广东省华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考数学理科试题（答案）.pdf

5 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 4  14. 21 5 15. 0.1 16. 6  三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由 241   naa nn （ 2n ）可化为   12 2 2 0    n na n a n . 令 2 n nc a n，则 1 0 n nc c ，即 1 n nc c . 因为 1 2a ，所以 1 1 2 0  c a ， 所以 0nc ， 即 2 0 na n ，故 2 .na n ……6 分 （若用不完全归纳，没有证明，可给 4 分） （Ⅱ）由  1 2 33 7 2 1      n n nb b b b a ， 可知    1 1 2 3 1 13 7 2 1 2         n n nb b b b a n ， 两式作差得   12 1 2 2    n n n nb a a n ， 即  2 22 1  n nb n . ……10 分 又当 1n 时，也 1 1 2 b a 满足上式， ……11 分 故 2 2 1  n nb . ……12 分 18. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）设日销售量为 x，“有 2 天日销售低于 100 枝，另外 2 天不低于 150 枝”为事件 A. 则  100 0.002 50 0.006 50 0.4P x       ，……1 分  150 0.005 50 0.25P x     ，……2 分   2 2 2 4 0.4 0.25 0.06.P A C     ……4 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D B A C B C D A A6 （Ⅱ）日销售量不低于 100 枝的概率 0.6P ，则  ~ 4,0.6B .……6 分 于是    4 4 0.6 0.4 0,1,2,3,4 .k k kP k C k      ……8 分 则分布列为  0 1 2 3 4 P 16 625 96 625 216 625 216 625 81 625 ……10 分   16 96 216 216 810 1 2 3 4 2.4.625 625 625 625 625E             ……12 分 19. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） //平面l PAC . ……………1 分 证明如下： //EF AC ， AC ABC 平面 ， EF ABC 平面 ， //平面EF ABC . ……………2 分 又 EF BEF 平面 ，平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ， //EF l ． ……………3 分 而 ,l PAC EF PAC 平面 平面 ， //平面l PAC ． ……………………4 分 （Ⅱ）解法一：设直线 l 与圆O 的另一个交点为 D ，连结 DE，FB． 由（Ⅰ）知， / /BD AC ，而 ,AC BC BD BC   ．  PC  平面 ABC ， PC BD  ． 而 PC BC C ， ,BD PBC  平面 又 FB PBC 平面 ， BD BF  ， FBC 是二面角 E l C  的平面角． ………………8 分 1tan cos FC ABFBC BC BC ABC      ． 注意到 0 , 0 cos 12ABC ABC       ， tan 1FBC   ． 0 2FBC    ， ( , )4 2FBC    ，7 即二面角 E l C  的取值范围是 ( , )4 2   ． ………………12 分 解法二：由题意，AC⊥BC，以 CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CP 为 z 轴建立空间直角坐标系， 设 AB  2，BC t (0 2)t  ，则 2(0, ,0), (0,0,2), ( 4 , ,0)B t F D t t ， 2(0, ,2), ( 4 ,0,0)BF t BD t     . …………6 分 设平面 DBF 的法向量为 ( , , )m x y z ， 则由 0 0 m BF m BD          得 2 2 0 4 0 ty z t x      ，取 2y  得 (0,2, )m t ． 易知平面 BCD 的法向量 (0,0,1)n  ， …………8 分 设二面角 E l C  的大小为 ，易知 为锐角． 2 2 | | 1 2cos (0, )2| | | | 44 1 m n t m n t t             ， …………11 分 4 2     ， 即二面角 E l C  的取值范围是 ( , )4 2   ． …………12 分 20. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题可知 ( , 0)F c ，直线 AB 的斜率存在. 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，由于点 A ， B 都在椭圆上， 所以 2 2 1 1 2 2 1 x y a b ①， 2 2 2 2 2 2 1 x y a b ② ①—②，化简得 2 22 1 2 2 2 2 1 2    y yb a x x ③ 又因为离心率为 2 2 ，所以 2 2 1 2 b a . …………2 分 又因为直线 AB 过焦点 F ，线段 AB 的中点为 2 1,3 3     ，8 所以 1 2 4 3   x x ， 1 2 2 3  y y ， 1 2 1 2 1 3 2 3     y y x x c ， 代入③式，得 1 2 1 3 3 2 42 3 3                c ，解得 1c . …………5 分 再结合 2 2 2 a b c ，解得 2 2a ， 2 1b ， 故所求椭圆的方程为 2 2 12  x y . …………6 分 （Ⅱ）证明：设 0 0( , )M x y ，由对称性，设 0 0y ，由 2 2 12  x y ，得椭圆上半部分的方程 为 2 1 2   xy ， 2 2 1' ( ) 4 22 1 2       xy x x x ， 又 1l 过点 M 且与椭圆只有一个公共点，所以 1 0 0 2 00 24 2     l x xk yx ， 所以 0 1 0 0 0 : ( )2    xl y y x xy ， ④ 因为 2l 过点 F 且与 MF 垂直，所以 0 2 0 1: ( 1)  xl y xy ， ⑤………10 分 联立④⑤，消去 y ，得 2 20 0 0 012 2      x x xy x x ， 又 2 20 0 12  x y ，所以 0 0 2 2 02     x x x ，从而可得 2 x ， 所以 1l 与 2l 的交点在定直线 2 x 上． …………12 分 21. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）函数 ( )f x 的定义域为 0x x  ， ( ) 1 a x af x x x     ．…………………1 分9 （1）当 0a  时， ( ) 0f x  恒成立，函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增； （2）当 0a  时， 令 ( ) 0f x  ，得 x a  ． 当 0 x a   时， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 为减函数； 当 x a  时， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 为增函数．…………………2 分 综上所述，当 0a  时，函数 ( )f x 的单调递增区间为 (0, ) ． 当 0a  时，函数 ( )f x 的单调递减区间为 (0, )a ，单调递增区间为 ( ,+ ) a ． ……………………………………………………………………3 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， （1）当 1a  时，即 1a   时，函数 ( )f x 在区间 1,2 上为增函数， 所 以 在 区 间  1,2 上 ， min( ) (1) 1f x f  ， 显 然 函 数 ( )f x 在 区 间  1,2 上 恒 大 于 零；………………4 分 （2）当1 2a   时，即 2 1a    时，函数 ( )f x 在 1 a， 上为减函数，在 ,2a 上为增函数，所以 min( ) ( ) ln( )f x f a a a a      ． 依题意有 min( ) ln( ) 0f x a a a     ，解得  a e ，所以 2 1a    ．………………5 分 （3）当 2a  时，即 2a   时， ( )f x 在区间 1,2 上为减函数， 所以 min( ) (2) 2 ln 2  f x f a ． 依题意有 min( ) 2 ln 2 0  f x a ，解得 2 ln 2a   ，所以 2 2ln 2 a    ． …………6 分 综上所述，当 2 ln 2a   时，函数 ( )f x 在区间 1,2 上恒大于零．………………7 分 （Ⅱ）另解：当 1x  时，显然 ln 1 0x a x   恒成立. …………4 分 当 (1,2]x 时， ln 0 x a x 恒成立 ln    xa x 恒成立 ln xa x    的最大值. 令 ( ) ln   xm x x ，则 2 1 ln'( ) 0ln  xm x x ，易知 ( ) ln   xm x x 在 (1,2]上单调递增， 所以 ( )m x 最大值为 2(2) ln 2m   ，此时应有 2 ln 2  a . …………6 分 综上， a 的取值范围是 2( , )ln 2   . …………7 分10 （Ⅲ）设切点为 0 0 0, ln )x x a x（ ，则切线斜率 0 1 ak x   ， 切线方程为 0 0 0 0 ( ln ) (1 )( )ay x a x x xx      ． 因为切线过点 (1,3)P ，则 0 0 0 0 3 ( ln ) (1 )(1 )ax a x xx      ． 即 0 0 1(ln 1) 2 0a x x     ．………………① ………………8 分 令 1( ) (ln 1) 2g x a x x     ( 0)x  ，则 2 2 1 1 ( 1)( ) ( ) a xg x a x x x     ． （1）当 0a  时，在区间 (0,1) 上， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增； 在区间 (1, ) 上， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减， 所以函数 ( )g x 的最大值为 (1) 2 0g    ． 故方程 ( ) 0g x  无解，即不存在 0x 满足①式． 因此当 0a  时，切线的条数为 0 ． ………………9 分 （2）当 0a  时, 在区间 (0,1) 上， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减，在区间 (1, ) 上， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增，所以函数 ( )g x 的最小值为 (1) 2 0g    ． 取 21 1   ax e e ，则 2 21 1 1 2( ) (1 1) 2 0           a ag x a e aea ． 故 ( )g x 在 (1, ) 上存在唯一零点． 取 21 2 1   ax e e ，则 2 21 1 2 2( ) ( 1 1) 2 2 4           a ag x a e ae aa 21 2[ 2(1 )]    aa e a ． 设 21 ( 1)t ta    ， ( ) 2 tu t e t ，则 ( ) 2  tu t e ． 当 1t  时， ( ) 2 2 0     tu t e e 恒成立． 所以 ( )u t 在 (1, ) 单调递增， ( ) (1) 2 0   u t u e 恒成立． 所以 2( ) 0g x  ．11 故 ( )g x 在 (0,1) 上存在唯一零点． 因此当 0a  时，过点 P (1,3) 存在两条切线． ………………11 分 （3）当 0a  时， ( )f x x ，显然不存在过点 P (1,3) 的切线． 综上所述，当 0a  时，过点 P (1,3) 存在两条切线； 当 0a  时，不存在过点 P (1,3) 的切线．………………………………12 分 （Ⅲ）另解：设切点为 0 0 0, ln )x x a x（ ，则切线斜率 0 1 ak x   ， 切线方程为 0 0 0 0 ( ln ) (1 )( )ay x a x x xx      ． 因为切线过点 (1,3)P ，则 0 0 0 0 3 ( ln ) (1 )(1 )ax a x xx      ， 即 0 0 1(ln 1) 2 0a x x     ． ………………8 分 当 0a  时， 0 2 0  无解. ………………9 分 当 0a  时， 1 2ln 1x x a     ， 令 1( ) ln 1g x x x    ，则 2 1'( )  xg x x ， 易知当 0 1 x 时， 2 1'( ) 0 xg x x ；当 1x 时， 2 1'( ) 0 xg x x ， 所以 ( )g x 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增. ………………10 分 又 (1) 0g  ，且 0 lim ( ) lim ( )x x g x g x     ， 故当 2 0a   时有两条切线，当 2 0a   时无切线， 即当 0a  时有两条切线，当 0a  时无切线. ………………11 分 综上所述， 0a  时有两条切线， 0a  时无切线. ………………12 分 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 证明：（Ⅰ）依题意， 4cosOA ，………………………………………………1 分 4cos 4      OB ， 4cos 4      OC ，……………3 分12 则 4cos 4cos4 4                 OB OC 8cos cos 4  4 2 cos 2 . OA …………5 分 解：（Ⅱ）当 12   时， ,B C 两点的极坐标分别为 2, 3      ， 2 3, 6     ，…………6 分 化成直角坐标为  1, 3B ，  3, 3C . ……………………………7 分 经过点 ,B C 的直线方程为  3 2  y x ，……………………………8 分 又直线 l 经过点 ,0m ，倾斜角为 ，且 0    ， 故 2m ， 2 3   . ………………10 分 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）∵  1 3f ，∴ 1 2 3  a a . …………………………………1 分 1 当 0a 时，得  1 2 3   a a ，即 2 3  a ，∴ 2 03   a ； …………2 分 2 当 10 2  a 时，得  1 2 3  a a ，即 2 a ，∴ 10 2  a ； …………3 分 3 当 1 2 a 时，得  1 2 3  a a ，即 4 3 a ，∴ 1 4 2 3  a . …………4 分 综上所述，实数 a 的取值范围是 2 4,3 3     ． ……………………………………5 分 （Ⅱ）∵   2 2 2f x x a x a     2 1 22     ax x a 1 1 + 22 2       a ax x x a 51 12 2     a ax 5 12  a ， 当 1 2   ax 时，等号成立， ∴  f x 的值最小为 5 12 a . …………8 分 ∴ 51 22  a ， 解得 2 5  a 或 6 5 a ．……………………………………9 分 ∴ 实数 a 的取值范围是 2 6, ,5 5            . …………10 分