 11 1 1 M M k ky k x k k k kk        . 同理, 1 2 2 2 1 N k kx k  , 2 1 Ny k .…………………………………9 分 易知 1 2 0k k  ,所以直线 MN 的斜率 2 1 2 11 M N M N y y k kk x x k k    . 故直线 MN 的方程为 2 1 1 2 2 1 2 1 1 11 ( )1 k k k ky xk k k k    , 即 2 1 2 1 11 k ky xk k  .此时直线过定点 (0,1) . 故直线 MN 恒过定点 (0,1) .…………………………………12 分 21.(本题满分 12 分)已知函数 ( ) xf x e x  . (1)讨论 ( )f x 的单调性; (2)若 1 2( ) ( )f x f x , 1 2x x ,求证: 1 2 2x xe e  . 解:(Ⅰ)函数  f x 定义域为 ,R   1xf x e   ,第 20 页 共 21 页 令   0f x  得  0,x  ,令   0f x  得  ,0x  , 故  f x 在 0, 单调递增,在 ,0 单调递减. ……………4 分 (Ⅱ)    1 2 ,f x f x 不妨设 2 1x x ,则 2 1 1 2 1 2 2 1 , 1 x x x x e ee x e x x x      , 要证: 1 2 2,x xe e  即证:  2 1 2 1 2 1 2x x x x x x e ee e     ……(*), 而     2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x ee e x xe e e         ,令  2 1, 0,t x x t    , (*)等价于    1 2 1 2 2 0, 0,1 t t t t et t e e te          ,……………8 分 设      1 2 2, 0,t tg t t e e t      ,      1 1 2 1 1,t t tg t t e e t e        令    1 1,th t t e   ∵  ' 0th t te  在  0,t   恒成立, 则  g t 在  0,t   单调递增,故    0 0g t g   ,故  g t 在  0,t   单调递增, 故    0 0g t g  ,故原命题得证.……………12 分 22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为 3 cos 3 3sin x y       ( 为参数),以坐标原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 2cos  . (1)求曲线 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程; (2)已知曲线 3C 的极坐标方程为  ( 0    , R ),点 A 是曲线 3C 与 1C 的交点,点 B 是 曲线 3C 与 2C 的交点, A 、 B 均异于原点O ,且| | 2 2AB  ,求实数 的值. 解:(1)曲线 1C 的参数方程为 3 cos 3 3sin x y       ,消去参数 , 可得曲线 1C 的普通方程为:  22 3 3x y  第 21 页 共 21 页 故:曲线 2C 的极坐标方程为 2cos  . 2 2 cos    又 cos sin x y        故: 2C 的直角坐标方程为:  2 21 1x y   . (2)曲线 1C :  22 3 3x y   化为极坐标方程为 2 3sin  设点  1,A   ,  2 ,B   ,依题设知 1 2 3sin  , 2 2cos  所以| | | 2 3sin 2cos | 4 sin 6AB          由| | 2 2AB  知 2sin 6 2       因为 5 6 6 6       ,故 6 4     或 3 6 4     23.已知函数   2 3f x x a x    ,   2 3g x x   .  1 解不等式   6g x  ;  2 若对任意的 2x R ,均存在 1x R ,使得    1 2g x f x 成立,求实数 a 的取值范围. 解:(Ⅰ)由 2 3 6x    ,得 6 2 3 6x     , ∴ 9 2 3x    ,得不等式的解为 1 5x   (Ⅱ)      2 3 2 3 2 3f x x a x x a x a          ,   2 3 3g x x    ,  对任意的 2x R 均存在 1x R ,使得    2 1f x g x 成立,       y y f x y y g x   ,  2 3 3a   ,解得 0a  或 3a   , 即实数 a 的取值范围为: 0a  或 3a   .

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