北京八中2020届高三下自主检测2数学答案.pdf

北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练(二)试题答案 第1 页/ 共6页 高三数学 20200321 双周练 参考答案及评分参考 2020．03 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分． 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11． 40 12． 9 13． 2 ； ( 3 , 2 3) 14． 6 3 15． 5 ； 25 5− 注：第 13、15 题第一空 3 分，第二空 2 分. 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共 14 分） 解：（Ⅰ）因为 2()3 sincossin 222 xxxfx =+ 31cossin22 xx  −=+ 311sincos222 xx=−+ π 1sin() 62x=−+ . ............................5 分 因为 ()fx的最小正周期为 2 ，即 2π 2T ==， 所以 π = . ............................7 分 （Ⅱ）因为 π0 , 02x    ， 所以 6626 x−−− . ...........................10 分 若 在区间 π[0,]2 上取到最大值 3 2 ，只需 π π π 2 6 2  −， 所以 4 3  . ............................14 分 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 D C A D A B B C C A 北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练(二)试题答案 第2 页/ 共6页 17.（本小题共 14 分） 解：（Ⅰ）设高一年级有 a 人，高二年级有 b 人. 采用分层抽样，有 75,3361233612 ab==. 所以高一年级有 196 人，高二年级有 140 人. .................................4 分 （II）从上表可知，从高二抽取的 5 名学生中，编号为 1，2，5 的学生是“运动达人”. 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为 3 5 . ...............................7 分 （III）  的所有可能取值为 1,2 ,3 . ...............................8 分 12 32 3 5 3(1) 10 CCP C === , 21 32 3 5 3(2) 5 CCP C === , 3 3 3 5 1(3) 10 CP C === . 所以 的分布列为 1 2 3 P 3 10 3 5 1 10 故 的期望 3319()123 105105E  =++= . .............................14 分 18．（本小题共 14 分） （Ⅰ）证明:因为△ P A D 是正三角形， O 是 AD 的中点，所以 ⊥PO AD . 又因为 ⊥CD 平面 P A D ， PO 平面 P A D ，所以 CD . DCDAD = ， CDAD， 平面 ABC D ， 所以 ⊥PO 面 . ……………4 分 （Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以 OA 、 OG 、 OP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系. 则 )32,0,0(),0,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,4,2(),0,0,2(),0,0,0( PGDCBAO −− ， )3,0,1(),3,2,1( −− FE ， )3,2,1(),0,2,0( −=−= EGEF ， 设平面 EFG 的法向量为 ),,,( zyxm =    =−+ =− ,032 ,02 zyx y 令 1=z ，则 )10,3( ，=m ， ……………6 分 又平面 ABCD 的法向量 )1,0,0(=n ，……………7 分 O z y x E F G P CD BA北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练(二)试题答案 第3 页/ 共6页 设平面 E F G 与平面 A B CD 所成锐二面角为  ， 所以 2 1 |||| ||cos == nm nm . 所以平面 与平面 所成锐二面角为 3 π . ……………9 分 （Ⅲ）假设线段 PA 上存在点 M ，使得直线 GM 与平面 EF G 所成角为 π 6 ， 设 ]1,0[, = PAPM ， PAGPPMGPGM +=+= ， 所以 ))1(32,4,2(  −−=GM . ……………11 分 所以 7642 3,cos|6 πsin 2 +− ==  mGM ， …………13 分 整理得 0232 2 =+−  ，无解， 所以，不存在这样的点 M . ………14 分 19.（本小题共 14 分） 解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得 12| | | | 2 4PF PF a+ = = ， 2a = ． ...............2 分 将点 ( 2,1)P 的坐标代入 22 2 14 xy b+=， 得 2 2114 b+=， 解得 2b = ． 所以，椭圆 C 的方程是 22 142 xy+=． ................5 分 （Ⅱ）依题意，得 (2,1)Q − ． 设 ( )00,M x y ，则有 22 0024xy+=， 0 2x  ， 0 1y  ． .................6 分 直线 MP 的方程为 0 0 11 ( 2) 2 yyx x −− = − − ， 令 0y = ，得 00 0 2 1 yxx y −= − ， ..........................8 分 所以 00 0 2 1 yxOE y −= − ． 直线 MQ 的方程为 0 0 11 ( 2) 2 yyx x ++ = − − ， 北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练(二)试题答案 第4 页/ 共6页 令 0y = ，得 00 0 2 1 yxx y += + ， ..................10 分 所以 00 0 2 1 yxOF y += + ． 所以 22 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 2 2==1 1 1 y x y x y xOE OF y y y − + −− + − 22 00 2 0 2(42)= 1 yy y −− − ........................12 分 =4． 所以 OE OF 为定值． ...................14 分 20．（本小题共 15 分） 解：（Ⅰ）因为函数 ()lnfxxx = ， 所以 1'( ) ln ln 1f x x x xx= +  = + , '(1)ln111f =+= . 又因为 (1) 0f = ， 所以曲线 ()y f x= 在点 ( 1 , ( 1 ) )f 处的切线方程为 1yx=− . ………4 分 （Ⅱ）函数 定义域为 (0 , )+ ， 由（Ⅰ）可知， '()ln1fxx =+. 令 '()0fx= 解得 1 ex = . ………6 分 ()fx与 '( )fx在区间 上的情况如下： x 1(0,)e 1 e 1()e +， '()fx − 0 + ()fx 极小值 所以， ()fx的单调递增区间是 1()e +， ； 的单调递减区间是 1(0, )e . ………10 分 北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练(二)试题答案 第5 页/ 共6页 （Ⅲ）当 1 ee x时，“ ( ) 1f x ax−”等价于“ 1lnaxx+”. ………11 分 令 1( ) l ng x x x=+， 1[ ,e ]ex  ， 22 1 1 1'( ) xgx x x x −= − = ， . 当 1( ,1 )ex  时， ' ( ) 0gx ，所以 ()gx 在区间 1( ,1)e 单调递减. 当 (1,e )x  时， ' ( ) 0gx ，所以 在区间 (1,e ) 单调递增. ………13 分 而 1()ln eee11.5eg =+=− ， 11(e)ln e11.5 eeg =+=+ . 所以 在区间 1[ ,e ]e 上的最大值为 1( ) e 1eg =−. 所以当 e1a −时，对于任意 1[ ,e ]ex  ，都有 ( ) 1f x ax −. ………15 分 21．（本小题共 14 分） 解:（Ⅰ）由条件知 AS1 ，必有 A1 ，又 naaa  21 均为整数， 11 =a . ……2 分 AS2 ，由 AS 的定义及 均为整数，必有 A2 ， 22 =a . ……………4 分 （Ⅱ）必要性：由“ naaa ,,, 21  成等差数列”及 , 得 ),,2,1( niiai == 此时 },,3,2,1{ nA = 满足题目要求 从而 )1(2 1321 +=++++= nnnS A  . ……………6 分 充分性：由条件知 ,21 naaa   且均为正整数，可得 ),,,3,2,1( niiai = 故 )1(2 1321 +=++++ nnnS A  ，当且仅当 ),,3,2,1( niiai == 时，上式等号成立. 于是当 )1(2 1 += nnS A 时， ，从而 成等差数列. 所以“ 成等差数列”的充要条件是“ ”. ……8 分 （Ⅲ）由于含有 n 个元素的非空子集个数有 12 −n ，故当 10=n 时， 10231210 =− ， 此时 A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数 m ，不符合要求. 北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练(二)试题答案 第6 页/ 共6页 而用 11 个元素的集合 }1024,512,256,128,64,32,16,8,4,2,1{=A 的非空子集的元素之和可以表示 2047,2046,,3,2,1  共 2047 个正整数. 因此当 2 0 2 0=AS 时， n 的最小值为 11. ……………10 分 当 时， 的最小值为 11.记 102110 aaaS +++=  则 20201110 =+ aS 并且 1110 1 aS + . 事实上若 1110 1 aS + ， 111110 22020 aaS += ，则 101011 a ， 10101110  aS ， 所以 1010=m 时无法用集合 A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是 122020 111110 −+= aaS ，得 2 2021 11 a ， * 11 Na  ，所以 101011 a . 当 1 0 1 011 =a 时 }1010,499,256,128,64,32,16,8,4,2,1{=A 满足题意 所以当 时， 的最小值为 11，此时 na 的最大值 1010 . ……14 分