高三数学答案第 1页(共 8页)
2020 年石景山区高三统一测试
数学试卷答案及评分参考
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A A B D C C B
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.
6
; 12.15; 13. 2 1,- ;答案不唯一
14. 3 ; 15. 小学中级 .
三、解答题:本大题共 6 个小题,共 85 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步
骤.
16.(本小题 14 分)
(Ⅰ)证明:联结 PO .
在正四棱锥 P ABCD 中,
PO 底面 ABCD .
因为 BO 平面 ABCD ,
所以 PO BO . …………3 分
在正方形 ABCD 中, BO AC ,
又因为 PO AC O ,
所以 BO 面 PAC . …………6 分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, PO , AO , BO 两两垂直,
以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 . …………7 分
在正方形 ABCD 中,因为 2 2AB ,
所以 2AO .
又因为 2 2PB ,
所以 2PO .高三数学答案第 2页(共 8页)
所以点 P 的坐标为 (0, 0, 2)P ,点C 的坐标为 ( 2, 0, 0)C ,
点 B 的坐标为 (0, 2, 0)B . …………8 分
则 ( 2, 0, 2)PC , (2, 2, 0)CB . …………9 分
由(Ⅰ)知, BO 平面 PAC .
所以平面 PAC 的一个法向量为 1 (0, 2, 0)n OB . …………10 分
设平面 PBC 的一个法向量 2 ( , , )n x y z .
则 2
2
0,
0,
n PC
n CB
即 2 2 0,
2 2 0.
x z
x y
令 1y ,则 1x , 1z .
故平面 PBC 的一个法向量 2 ( 1,1,1)n . …………13 分
1 2
1 2
1 2
3cos , 3| || |
n nn n
n n
所以二面角 A PC B 的余弦值为 3
3
. …………14 分
17.(本小题 14 分)
解:(Ⅰ)由数据知,60 人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有 8+20=28 人 …1 分
所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有
39260
28840 人 ………4 分
(Ⅱ)选考方案确定且为“物理,化学,生物”的男生共有 8 人。 ……5 分
设“恰好有一人选物理、化学、生物”为事件 A ……6 分
15
8)( 2
16
1
8
1
8
C
CCAp ……8 分高三数学答案第 3页(共 8页)
(Ⅲ)由数据可知,选考方案确定的男生中有 8 人选择物理、化学和生物;有 4 人选择
物理、化学和历史;有 2 人选择物理、化学和地理;有 2 人选择物理、化学和政
治. ……9 分
的可能取值为 10,.
10
7)0( 2
16
1
2
1
2
1
4
1
4
1
8
1
8
C
CCCCCCP
10
3)1( 2
16
2
2
2
2
2
4
2
8
C
CCCCP ……12 分
所以 的分布列为:
0 1
P
10
7
10
3
10
3
10
3110
70 E ……14 分
18. (本小题 14 分)
解:(Ⅰ) ABC△ 同时满足①,②,③. ………… 3 分
理由如下:
若 ABC△ 同时满足①,④,则在锐角 ABC△ 中,
1 1sin 3 2C ,所以 0< 6C
又因为
3A ,所以