20.3.1 方差
一、选择题
1.数据 7,9,10,11,13 的方差是( )
A. 2 B.2 C.3 D.4
2.如果一组数据 x1,x2,…,xn 的方差为 4,则另一组数据 x1+3,x2+3,…,xn+3 的方差是( )
A.4 B.7 C.8 D.19
3.某村引进甲、乙两种水稻品种,各选 6 块条件相同的实验田,同时播种并核定亩产,结果甲、乙两种
水稻的平均产量均为 550 kg/亩,方差分别为 S 甲 2=141.7,S 乙 2=433.3,则产量稳定,适合推广的品种
为( )
A.甲、乙均可 B.甲 C.乙 D.无法确定
4.两名同学进行了 10 次三级蛙跳测试,经计算,他们的平均成绩相同,若要比较这两名同学的成绩哪一
位更稳定,通常还需要比较他们的成绩的( )
A.众数 B.中位数 C.方差 D.以上都不对
5、在社会实践活动中,某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查.四个城市 5
个月白菜的平均值均为 3.50 元,方差分别为 S 甲 2=18.3,S 乙 2=17.4,S 丙 2=20.1,S 丁 2=12.5.一
至五月份白菜价格最稳定的城市是( )
A、甲 B、乙 C、丙 D、丁
6、一次数学测试,某小组五名同学的成绩如下表所示(有两个数据被遮盖).
组员 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩
得分 81 79 ■ 80 82 ■ 80
那么被遮盖的两个数据依次是( )
A.80,2 B.80, C.78,2 D.78,
7、下面是甲、乙两人 10 次射击成绩(环数)的条形统计图,则下列说法正确的是( )A、甲比乙的成绩稳定 B、乙比甲的成绩稳定
C、甲、乙两人的成绩一样稳定 D、无法确定谁的成绩更稳定
8.某学习小组 5 位同学参加初中毕业生实验操作考试(满分 20 分)的平均成绩是 16 分.其中三位男生
的方差为 6(分 2),两位女生的成绩分别为 17 分,15 分.则这个学习小组 5 位同学考试分数的标准差为
( )
A. B.2 C. D.6
9.已知样本 x1,x2,…,xn 的方差是 2,则样本 3x1+5,3x2+5,…,3xn+5 的方差是( )
A.11 B.18 C.23 D.36
10.一次数学测试,某小组五名同学的成绩如下表所示(有两个数据被遮盖).
组员 甲 乙 丙 丁 戊 标准差 平均成绩
得分 81 79 ■ 80 82 ■ 80
那么被遮盖的两个数据依次是( )
A.80,2 B.80, 2 C.78,2 D.78, 2
二、填空题
11、已知一组数据 1,2,3,4,5 的方差为 2,则另一组数据 11,12,13,14,15 的方差为 _____.
12、一组数据按从小到大的顺序排列为 1,2,3,x,4,5,若这组数据的中位数为 3,则这组数据的方差
是________.
13、已知一组数据﹣3,x,﹣2,3,1,6 的中位数为 1,则其方差为________.
14、八(2)班组织了一次经典朗读比赛,甲、乙两队各 10 人的比赛成绩如下表(10 分制):
那么乙队的平均成绩是________,方差是________.
15、跳远运动员小刚对训练效果进行测试,6 次跳远的成绩(单位:m)如下:7.6,7.8,7.7,7.8,8.0,
7.9.这 6 次成绩的平均数为 7.8 m,方差为
1
60 m2.若小刚再跳两次,成绩分别为 7.7 m,7.9 m,则小刚这 8
次跳远成绩的方差将________.(填“变大”“变小”或“不变”)
三、解答题21、在全运会射击比赛的选拔赛中,运动员甲 10 次射击成绩的统计表(表 1)和扇形统计图如下:
表 1
(1)根据统计表(图)中提供的信息,补全统计表及扇形统计图;
(2)已知乙运动员 10 次射击的平均成绩为 9 环,方差为 1.2,如果只能选一人参加比赛,你认为应该派谁
去?并说明理由.
22、某实验中学八年级甲、乙两班分别选 5 名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛,其预赛成绩如图所
示:
(1) 根据上图填写下表:
平均数 中位数 众数 方差
甲班 8.5 8.5 ________ ________
乙班 8.5 ________ 10 1.6
(2)根据上表数据你认为哪班的成绩较好?并说明你的理由;
(3)乙班小明说:“我的成绩是中等水平”,你知道他是几号选手?为什么?
参考答案
一、 1、D 2、A 3、B 4、C 5、D 6、C 7、B 8、B 9、B 10、 D
二、11、2 12、 13、9 14、9;1 15、变小 三、 21、(1)解:如下图所示:
(2)解答:应该派甲去.∵甲运动员 10 次射击的平均成绩为(10×4+9×3+8×2+7×1)÷10=9 环,∴
甲运动员 10 次射击的方差是 [(10-9)2×4+(9-9)2×3+(8-9)2×2+(7-9)2]=1,∵乙运
动员 10 次射击的平均成绩为 9 环,方差为 1.2,大于甲的方差,∴如果只能选一人参加比赛,认为应该派
甲去.
22、(1)8;8.5;0.7
(2)从平均数看,因两班平均数相同,则甲、乙班的成绩一样好;从中位数看,甲的中位数高,所以甲
班的成绩较好;从众数看,乙班的分数高,所以乙班成绩较好;从方差看,甲班的方差小,所以甲班的成
绩更稳定.
(3)小明是 5 号选手.因为乙班的成绩的中位数是 8,所以小明的成绩是 8 分,则小明是 5 号选手.
20.3.2 用计算器求方差
一、选择题
1.在进行统计计算时,为了清除前一步输错的数据,应按键( )A.STAT B.DEL C. DCA D.DATA
2.下列说法正确的是( )
A.一个游戏的中奖概率是 ,则做 10 次这样的游戏一定会中奖
B.为了解全国中学生的心理健康情况,应该采用普查的方式
C.一组数据 6,8,7,8,8,9,10 的众数和中位数都是 8
D.若甲组数据的方差 ,乙组数据的方差 ,则乙组数据比甲组数据稳定
3.某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15,那么所求出平均数与实
际平均数的差是( )
A.3.5 B.3 C.0.5 D.-3
4.甲、乙两名同学在相同的条件下各射击 5 次,命中的环数如下表:
那么下列结论正确的是( )
A.甲的平均数是 7,方差是 1.2 B.乙的平均数是 7,方差是 1.2
C.甲的平均数是 8,方差是 1.2 D.乙的平均数是 8,方差是 0.8
5.已知一组数据 70,29,71,72,81,73,105,69,用计算器求得这组数据的方差为(精确到 0.01)
( )
A.378 B.377.69 C.378.70 D.378.69
6.已知一个样本 a,4,2,5,3,它的平均数是 3,则这个样本的标准差为( )
A.0 B.1 C. D.2
7.甲乙两人 5 次射击命中的次数如下:
则这两人次射击命中的环数的平均数都为 8,则甲的方差与乙的方差的大小关系为( )
A.甲的方差大 B.乙的方差大 C.两个方差相等 D.无法判断
1
10
2 0.01S =甲
2 0.1S =乙
28.甲、乙两台包装机同时包装质量为 500 克的物品,从中各抽出 10 袋,测得其实际质量分别如下(单位:
克)
借助计算器判断,包装机包装的 10 袋物品的质量比较稳定的是( )
A.甲 B.乙 C.一样稳定 D.无法判断
9.我校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会,对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了 8 次
选拔比赛.他们的成绩(单位:m)如下:
借助计算器判断运动员的成绩更为稳定的是( )
A.甲 B.乙 C.一样稳定 D.无法判断
10.甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击 20 次,3 人的测试成绩如下表:
借助计算器判断甲、乙、丙 3 名运动员测试成绩最稳定的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.三名运动员一样稳定
二、填空题
11.极差、 、 都是用来描述一组数据的 情况的特征数据.
12.利用计算器求标准差和方差时,首先要进入 计算状态,再依次输入每一个数据,最后按
求方差的功能键 ,即可得出结果.
13.打开计算器后,按键 、 进入统计状态.
14.输入数据后,按 键计算这组数据的方差.
15.输入数据后,按 键计算这组数据的标准差.三、解答题
16.已知一组数据 6,3,4,7,6,3,5,6.
(1)求这组数据的平均数、众数、中位数;
(2)求这组数据的方差和标准差.
17.为了从小明和小丽两人中选拔一个参加学校军训射击比赛,现对他们的射击成绩进行了测试,10 次打
靶命中的环数如下:
小明:10,7,8,8,8,8,8,8,9,6;
小丽:8,8,8,8,5,8,8,9,9,9
借助计算器计算小明和小丽命中环数的方差和标准差,哪一个人的射击成绩比较稳定?.
18.用计算器计算下列一组数据的平均数、标准差与方差:85,75,92,98,63,90,88,56,77,
95.(保留到小数点的后两位)
参考答案1. B 解析:在进行统计计算时,为了清除前一步输错的数据,应按键“DEL”.故选 B.
2. C 解析:一个游戏的中奖概率是 ,则做 10 次这样的游戏不一定会中奖,所以 A 选择的说法错误;
为了解全国中学生的心理健康情况,应该采用抽样调查的方式,所以 B 选项的说法错误;C 选项的说法正
确;若甲组数据的方差 ,乙组数据的方差 ,则甲组数据比乙组数据稳定,所以 D 选
项的说法错误.故选 C.
3. D 解析:求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15,即使总和减少了 90,所以求出
的平均数与实际平均数的差是 .故选 D.
4. A 解析:甲的平均数: =7,方差: =1.2;
乙的平均数: ,方差: =0.8.故选 A.
5. D 解析:将计算器功能模式设定为统计模式后一次按键 70 DATA 29 DATA 71 DATA …69 DATA 输入
所有数据;再按 SHIFT X-M =即可求得这组数据的方差,所以选 D.
6. C 解析:由题意,可得 a+4+2+5+3=15,即 a=1,所以这个样本的方差为
,所以这个样本的标准差为 .故选 C.
7. A 解析:甲的方差为 ,乙的方差为
,所以甲的方差大.故选 A.
8. B 解析:借助计算器可以求得甲包装机的方差为 0.806,乙包装机的方差为 0.172,所以乙的方差比较
小即乙包装机包装的 10 袋物品的质量比较稳定.故选 B.
9. A 解析:借助计算器可以求得甲运动员的方差为 0.0006,乙运动员的方差为 0.0315,所以甲的方差比
较小即甲运动员的成绩更稳定.故选 A.
10. A 解析:甲运动员成绩的方差为 0.65,乙运动员成绩的方差为 1.45,丙运动员成绩的方差为 1.25,
所以甲运动员成绩的方差较小,所以甲运动员的测试成绩最稳定.故选 A.
二、11.方差|标准差|波动 解析:极差、方差、标准差都是反映一组数据的波动情况的.
12. MODE| 解析:利用计算器求标准差和方差时,首先要进入 MODE 计算状态,再依次输入每一个数
据,最后按求方差的功能键 ,即可得出结果.
1
10
2 0.01S =甲
2 0.1S =乙
90 330
− = −
8 5 7 8 7
5
+ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 28 7 5 7 7 7 8 7 7 7
5
− + − + − + − + −
7 8 6 8 6 75
+ + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 27 7 8 7 6 7 8 7 6 7
5
− + − + − + − + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 1 3 4 3 2 3 5 3 3 3 25
− + − + − + − + − =
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 7 8 9 8 8 8 6 8 10 8 25
− + − + − + − + − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 7 8 8 8 9 8 8 8 8 8 0.45
− + − + − + − + − =
2
xS
2
xS13. MODE|2 解析:根据科学计算器的使用,打开计算器后,要启动计算器的统计计算功能应按键 MODE
2.
14. SHIFT X-M =解析:输入数据后,按 SHIFT X-M =键计算这组数据的方差.
15. SHIFT RM =解析:输入数据后,按 SHIFT RM =键计算这组数据的标准差.
三、16. 解:(1)按从小到大的顺序排列数据为:3,3,4,5,6,6,6,7,其中众数是 6,中位数是
,平均数为 .
(2)方差为 ,标准差为 .
17. 解:①按开机键 ON/C 后,首先将计算器功能模式设定为为统计模式;②依次按键:10 DATA 7 DATA 8
DATA …6 DATA 输入所有数据;再按 SHIFT X-M =求得小明射击的方差 =1,按 SHIFT RM =求得标准差
S=1;同理可求得小丽射击的方差 =1.2,标准差 S=1.095445115,所以第二组数据的方差约为 1.2,
第一组数据的方差为 1,因为 1.2>1,所以第二组数据的离散程度较大,小明射击成绩比小丽稳定.
18.解:这一组数据的平均数为 =81.9,方差为 S2=
[(85-81.9)2+(75-81.9)2+(92-81.9)2+(98-81.9)2+(63-81.9)2+(90-81.9)2+(88
-81.9)2+(56-81.9)2+(77-81.9)2+(95-81.9)2]=174.49,标准差为 S≈13.21.
5 6 5.52
+ = 3 3 4 5 6 6 6 7 58x
+ + + + + + += =
2 4 4 1 0 1 1 1 4 28S
+ + + + + + += = 2S =
2S
2S
( )1 85 75 92 98 63 90 88 56 77 9510
+ + + + + + + + + 1
10