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1 淮北一中 2020 届高三下第五次考试 数学（文）试题参考答案 一、选择题 A D A B B B C B C A B C 二、填空题 13． 3 14．9 15．11 16． 4  三、解答题 （1）取 1 1A B 中点 P ，连接 PN ，由于 ,P N 分别为 1 1 1 1,A B B C 的中点，所以 1 1 1 2PN ACP 而 1 1 1 2MC ACP ，则 PN MCP ，所以 PNCM 为平行四边形，所以CN PMP 又因为CN  面 1 1MA B ， PM  面 1 1MA B ，所以CN P 平面 1 1MA B （2）由（1）知 C N、 到面 1 1MA B 距离相等，则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 23 3 2M A B C C A B M N A B M M A B N A B NV V V V S AA           18 解：（1）由正弦定理： sin30 sin BD AB ADB   ， 3sin 2ADB C DAC       60DAC   ，从而 60C   （2）设 1 2BD CD a  ， 3AB a  ， 6AC a 从而 6cos 3C  ，余弦定理得 2 2 2 2 22 cos60 2 2AD AC CD AD CD a       得 2a  ，所以 3 2BC  19．解：（1）由散点图可知选择模型①． （2）由（1），知 y 关于 x 的回归方程为 2y bx a $ ，令 2z x ，则 y bz a $ ． 由所给数据得： 1(1 4 9 16 25 36 49 64) 25.58z          ， 1(4 8 16 31 51 71 97 122) 508y          ，2      8 1 8 2 1 6868 1.93570 i i i i i z z y y b z z           $ ， 50 1.9 25.5 1.6a y bz     $ $ ， y 关于 x 的回归方程为 21.9 1.6y x $ ． （3）预测该地区第 9 天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为 21.9 9 1.6 155.5 156y     $ （人）． 20．解：（1） ,A B 到准线的距离之和等于到焦点距离之和，即为| |AB ，最小为通径 2 8p  ， 4p  抛物线方程为 2 8y x （2）代入曲线得 (8,8)P ，设    1 1 2 2, ,A x y B x y 直线 : 2l x my  ，（ m 不存在时为直线 2x  ， (2,4) (2, 4)A B  ，检验成立） 联立得 2 8( 2)y my  ， 1 2 16y y   ， 1 2 8y y m  PA直线为 1 1 1 8 88 ( 8) ( 8)8 8 yy x xx y       代入准线 2x   得： 1 1 1 80 8 1688 8M yy y y      同理可得 2 2 8 16 8N yy y        1 2 1 2 1 2 1 2 64 2 2 44, 4, 16 8 8 64M N y y y yMF NF y y y y y y           uuur uuur    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 16 128 16 64 64 2 2 4 8 8 64 y y y y y y y y y y y y            1 2 1 2 1 2 80 16 64 4 64 08 8 64 y y y y y y        21．解：（1）设切点为  0 0,x y ，则    0 00 0 0 0 0 14 x xx e g x x ex     ， 化简得 2 0 0 05 4x x x   ，所以 0 2x   ， 2k e  切线为 2 ( 4)y e x   （2）设 ( ) ( ) ( )F x g x f x  ，即讨论 ( )F x 零点个数．  ( ) (1 ) 2 (1 ) (1 ) 2x xF x x e a x x e a       3 0a  时， ( )F x 只有一个零点； 0a  时， ( )F x 在 ( , 1)   ， ( 1, )   1( 1) 0F e     ， x   ， x   时， ( )F x 均   ，此时， ( )F x 有两个零点 0a  时， x   时 ( )F x  ， x   时 ( )F x   由 ( ) 0F x  得 1x   ， ln(2 )x a 若 1 2a e  时， ( )F x 在 R 单增，只有一个零点； 若 1 2a e  时， 1( 1) 0F e     ， 2(ln(2 )) ln (2 ) 0F a a a a    极大值极小值均小于 0，从而也只有一个零点． 综上， 0a  时，只有一个交点； 0a  时，有两个交点． 22．解：（1）曲线C 的普通方程为 2 24 4x y  ，极坐标方程为  2 21 3sin 4   （2）设  1,M   ， 2, 2N      ，代入曲线得：  2 2 1 1 3sin 4   ，  2 2 2 1 3cos 4   则    2 2 1 2 2 22 2 2 16 16 16 16 64 9 254 9sin cos 251 3sin 1 3cos 4 sin 24 4              当 4   ， 3 5 7, ,4 4 4    时可以取等．所以 OMN△ 面积为 1 2 1 4 2 5S    23．解： （1） 4, 2 4 4,1 2( ) 2 2, 1 1 4, 1 x x xf x x x x               min( ) 4f x   ，即 4a   （2）由（1）可得 ( )y f x 的图象如下 要使 ( ) | | 4f x x b   恒成立，当函数 | | 4y x b   的一段经过点 (2,4) 时满足要求， 此时 6b   ，结合图象可知，当 6b   时满足条件．