高三数学讲评（5-15） － 第 1 页 共 10 页
江苏省新海高级中学、昆山中学、梁丰高级中学
三校 2020 届 五 月 高 考 模 拟 联考
数学Ⅰ参考答案及讲评 2020 年 5 月 9 日
一．填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．． 。
1. 已知集合 A= {-1，0，2},B={-1，1，2}，则 A U B = ▲ ．
2. 已知复数 z 满足(1 + i ) = 2i，其中 i 是虚数单位，则 z 的模为 ▲ ．
3. 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时间,所得数据都在[50,150]中，其
频率分布直方图如图所示，已知在[50，100)中的频数为 160，则 n 的值为 ▲ ．
4. 如图所示的流程图，当输入 n 的值为 10 时，则输出 S 的值为 ▲ ．
5. 已知 m∈ {-1,0,1}, n∈ {-2,2},若随机选取 m, n, 则直线 mx+ny+1=0 的斜率为正值的概率是
▲ ．
6. 已知直四棱柱底面是边长为 2 的菱形,侧面对角线的长为 2 3,则该直四棱柱的侧面积为 ▲ ．
7. 设 S 是等差数列{an}的前 n 项和, S7=3(a1 +a 9),则 a 5
a 4
的值为 ▲ ．
8. 将函数 f(x)＝sin 2x＋π
3 的图象向左平移(＞0) 个单位后, 恰好得到函数的 y = sin2x 的图象,
则 的最小值为 ▲ ．
9. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A 为双曲线 x2－y2 = 4 的左顶点, 点 B 和点 C 在双曲线的右支
上, △ABC 是等边三角形, 则△ABC 的面积为 ▲ ．
10. 在平行四边形 ABCD 中, ∠A= π
3 , 边 AB、AD 的长分别为 2、1, 若 M、N 分别是边 BC、CD 上
的点且满足|BM|
|BC|=|CN|
|CD|, 则AM→ ·AN→的取值范围是 ▲ ． 高三数学讲评（5-15） － 第 2 页 共 10 页
【答案】 2
1.｛－1，0，1，2｝ 2. 2 3. 10000 4. 54 5. 1
3
6. 16 2 7. 7
6 8. 5π
6 9. 12 3 10. [2，5]
11. 在△ABC 中, AB+BC=4, ABcos A+ BC cos C=1,则当角 B 最大时, △ABC 的面积为 ▲ ．
12. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O: x2 ＋ y 2=1, 圆 M: (x＋ a＋ 3)2+(y－ 2a) 2 =1(a 为实数).
若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P,Q,使得∠ OQP=30°, 则 a 的取值范围为 ▲ ．
13. 已知 x>0, y>0,z>0, x+ 3y+z=6,则 x 3 +y2+3z 的最小值为 ▲ ．
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14. 已知函数 f(x)＝| |x－a －3
x +a－ 2 有且仅有三个零点, 且它们成等差数列, 则实数 a 的取值集合
为 ▲ ．
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二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答．．题卡指定区域内．．．．．．．作答解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步驟．
15. (本小题满分 14 分)
如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠ABC=90°, AB=AA1, M, N 分别是
AC, B1C1 的中点．
求证: (1) MN∥平面 ABB1A1; (2) AN⊥A1B．
16. (本小题满分 14 分)
已知在△ABC 中, AB = 6, BC = 5 且△ABC 的面积为 9．
(1) 求 AC 的长度;
(2) 当△ABC 为锐角三角形时, 求 cos 2A＋π
6 的值．
N
（第 15 题） A
B
C
A1
B1 C1
M
P 高三数学讲评（5-15） － 第 5 页 共 10 页
17. (本小题满分 14 分)
如图，河的两岸分别有生活小区 ABC 和 DEF，其中 AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F 三点
共线，FD 与 BA 的延长线交于点 O，测得 AB = 3km，BC=4km，DF= 9
4 km，FE=3km，EC=3
2 km.
若以 OA,OD 所在直线分别为 x, y 轴建立平面直角坐标系 xoy，则河岸 DE 可看成是曲线 y = x+b
x+a
（其中 a，b 为常数）的一部分，河岸 AC 可看成是直线 y = kx+m（其中 k，m 为常数）的一部分.
（1）求 a，b，k，m 的值；
（2）现准备建一座桥 MN，其中 M,N 分别在 DE,AC 上，且 MN⊥AC，设点 M 的横坐标为 t.
① 请写出桥 MN 的长 l 关于 t 的函数关系式 l= f (t)，并注明定义域；
② 当 t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？
O A
C
B
D
E F
x
y
M
N
（第 17 题） 高三数学讲评（5-15） － 第 6 页 共 10 页
18. (本小题满分 16 分)
如图，在平面直角坐标系 xoy 中，点 B2，B1，分别是椭圆 x 2
a 2＋ y 2
b 2=1 (a>b>0)的上、下顶点，线
段 B1 B2 长为 2，椭圆的离心率为 3
2 .
(1) 求该椭圆的方程；
(2) 已知过点 E (0，1
2 )的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，直线 MB2 与直线 NB1 交于点 T.
① 若直线 l 的斜率为1
2 ，求点 T 的坐标；
② 求证点 T 在一条定直线上，并写出该直线方程.
x
y
（第 18 题）
B1
B2
E
N
T
M
O 高三数学讲评（5-15） － 第 7 页 共 10 页
高三数学讲评（5-15） － 第 8 页 共 10 页
19. (本小题满分 16 分)
已知数列{an}的前 n 项和为 S n，设数列{bn}满足 bn =2(Sn +1－S n) S n－n (S n +1＋Sn )( n∈N*).
(1) 若数列{an}为等差数列，且 bn =0，求数列{an}的通项公式；
(2) 若 a1=1，a2=3，且数列{ a2n -1}，{a2n} 都是以 2 为公比的等比数列，求满足不等式
b2n-1＜b2n 所有正整数 n 的集合.
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20. (本小题满分 16 分)
已知函数 f(x)=(x+l)lnx+ax (a∈ R).
(1) 若 y=f (x)在(1，f (1)处的切线方程为 x+y+b=0， 求实数 a，b 的值;
(2) 证明:当 a
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