提分专练(06)　以圆为背景的计算与证明.docx

提分专练(六)　以圆为背景的计算与证明 |类型 1|　与切线有关的计算与证明 1.[2019·天津宝坻区模拟]如图 T6-1,B 是☉O 外一点,连接 OB,过点 B 作☉O 的切线 BD,切点为 D,延长 BO,交☉O 于点 A,过点 A 作切线 BD 的垂线,垂足为 C. (1)求证:AD 平分∠BAC; (2)若☉O 的半径为 4,OB=7,求 AC 的长. 图 T6-1 2.[2019·淄博]如图 T6-2,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,点 E 在 AC 上,以 AE 为直径的☉ O 经过点 D. (1)求证:①BC 是☉O 的切线; ②CD2=CE·CA. (2)若点 F 是劣弧 AD 的中点,且 CE=3,试求阴影部分的面积.图 T6-2 3.[2019·鞍山]如图 T6-3,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 是 AC 上一点,过 B,C,D 三点的☉O 交 AB 于点 E,连接 ED,EC,点 F 是线段 AE 上的一点,连接 FD,其中∠FDE=∠DCE. (1)求证:DF 是☉O 的切线; (2)若 D 是 AC 的中点,∠A=30°,BC=4,求 DF 的长. 图 T6-34.[2019·盘锦]如图 T6-4,△ABC 内接于☉O,AD 与 BC 是☉O 的直径,延长线段 AC 至点 G,使 AG=AD,连接 DG,交☉ O 于点 E,EF∥AB,交 AG 于点 F. (1)求证:EF 与☉O 相切; (2)若 EF=2 3,AC=4,求扇形 OAC 的面积. 图 T6-4 |类型 2|　与圆有关综合型问题 5.[2019·包头]如图 T6-5,在☉O 中,B 是☉O 上一点,∠ABC=120°,弦 AC=2 3,弦 BM 平分∠ABC 交 AC 于点 D,连 接 MA,MC. (1)求☉O 的半径长; (2)求证:AB+BC=BM.图 T6-5 6.[2018·成都] 如图 T6-6,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 D,O 为 AB 上一点,经过点 A,D 的☉ O 分别交 AB,AC 于点 E,F,连接 OF,交 AD 于点 G. (1)求证:BC 是☉O 的切线; (2)设 AB=x,AF=y,试用含 x,y 的代数式表示线段 AD 的长; (3)若 BE=8,sin B= 5 13,求 DG 的长. 图 T6-67.[2018·河南] 如图 T6-7,AB 是☉O 的直径,DO⊥AB 于点 O,连接 DA,交☉O 于点 C,过点 C 作☉O 的切线交 DO 于点 E,连接 BC,交 DO 于点 F. (1)求证:CE=EF; (2)连接 AF 并延长,交☉O 于点 G.填空: ①当∠D 的度数为　　　　时,四边形 ECFG 为菱形; ②当∠D 的度数为　　　　时,四边形 ECOG 为正方形. 图 T6-7【参考答案】 1.解:(1)证明:连接 OD,如图.∵BD 是☉O 的切线, ∴OD⊥BD.∵AC⊥BD, ∴OD∥AC.∴∠2=∠3. ∵OA=OD,∴∠1=∠3. ∴∠1=∠2,即 AD 平分∠BAC. (2)∵OD∥AC,∴△BOD∽△BAC. ∴푂퐷 퐴퐶=퐵푂 퐵퐴,即 4 퐴퐶= 7 11.解得 AC=44 7 . 2.解:(1)证明:①如图,连接 DO. ∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAD. ∵DO=AO,∴∠EAD=∠ADO. ∴∠BAD=∠ADO. ∴BA∥DO.∴∠CDO=∠B. ∵∠B=90°,∴∠CDO=90°. 又∵OD 是☉O 的半径, ∴BC 是☉O 的切线. ②如图,连接 DE. ∵AE 是☉O 的直径,∴∠ADE=90°.∴∠CDE+∠ADB=90°. 又∵∠ADB+∠BAD=90°,∠BAD=∠DAE, ∴∠CDE=∠DAE.又∵∠C=∠C, ∴△CDE∽△CAD. ∴퐶퐷 퐶퐴=퐶퐸 퐶퐷.∴CD2=CE·CA. (2)如图,连接 FO,DF.∵点 F 是劣弧 AD 的中点, ∴퐷퐹=퐴퐹. ∴∠AOF=∠DOF,∠BAD=∠ADF. 又∵∠BAD=∠EAD,∴∠EAD=∠ADF. ∴DF∥AC.∴∠AOF=∠DFO. 又∵∠DFO=∠FDO, ∴∠DFO=∠FDO=∠DOF=60°. ∵DF∥AC,∴S△DFA=S△DFO. 易得△DEO 是等边三角形, 则∠CDE=30°=∠C,∴DO=DE=CE=3. ∴S 阴影=S 扇形 ODF= 60 360×π×32=3 2π. 3.解:(1)证明:如图,连接 BD.∵∠ACB=90°,点 B,D 在☉O 上,∴BD 是☉O 的直径,∠BCE=∠BDE. ∵∠FDE=∠DCE,∠BCE+∠DCE=∠ACB=90°,∴∠BDE+∠FDE=90°,即∠BDF=90°.∴DF⊥BD. 又∵BD 是☉O 的直径,∴DF 是☉O 的切线. (2)∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4, ∴AB=2BC=2×4=8, AC= 퐴퐵2 - 퐵퐶2= 82 - 42=4 3. ∵点 D 是 AC 的中点,∴AD=CD=1 2AC=2 3. ∵BD 是☉O 的直径,∴∠DEB=90°. ∴∠DEA=180°-∠DEB=90°. ∴DE=1 2AD=1 2×2 3= 3. 在 Rt△BCD 中,BD= 퐵퐶2 + 퐶퐷2= 42 + (2 3)2=2 7. 在 Rt△BED 中,BE= 퐵퐷2 - 퐷퐸2= (2 7)2 - ( 3)2=5. ∵∠FDE=∠DCE,∠DCE=∠DBE, ∴∠FDE=∠DBE. 又∵∠DEF=∠BED=90°,∴△FDE∽△DBE. ∴퐷퐹 퐵퐷=퐷퐸 퐵퐸,即 퐷퐹 2 7= 3 5 .∴DF=2 21 5 . 4.解:(1)证明:如图①,连接 OE.∵OD=OE,∴∠D=∠OED.∵AD=AG,∴∠D=∠G.∴∠OED=∠G.∴OE∥AG. ∵BC 是☉O 的直径,∴∠BAC=90°.∵EF∥AB, ∴∠BAF+∠AFE=180°.∴∠AFE=90°. ∵OE∥AG,∴∠OEF=180°-∠AFE=90°. ∴OE⊥EF.∴EF 与☉O 相切. (2)如图②,连接 OE,过点 O 作 OH⊥AC 于点 H. ∵AC=4,∴CH=1 2AC=2.∵∠OHF=∠HFE=∠OEF=90°,∴四边形 OEFH 是矩形.∴OH=EF=2 3. 在 Rt△OHC 中,OC= 퐶퐻2 + 푂퐻2= 22 + (2 3)2=4.∵OA=AC=OC=4,∴△AOC 是等边三角形. ∴∠AOC=60°.∴S 扇形 OAC=60π × 42 360 =8 3π. 5.解:(1)∵∠ABC=120°,BM 平分∠ABC, ∴∠MBA=∠MBC=1 2∠ABC=60°. ∴∠ACM=∠ABM=60°,∠MAC=∠MBC=60°. 在△AMC 中,∠AMC=60°, ∴△AMC 是等边三角形. 如图,连接 OA,OC,∴AO=CO,∠AOC=2∠AMC=120°. ∴∠OAC=∠OCA=30°. 过点 O 作 OH⊥AC 于点 H,则 AH=CH=1 2AC= 3. 在 Rt△AOH 中,cos∠OAH=퐴퐻 퐴푂,∴ 3 퐴푂= 3 2 .∴AO=2. ∴☉O 的半径长为 2. (2)证明:如图,在 BM 上截取 BE=BC,连接 CE. ∵∠MBC=60°,BE=BC, ∴△EBC 为等边三角形. ∴CE=CB=BE,∠BCE=60°. ∴∠BCD+∠DCE=60°. ∵∠ACM=60°,∴∠ECM+∠DCE=60°. ∴∠ECM=∠BCD. ∵△AMC 为等边三角形,∴AC=MC. ∴△ACB≌△MCE.∴AB=ME. ∵ME+EB=BM,∴AB+BC=BM. 6. 解:(1)证明:连接 OD,如图. ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA.∵AD 平分∠BAC, ∴∠OAD=∠DAC. ∴∠DAC=∠ODA. ∴OD∥AC. ∴∠ODB=∠C=90°.∴OD⊥BC. ∵OD 为☉O 的半径,∴BC 是☉O 的切线. (2)如图,连接 EF,DF.∵AE 为☉O 的直径, ∴∠AFE=90°.∴∠AFE=∠C=90°. ∴EF∥BC.∴∠B=∠AEF. ∵∠ADF=∠AEF,∴∠B=∠ADF. 又∵∠OAD=∠DAC,∴△ABD∽△ADF. ∴퐴퐵 퐴퐷=퐴퐷 퐴퐹,即 AD2=AB·AF. ∴AD= 푥푦. (3)设☉O 的半径为 r. 在 Rt△DOB 中,sin B=푂퐷 푂퐵= 5 13, ∴ 푟 푟 + 8= 5 13.解得 r=5.∴AE=10. 在 Rt△AFE 中,sin∠AEF=sin B=퐴퐹 퐴퐸, ∴AF=10× 5 13=50 13. ∴AD= 18 × 50 13=30 13 13 . ∵∠ODA=∠DAC,∠DGO=∠AGF,∴△OGD∽△FGA. ∴퐷퐺 퐴퐺=푂퐷 퐴퐹=13 10.∴ 퐷퐺 퐴퐷 - 퐷퐺=13 10.∴DG=30 23 13. 7.解:(1)证明:如图,连接 OC. ∵CE 是☉O 的切线,∴OC⊥CE. ∴∠FCO+∠ECF=90°. ∵DO⊥AB,∴∠B+∠BFO=90°. ∵∠CFE=∠BFO,∴∠B+∠CFE=90°. ∵OC=OB,∴∠FCO=∠B. ∴∠ECF=∠CFE.∴CE=EF. (2)∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°. ∴∠DCF=90°. ∴∠DCE+∠ECF=90°,∠D+∠EFC=90°. 由(1)得∠ECF=∠CFE, ∴∠D=∠DCE.∴ED=EC. ∴ED=EC=EF, 即点 E 为线段 DF 的中点. ①四边形 ECFG 为菱形时,CF=CE. ∵CE=EF,∴CE=CF=EF.∴△CEF 为等边三角形.∴∠CFE=60°. ∴∠D=30°. ②四边形 ECOG 为正方形时,△ECO 为等腰直角三角形.∴∠CEF=45°.∵∠CEF=∠D+∠DCE, ∴∠D=∠DCE=22.5°.