广东省广州市广州大学附属中学 2020 届高三第一次模拟考试卷
理科数学
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题只有一个选项符合题意.)
1 已知集合 ()
A.[1,+∞) B. [1,3] C.(3,5] D.[3,5]
2.若复数 z 满足 z(1-i)=|1-i|+i，则 z 的实部为( )
C.1
3 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15°C,B 点表示四月的平均最低气温约为 5C。下面叙述不正确的是
A.各月的平均最低气温都在 0°C 以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均气温高于 20°C 的月份有 5 个
4.以下四个命题中，真命题的是( )
A.∃x∈(0,π), sinx= tanx
B. “对任意的 的否定是“存在
C. θ∈R，函数 f (x)=sin(2x+ θ)都不是偶函数
D. △ABC 中，“sin A+sin B=cosA +cosB”是“ ”的充要条件
5.若实数 x,y 满足约束条件 则 z=3x+2y 的最大值是( )
A. -1 B.1 C.10 D.12
6 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“ 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十
一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2
2{ | 6 5 0}, { | 3},A x x x B x y x A B= − + ≤ = = − ∩ =则
2 1. 2A
−
. 2 1B − 2 1. 2D
+
2, 1 0x R x x∈ + + > 2
0 0 0, 1 0x R x x∈ + + <
∀
2C
π=
3 4 0
3 4 0,
0
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
+ ≥倍，则塔的顶层共有灯
A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏
7 在同一直角坐标系中,函数 y 0 且 a≠1)的图象可能是( )
8.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点， 则点落在四面体内的概率为（ ）
9“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的,但从历史的角度讲,该不等式应
当称为柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将
这 一 不 等 式 推 广 到 完 善 的 地 步 ， 在 高 中 数 学 选 修 教 材 4-5 中 给 出 了 二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 :
当且仅当 ad=bc (即 时等号成立.该不等式在数学中证明不等式和求
函数最值等方面都有广泛的应用.根据柯西不等式可知函数 的最大值及取得最大
值时 x 的值分别为( )
10.如图,在正方体 中，点 O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 上，直线 OP 与平
1 1, log ( )(2ax y x aa
= = + >
9. 13A π
1. 13B π
9 13. 169C π
13. 169D π
2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd+ + ≥ + )a b
c d
=
( ) 2 5 4f x x x= − + −
21. 5, 5A 21. 3, 5B 61. 13,13C 61. 29,13D
1 1 1 1ABCD A B C D− 1CC面 所成的角为 α，则 sinα 的取值范围是
11 设直线 l 与抛物线 相交于 A,B 两点,与圆 )相切于点 M，且 M 为线段
AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是( )
A. (1,3)
D. (2,4)
12.若 ，不等式 x +sin x≥mxcosx 恒成立，则正实数 m 的取值范围是( )
A.(0,1] B.(0,2] D.(3,+∞)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.已知向量 则 在 方向上的投影是___.
14.为了提高命题质量，命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这 3 种题型进行改编，
则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为___种.
15 在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 右支上的一个动点.若点 P 到直线 x-y+1= 0 的距离
大于 c 恒成立，则是实数 C 的最大值为____
16. 在 △ ABC 中 ， AC=2, P 是 △ ABC 内 部 一 点 ， 且 满 足
，则|PA|+|PB|+|PC|=___
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
17.已知数列 满足
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)令 b 求证:
1A BD
3. [ ,1]3A 6. [ ,1]3B 6 2 2. [ , ]3 3C 2 2. [ ,1]3D
2 4y x= 2 2 2( 5) ( 0x y r r− + = >
. (1,4)B . (2,3)C
[0, ]2x
π∀ ∈
3. [ ,2]2C
(1, 3), (3, 3),a b= = b a
2 2 1x y− =
2,AB BC= = BP C PCAS S
PB PC PC PA
∆ =
⋅ ⋅
ABCS
PA PB PB PC PC PA
∆=
⋅ + ⋅ + ⋅
{ }na *
1 2 32 3 ( )na a a na n n N+ + + + = ∈
{ }na na
*
2 1 2( ), ,n n na a n N T b b b+= ∈ = + + +
3.4nT > 3 ,2(2)若该生鲜批发店以当天利润期望值为决策依据，当购进 450 千克比购进 500 千克的利润期望值大时，
求 x 的取值范围.
21 已知函数
(1)求函数 f(x)的最小值;
(2)若函数 g(x)= f(x)-a 在(0,+∞)上有两个零点 ,且 ，求证:
请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做第一个题目计分,作
答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.已知平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 方程为 ρ=
2sin θ. 的参数方程为 (t 为参数) .
(1)写出曲线 的直角坐标方程和 的普通方程;
(2)设点 P 为曲线 上的任意一点，求点 P 到曲线 距离的取值范围.
23.已知关于 x 的不等式 m-|x-2|≥1,其解集为[0，4].
(1)求 m 的值;
(2)若 a, b 均为正实数，且满足 a+b=m,求 的最小值.
2( ) cosf x x xπ= +
1 2,x x 1 2x x< 1 22 .3 2
x x π+ <
2C
11 2
3
2
x t
y t
= − +
=
1C 2C
1C 2C
2 2a b+
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