2020届高考强基3套卷山东卷（一）数学试题（2020.4）.doc

3 2020 届高考强基 3 套卷 山东卷 数学（一）答案及解析 一、单项选择题 1. 【答案】A 【解析】集合 2 1{ | 2 7 4 0} { | 4}2A x x x x x    „ „ „ ，集合 B 1{ | 2 }xy y   { | 0} { | 0}y y B y y  R， „C ，所以 ( ) {RA B xU C | 4}x „ .故选 A. 2. 【答案】A 【解析】 2 2| | 3 4 5z    ， 则 | | 5 5(3 4 ) 3 4 (3 4 )(3 4 ) z i z i i i      5(3 4 ) 25 i 3 4 5 5i  .故选 A. 3. 【答案】B 【解析】令 π π π π2 π 2 π2 2 3 2k x k k   ， ，Z„ „ 则 5 1[4 4 ]3 3x k k  ， ， k Z ，又 [ 1 1]x  ， ，所以 1[ 1 ]3x  ， . 故选 B. 4. 【答案】A 【解析】对于 1a b  ，若 1 0b   ，则| | 0 1a b … ，显然成 立；若 1 0b  … ，显然由“ 1a b  ”可以推出“| | 1a b  ”， 即充分性成立.反过来，若 | | 1a b  ，则 ( 1)a b   或 1a b  ， 因此“ 1a b  ”是“ | | 1a b  ”的充分不必要条件.故选 A. 5. 【答案】C 【解析】由 0x xe e  ，解得 0x  ，所以函数 ( )f x 的定义域为 0( ( )0) U， ，∞ ∞ ，排除 B 项；因为 ( ) cos[π( )]( ) x x x e ef x       cos(π ) ( ) ( )x x x f x e e     ，所以函数 ( )f x 为奇函数，又 1 1 cosπ(1)f e e  1 1 1 0e e   ，排除 A 项；设 ( ) x xg e ex   ，显然该函数单调递 增，当 0x  时， ( ) (0) 0g x g  ，则当 1 2(0 )x ， 时， cos(π )y x 0 ，故 ( ) 0f x  ，当 1 3 2( 2)x ， 时， cos(π ) 0y x  ，故 ( ) 0f x  ， 排除 D 项.故选 C. 6. 【答案】C 【解析】从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务， 共有 2 5 10C  种选法，其中全是女生的有 2 3 3C  种，所以选中的 2 人都是女同学的概率 3 10P  .故选 C. 7. 【答案】A 【解析】不妨设点 M 在 x 轴上方，在直角三角形 2MOF 中， 2| | =OF 2 1 | |2c F M ，所以 | | 3OM c ，于是点 3(0 )M c， ，又 2 ( )0F c， ， 2 23F M F P uuuur uuur ，所以 2 3 3 ( ) 3 cP c， ，根据点 P 在双曲线 2 2 2 2 1x y a b   上，得 2 2 2 2 4 19 3 c c a b   ， 2 2 2 4 19 3( 1) ee e   ，得 4 24 16 9 0e e   ， 得 2e  8 2 7 4  ，得 7 1 2 e  .故选 A. 8. 【答案】C 【解析】依题意知 ( ) ( )( ) ( ) xf x g x f x xg e      ， ( )f x  1( )2 x xe e ， 1 ( .) )( 2 x xg e ex   关于x 的不等式 22 ( ) ( ) 0f x ag x … 在 (0 )ln 2， 上恒成立，等价于 2 2 min 2 ( ) 4( ) ( ) ( ) x x x x f x e ea g x e e       „ „ ( (0 ln2))x ， .令 t  x xe e ， 0 ln( )2x Q ， ， 3(0 )2t  ， ， 2 2 2 2 4 4( ) 4 4 1 4 4 64 404 4( ) 9 81 9 x x x x e e t e e t t t          ， 40 9a „ ， 故实数 a 的取值范围是 ( 0]4 9  ，∞ .故选 C. 二、多项选择题 9. 【答案】AD 【解析】选项 A，由图知，这一年中，我国外汇储备月增长量 最大的月份是 2019 年 1 月，A 正确；选项 B，2018 年 4 月至 10 月，我国外汇储备有升有降，B 错误；选项 C，由图无法说明 2018 年年底，我国外汇储备降至近年来最低，C 错误；由图易 知 D 正确.故选 AD. 10.【答案】ABD 【解析】由题意可知 60T  ，所以 2π 60  ，解得 π 30   ，又从 点 3(3 3 )A ， 出发，所以 6R  ， 6sin 3   ，又 π| | 2   ，所 以 π 6    ，A 正确； π π6sin( )30 6y t  ，当 [35 55]t  ， 时， π π 5π[π ]30 6 3t   ， ，则 π πsin( ) [ 1 0]30 6t    ， ， [ 6 0]y   ， ，点 P 到 x 轴的距离为 | |y ，所以点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6， B 正确；当 [10 25]t  ， 时， π π π 2π[ ]30 6 6 3t   ， ，所以函数 y  π π6sin( )30 6t  在[10 ]25， 上不单调，C 不正确；当 20t  时， π π π 30 6 2t   ，则 π6sin 62y   ，且 π6cos 02x   ，所以 6(0 )P ， ， 则 22( )| | 3 3 ( 3 6) 6 3PA      ，D 正确.故选 ABD. 11.【答案】BCD 【解析】当 1 2b  时，因为 2 1 1 2n na a   ，所以 2 1 2a … ，又 1na   2 1 22n na a … ，故 7 7 9 2 ( 2) ( ) 4 21 2 2a a   …… ， 2 10 9a a … 32 10 . 当 1 4b  时， 2 1 1( )2n n na a a    ，故 1 1 2a a  时， 10 1 2a  ， 所以 10 10a  不成立.同理 2b   和 4b   时，均存在小于 10 的 数 0x ，只需 1 0a a x  ，则 10 0 10a x  ，故 10 10a  不成立.故选 BCD. 12.【答案】ABC 【解析】对于 A， 1 1BD B DP ， BD  平面 1 1CB D ， 1 1B D  平面 1 1CB D ， BD P 平面 1 1CB D ，A 正确；对于 B， 1AA Q 平面 1 1 1 1ABC D ， 1 1 1AA B D  ，连接 1 1AC ，又 1 1 1 1AC B D ， 1 1B D  平面 1 1AAC ， 1 1 1B D AC  ，同理 1 1BC AC ， 1AC  平面 1 1CB D ， B 正确；对于 C，易知 1 1AC ACP ，异面直线 AC 与 1A B 所成 的角为 1 1BAC ，连接 1BC ，易知 1 1AC B△ 为等边三角形， 1 1 60BAC  °，即异面直线 AC 与 1A B 成 60°角，C 正确；对 于 D， 1AC 与底面 ABCD 所成角的正切值是 1 2 2 2 CC AC   ， D 不正确.故选 ABC. 三、填空题 13.【答案】1 【解析】由题意知 ( )1f e e ，故 1( ( )) ( ) ln 1f f f e ee    . 14.【答案】 5 4  【解析】根据题意，令 1x  ，得 1 1(1 )2 32 n  ，即 1 1( )2 32 n  ，解 得 5n  ，故展开式的通项公式为 5 10 3 5 5 2 1 1( ) ( ) ( )2 2 rr r rr rC C xx x     . 令10 3 1r  ，得 3r  ，则展开式中 x 的系数为 33 5 1( )2 5 4C     . 15.【答案】 6 13 3 2 【解析】如图，延长 EF ， 1 1AB 相交于 M ，连接 AM 交 1BB 于 H ， 延长 1 1FE A D， 相交于 N ，连接 AN 交 1DD 于 G ，连接 FH ，EG ，可得截面五边形 AHFEG .因为 1 1 1 1ABCD A BC D 是棱长为 6 的正方体，且 E F， 分别是棱 1 1 1 1C D BC， 的中点，所以 3 2EF  ， 2 13AG AH  . 13EG FH  ，截面的周长为 AH HF  6 13 3 2EF EG AG    . 16.【答案】6；12 【解析】由 (( 2 ) 4 0) 8x y          得 4( )x y    (2 8) 0x y    ，则 4 0 2 8 0 x y x y        ，得 4 0 x y    ，所以直线( 2 )x  ( ) 4 8 0y        经过定点 0(4 )M ， ，设 O 为坐标原点，若 | |AB 最小，则 OM AB ，此时 2| | 2 25 4 6AB    .设 3(4 )A ， ， 3(4 )B ， ， ( )C x y， ，由 | | 2 | |AC BC ，可得 2 2( 4) ( 3)x y   2 22 ( 4) ( 3)x y    ，化简得点 C 的轨迹方程为 2( 4)x   2( 5) 16y   ，则点 C 的轨迹是圆心为 (4 )5， ，半径为 4 的圆， 易知圆心 (4 )5， 在直线 AB 上，因而 C 点到 AB 的最大距离 为 4，故 ABC△ 面积的最大值为 1 6 4 122    . 四、解答题 17.【解析】（1） * 12 )2(2 4n na n a n n   NQ ，… ， * 12 2[ 2( 1)] 2( )n na n a n n n      N，… ， Q 当 1n  时， 12 2 0na n a    ， 2 0na n   ，即 *( )2na n n  N ，…………………………3 分 1 (2 2 ) ( 1)2nS n n n n     . 1n n Sb nn     ，………………………………………..……5 分 1 2 ( 1) 1n nb b n n       ，为常数， 数列{ }nb 是等差数列.……………………………….….…7 分 （2）由（1）知 2 2 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1nb n n n n n        ， 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1... (1 ) ( ) ... ( ) 2 2 3 1nb b b n n             11 11n    .……………………………………………….…10 分 18.【解析】（1）由题意得， πsin cos(π ) 1 sin 2 AA A     ， 即 sin cos 1 cos 2 AA A   ， 所以 22sin cos 2cos 1 1 cos2 2 2 2 A A A A    ，…………….……2 分 因为在 ABC△ 中， cos 02 A  ，所以 2sin 2cos 12 2 A A  ， 等式两边同时平方，得 4 4sin 1A  ，解得 3sin 4A  .………5 分 （2）由 1 sin2ABCS AB AC A   △ 1 34 3 72 4AC     ，得 2 7AC  .由（1）知，sin cos2 2 A A ， 7cos 4 A   ，……8 分 由 余 弦 定 理 ， 得 2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A      716 28 2 4 2 7 72 4        ，得 6 2BC  .…….….…10 分 设 BC 边上的高为 h ，则 1 3 72 BC h   ，即 1 6 2 3 72 h   ， 解得 14 2 h  ，即 BC 边上的高为 14 2 .………………….…12 分 19.【解析】（1）连接 1A B ，记 1 1AB A B EI ，连接 DE ， 在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，易知侧面 1 1ABB A 为矩形， 所以 E 是 1A B 的中点.又 D 为 BC 的中点，所以 1AC DEP ， 又 1AC  平面 1ADB ， DE  平面 1ADB ， 所以 1AC P 平面 1ADB .…………………………….….…....…3 分 （2）因为 1 2AB AC AA   ， ABC△ 为等腰直角三角形， 所以 2 2 2BC AB AC   ，所以 12 BCBD   . 在 1Rt B BD△ 中， 1 1tan 2BBBDB BD    ，……………..……5 分 连接 1BC ，在 1 1Rt B BC△ 中， 1 1 1 1 1 tan 2B CB BC BB    ， 所以 1 1 1BDB B BC   . 又 1 1 π 2BB D BDB    ， 所以 1 1 1 π 2BB D B BC    ，所以 1 1BC B D . 因为 AB AC D ， 为 BC 的中点，所以 AD BC ，……….…7 分 在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，平面 1 1B BCC  平面 ABC ， 所以 AD  平面 1 1B BCC ， 又 1BC  平面 1 1B BCC ，所以 1AD BC . 因为 1AD B D DI ，所以 1BC  平面 1ADB . 取 1CC 的中点 F ，连接 DF ， 1A F ，则 1DF BCP ， DF  平面 1ADB ，故 1ADF 为直线 1A D 与平面 1ADB 所成角的余角， ……………………………………………………..……….……9 分 设直线 1A D 与平面 1ADB 所成的角为 ，则 1 π 2 ADF    . 在 1A DF△ 中，易知 2 2 1 1 3AD AA AD   ， 2 2 1 1 1 1 10 2 A F AC C F   ， 2 2 6 2 DF DC CF   ， 所以 2 2 2 1 1 1 1 2cos 2 3 A D DF A FA DF A D DF     ， 故 1 1 π 2sin sin( ) cos2 3A DF A DF       ， 所以直线 1A D 与平面 1ADB 所成角的正弦值为 2 3 .….……12 分 20.【解析】（1）由频率分布直方图可知，一刀(100 张)宣纸中有正 牌宣纸100 0.1 4 40   (张)，副牌宣纸100 0.05 4 2 40    (张)， 废品宣纸100 0.025 4 2 20    (张)，所以估计该公司生产一刀 宣纸的利润为 40 10 40 5 20 10 400      （元）， 又 400 10 000 4 000 000 （元）， 所以估计该公司生产宣纸的年利润为 400 万元…………..…4 分 （2）因为 x 服从正态分布 2(50 )2N ， ， 所以 48 52( ) 0.6826P x „ ， 44 56( ) 0.9974P x „ ， 44 48 52 56 0.9974 0.6826 0( ) ( 148) .3P x P x    „ „U .....6分 设一张宣纸的利润为 X 元，则 X 的取值为 12，8，3， 10 ， 所以 ( 12) 0.3 0.6826 0.20478P X     ， ( 8) 0.7 0.6826 0.2 0.3148P X      0.54078 ， ( 3) 0.8 0.3148 0.25184P X     ， ( 10) 1 ( 12) ( 8) ( 3) 0.0026P X P X P X P X          ...9 分 所以 X 的分布列为 X 12 8 3 10 ( )P X 0.20478 0.54078 0.25184 0.0026 所以 ( ) 12 0.20478 8 0.54078 3 0.25184 10 0.0026E X         7.51312 ，所以改进生产工艺后，该公司生产一刀宣纸的利润 为 7.51312 100 100 651.312   (万元)， 因为 651.312 400 ，所以该公司应该购买这种机器.………12 分 21.【解析】（1）由 1 2 ce a   得 2a c ，由题意及椭圆的定义知3 1ABF△ 的周长为 1 1 1 2 1| | | | | | | | | | | |AB AF BF BF BF AF      2| | 4 8AF a  ，得 2a  ， 1c  ， 2 2 2 3b a c    ，椭圆 E 的方程为 2 2 14 3 x y  ………………………………………......4 分 （2）由题意可知直线 AB 的方程为 ( 1)y k x  ， 0k  ， 由 2 2 1 4 3 ( 1) x y y k x       ，消去 y ，得 2 2 224 3 8 4 12( ) 0k kx x k     ， 2 212 ( 1) 0k    ， 2 2 8 4 3A B kx x k    ， 2 2 4 12 4 3A B kx x k   . 2 2 2 2 2 2 2 12 ( 1) 12( 1)| | 1 (4 3) 4 3( ) k kAB k k k        ，…………………6 分 2 2 2 4 3( )4 3 4 3 k kM k k  ， ，直线 OM 的斜率为 3 4OMk k   ， 直线 OM 的方程为 3 4y xk   .…………………………...…8 分 由 2 2 14 3 3 4 x y y xk       ，得 2 2 4 4 3 3 4 3 kx k y k        m ， 不妨令 2 2 4 3( ) 4 3 4 3 kC k k    ， ， 2 2 4 3( ) 4 3 4 3 kD k k    ， ， 点 C D， 到直线 AB 的距离之和为 2 | ( 1) | | ( 1) | 1 C C D D C D k x y k x yd d k        2 |[ ( 1) ] [ ( 1) ] | 1 C C D Dk x y k x y k       2 | ( ) ( ) | 1 C D C Dk x x y y k     2 2 4 32 1 k k   ，…………………………………………………10 分 1 | | ( )2 C DS AB d d   2 2 2 2 2 2 1 12( 1) 4 3 12 122 4 3 1 4 3 k k k k k k         2 1 112 04 4(4 ( )3) kk    ， S 的取值范围是 (6 )4 3， .…………………………………12 分 22.【解析】（1）函数 ( )f x 的定义域为 (0 )， ∞ ，当 ea   时， 2 2 e ( 1) e( 1) ( 1)(e e ) 1 e'( ) ( e) x x xx x x x xf x x x x x x         · ...2 分 设 e( ) 0 x h x xx  ， ，则 2 2 e e e ( 1)'( ) x x xx xh x x x    ， 令 '( ) 0h x  ，则 1x  ，令 '( ) 0h x  ，则 0 1x  ， 所以 ( )h x 在 (0 1)， 上是减函数，在 (1 )， ∞ 上是增函数. 所以 ( )h x 有最小值 (1) eh  ，所以 ( ) (1) eh x h … ， 即 e e 0 x x  … . 令 '( ) 0f x  ，则 1x  ，令 '( ) 0f x  ，则 0 1x  ， 因此 ( )f x 在 (0 1)， 上是减函数，在 (1 )， ∞ 上是增函数...…5 分 （2） 2 e ( 1) ( 1) 1 e'( ) ( ) x xx a x xf x ax x x x      · ， 由（1）知， e e 0 x x  … ， 若 ea … ，则 e e+ e 0 x x ax x … … ， 令 '( ) 0f x  ，则 1x  ，令 '( ) 0f x  ，则 0 1x  ， 因此 ( )f x 在 (0 1)， 上是减函数，在 (1 )， ∞ 上是增函数. 所以 min( ) (1) ef x f a   . 当 ea   时， min( ) e 0f x a   ， ( )f x 无零点， 当 ea   时， min( ) e 0f x a   ， ( )f x 只有一个零点.…....8 分 若 ea   ，根据（1）知，方程 e + 0 x ax  有两个不相等的实数 根 1 2x x， ，且 1 20 1x x   ， 当 10 x x  时， e + 0 x ax  ，当 1 2x x x  时， e + 0 x ax  ， 当 2x x 时， e + 0 x ax  . 因此当 10 x x  时， '( ) 0f x  ，当 1 1x x  时， '( ) 0f x  ，当 21 x x  时， '( ) 0f x  ，当 2x x 时， '( ) 0f x  ， 故 ( )f x 在 1(0 )x， 和 2(1 )x， 上是减函数，在 1( 1)x ， 和 2( )x ， ∞ 上 是增函数……………………………………………......….…10 分 由于 2 2e e ln( ) ln x xax ax ax xf x a xx x      ， 当 0x  时， 2e ln 0x ax ax x   ， ( ) 0f x  ； 当 x  ∞ 时， 2e 0x ax  ， ln 0ax x  ， ( ) 0f x  ； 又 (1) e 0f a   ，所以 ( )f x 有两个零点， 因此，当 ea   时， ( )f x 无零点，当 ea   时， ( )f x 只有一个 零点，当 ea   时， ( )f x 有两个零点.…………………....12 分