内蒙古赤峰市2020届高三四月模拟考试理科数学试题答案.pdf

理科数学答案 第 1 页 共 1 页 赤峰市高三 4·20 模拟考试试题 理科数学参考答案 2020.4 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1.B ； 2. D； 3.D ； 4.C； 5. A； 6.B； 7.D； 8.C ； 9.D ； 10.A； 11.B ； 12.A． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13． 3  ； 14. 56 39 ； 15. 5 36 ； 16． 3， . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. (12 分) （1）证明： PAD 为等边三角形， E 为 AD 的中点， PE AD∴ 平面 PAD 底面 ABCD，平面 PAD 底面 =ABCD AD ， PE ∴ 底面 ， BC 平面 ， PE BC∴ …………3 分 由又题意可知 ABCE 为正方形， CE BC 又 PE EC E ， BC  平面 PCE ………………………5 分 平面 PBC ， 平面 PBC 平面 PCE ………………………6 分 （2）解：如图建立空间直角坐标系，则 (0,0,0), (0, 1,0), (1, 1,0), (1,0,0)E A B C (0,1,0), (0,0, 3DP） ，由已知 3 5CF CD   ，得 23( , ,0)55F ……………7 分 23(1, 1, 3), ( , , 3)55PB PF       设平面 PBF 的法向量为 ( , , )n x y z  ，则 理科数学答案 第 2 页 共 2 页 30 23 3055 n PB x y z n PF x y z                令 3z  ，则 24 9,55xy， 24 9 355n   ，， …………………………………………………………9 分 又（1）知平面 PAD 的法向量可取为 (1,0,0)m   ………………………10 分  22 2 24 4 1835cos , 6124 9 355 mn                 …………………11 分 平面 与平面 PBF 所成的锐二面角的余弦值为 4 183 61 . …………12 分 18. (12 分) 解：（1） 1 1 1 1 1 1(2 ) (2 ) 3( )n n n n n n n na b a b b a a b            ………………3 分 ,2n N n   ， 11 =3nn nn ab ab   所以数列 nnab 是以3为首项，以 为公比的等比数列 ……………6 分 （2）由（1）知， =3n nnab ， 1 1 1 1 1 1(2 ) (2 )n n n n n n n na b a b b a a b             nnab为常数列，且 111nna b a b    …………………………8 分 2 3 1n na   ， 31 2 n na  11 +1 3 4 3 1 1=2(3 1)(3 1) 3 1 3 1 nn n n n n nnaa         ……………………10 分 理科数学答案 第 3 页 共 3 页 1 1 1 1 1 1 12 4 10 10 28 3 1 3 1n nnS                          11 1 1 1 22=4 3 1 2 3 1nn    ……………………………………12 分 19. (12 分) 解：（1） 男生 女生 总计 喜欢阅读中国古典文学 42 30 72 不喜欢阅读中国古典文学 30 18 48 总计 72 48 120 …………………………………………………………3 分 2 2 72 48 120 7 (42 18 30 30) =0.208 3.2 48 841K     所以，没有 95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系……6 分 （2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为 m ，女生中喜欢古典文学的人数 为 n ，则 =mn  .且 =2 3 4 ，，……………………………………………………7 分     1 2 1 1 2 2 2 1 32 43 1=2 1, 1 ;3 C C C CP P m n CC            2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 4 3 4 3 1=3 2, 1 1, 2 ;2 C C C C C C CP P m n P m n C C C C              2 1 2 2 2 2 32 43 1=4 2, 2 6 C C CP P m n CC      ……………………………………………………10 分 所以 的分布列为：  2 3 4 P 1 3 1 2 1 6 则   1 1 1 17=2 +3 +4 = .3 2 6 6E     …………………………………12 分 理科数学答案 第 4 页 共 4 页 20.(12 分) 解：（1）依题意 0232 22 cd ，解得 1c  （负根舍去） 抛物线C 的方程为 2 4xy ……………………………………5 分 （2）设点 11( , )A x y , 22( , )B x y ， )1,( tP ，由 2 4xy , 即 21 4yx, 得 y  1 2 x ………………………………………6 分 ∴抛物线C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 )(2 1 1 1 xxxyy  ， 即 2 11 1 2 1 2 xyxxy  ……………………………………7 分 ∵ 2 11 4 1 xy  ， ∴ 1 1 2 yxxy  ，∵点 在切线 PA 上, 1 1 21 ytx  ①，同理， 2 2 21 ytx  ② ……………………………8 分 综合①、②得，点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 的坐标都满足方程 ytx  21 . 即直线 :AB 12  xty 恒过抛物线焦点 (0,1)F ……………………9 分 当 0t 时，此时 )1,0( P ,可知： ABPF  当 0t ，此时直线 PF 直线的斜率为 2 PFk t ，得 ……………10 分 于是 ABPFS PAB  2 1 ，而 4)11()0( 222  ttPF 把直线 代入 2 4xy 中消去 x 得 22(2 ) 1 0y t y    …………11 分 2 21 42 tyyAB  ，即： 2 3 222 )4(2 14)4(2 1 tttS  理科数学答案 第 5 页 共 5 页 当 0t  时， PABS 最小，且最小值为 4…………………………………………12 分 21.（12 分） 解（1）∵函数  xg 的定义域为  ，0 ，由   0ln21 3 '  x xxg ，解得  ex ,0 为 增区间；由   0ln21 3 '  x xxg 解得   ，ex 为减区间……………2 分 下面证明函数只有一个零点：   02 1,01 2      eegeeg ，所以函数在区间  e，0 内有零点，    0,  xgx ，函数在区间  ，e 上没有零点， 故函数只有一个零点 …………………………………………………5 分 （2） 证明：函数      1ln1  xaexafexh xx ，则     1,1 1 1 '   xx aex x aexh x x ……………………………6 分 当 0a 时，   0' xh ，不符合题意；当 0a 时，令 axexm x  )1()( ， 1x ， 则   0 xxexm ，所以 )(xm 在 ,1 上单调增函数，而 0)1( m ，又  xh 区间 (1,1 )ae 上不单调，所以存在 0 (1,1 )axe ，使得  xh' 在 上有一 个零点 0x ，即   00 ' xh ，所以 0)( 0 xm ……………………………8 分 0)()1( 0 11      xmaeaeeem aeea a a a ，即 1 aaeea  两边取自然对数，得1 aa e lna   ，即1 ae lna a   ， 要证 11 1 aaa ，不妨考虑证 1111 ae lnaaa     ……………………10 分 先证明： 1( 0)xe x x   ，令 ( ) 1xn x e x   ，则 ( ) 1 0xn x e    ∴ ()nx 在 (0 )， 上单调递增，即 ( ) (0) 0n x n，∴ 1( 0)xe x x   ① 在①中令 xa ，∴ 1 1 11 11 aa ae a ee a a       ……………………11 分 理科数学答案 第 6 页 共 6 页 令 1lnx a ∴ 1ln 1ln 1ae a，即 1 1 1ln 1 1 ln aa a a     即 111 ln1 aeaaa     ， 11 1 aaa ． ……………………………12 分 22.（10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 解：（1） 2 2 2 2 2 12 , 3 sin 12.3 sin       由 cos sin x y      得 223 4 12,xy  曲线C 的直角坐标方程为 22 143 xy. 当 2a  时，直线l 的普通方程为 2 2 0xy   ……………………………3 分 由 22 2 2 0 143 xy xy     解得 2 0 x y    或 1 3 2 x y   . 从而 与 的交点坐标为  32,0 , 1, 2  .……………………………………5 分 （2）由题意知直线 的普通方程为 20x y a   ， 的参数方程为 2cos 3 sin x y     （ 为参数） 故 上任意一点  2cos , 3 sinP 到 的距离为 4sin2cos 2 3sin 6 55 aa d  ………………………………8 分 则 2 4sin 62sin 45 5 adPA d    . 当 0a  时， PA 的最大值为 24 10 5 a  ，所以 1a  ； 理科数学答案 第 7 页 共 7 页 当 0a  时， PA 的最大值为 24 10 5 a  ，所以 1a  . 综上所述， 1a  或 …………………………………………………………10 分 23.（10 分）选修 4－5：不等式选讲 （1）解： 3, 1 ( ) 2 1, 1 2 3, 2 x f x x x x           ………………………………………………………3 分 当 1x  时， 31恒成立，所 ； 当 12x   时， 2 1 1x即 1x  ，所 11x   ； 当 2x  时，31 显然不成立，所以不合题意； 综上所述，不等式的解集为 ( ,1] ………………………………………………5 分 （2）证明：由(1)知 max( ) 3f x s，于是 3abc   由基本不等式可得 2 2 2 2 2 4 2 222a b b c a b c ab c   （当且仅当 ac 时取等号） 2 2 2 2 2 2 4 222b c c a a b c abc   （当且仅当ba 时取等号） 2 2 2 2 4 2 2 222c a a b a b c a bc   （当且仅当cb 时取等号）………………8 分 上述三式相加可得 2 2 2 2 2 22( ) 2 ( )a b b c c a abc a b c     （当且仅当 abc时取等号） 3abc   ， 2 2 2 2 2 2 3a b b c c a abc    ，故得证………………………10 分