【试题】2020届江苏省南通市高三年级第三次高考全真经典冲刺模拟卷数学试题.doc

2020 届江苏省南通市高三年级第三次高考全真经典冲刺模拟卷 数学试题 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上．） 1．设集合 A＝{1，x}，B＝{2，3，4}，若 A B＝{4}，则 x 的值为 ． 2．已知复数 z 满足 zi＝1＋i（i 为虚数单位），则复数 z﹣i 的模为 ． 3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 200，右图为检测结果的 频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20， 25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ． 第 3 题 第 5 题 4．幂函数 的单调增区间为 ． 5．根据图中所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 ． 6．设实数 x，y 满足 ，则 3x＋2y 的最大值为 ． 7．已知双曲线 C： (a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线 l： ，且 它的一个焦点在直线 l 上，则双曲线 C 的方程为 ． 8．已知双曲线 的左、右顶点为 A、B，焦点在 y 轴上的椭圆以 A、B 为顶点， 且离心率为 ，过 A 作斜率为 k 的直线交双曲线于另一点 M，交椭圆于另一点 N，若 ，则 k 的值为 ． 9．已知函数 ，若 ，则 的值为 ．  2( )f x x−= 0 1 2 1 x y x y x y − ≥  + ≤  + ≥ 2 2 2 2 1x y a b − = 2 10y x= + 2 2 14 yx − = 3 2 AN NM=  1( ) cos (sin cos ) 2f x x x x= + − 2( ) 6f α = cos( 2 )4 π α−10．已知函数 ，x R，则 的解集是 ． 11．定义在[﹣1，1]上的函数 (a＞1)的值恒非负，则 a﹣b 的最大值为 ． 12．在△ABC 中，若 ，则 cosC 的值为 ． 13．若△ABC 中，AB＝ ，BC＝8，∠B＝45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足 ，则 AD 长度的最小值为 ． 14．已知偶函数 满足 ，且在 x [﹣2，0]时， ， 若 存 在 ， ， … ， 满 足 0 ≤ ＜ ＜ … ＜ ， 且 ， 则 最 小 值 为 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分 14 分） 已知函数 (A＞0，0＜ ＜ )的最小值是﹣2，其图象经过点 M( ，1)． （1）求 的解析式； （2）已知 ， (0， )，且 ， ，求 的值． 16．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，∠BAD＝90°，AD∥ BC，AD＝2BC，AB⊥PA． （1）求证：平面 PAD⊥平面 ABCD； （2）若 E 为 PD 的中点，求证：CE //平面 PAB． 2( ) 2 xf x x += + ∈ 2( 2 ) (2 )f x x f x− < − ( ) sinf x x ax b= − + 35 21 15 CA AB AB BC BC CA = = ⋅ ⋅ ⋅      2 (AB AD) (AC AD) 4⋅ ⋅ ⋅ =    ( )y f x= ( 2) (2 )f x f x+ = − ∈ 2( ) 1f x x= − + 1x 2x nx 1x 2x nx 1 2 2 3( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x− + − + 1( ) ( ) 2017n nf x f x−+ − = nx ( ) Asin( )f x x ϕ= + ϕ π 3 π ( )f x α β ∈ 2 π 8( ) 5f α = 24( ) 13f β = ( )f α β−17．（本小题满分 14 分） 有一块以点 O 为圆心，半径为 2 百米的圆形草坪，草坪内距离 O 点 百米的 D 点有 一用于灌溉的水笼头，现准备过点 D 修一条笔直小路交草坪圆周于 A，B 两点，为了方便 居民散步，同时修建小路 OA，OB，其中小路的宽度忽略不计． （1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度； （2）若要在△ABO 区域内（含边界）规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试 求这块圆形广场的最大面积．（结果保留根号和 ） 18．（本小题满分 16 分） 如图，点 A，B，F 分别为椭圆 C： (a＞b＞0)的左、右顶点和右焦点，过点 F 的直线交椭圆 C 于点 M，N． （1）若 AF＝3，点 F 与椭圆 C 左准线的距离为 5，求椭圆 C 的方程； （2）已知直线 BN 的斜率是直线 MA 斜率的 2 倍．①求椭圆 C 的离心率；②若椭圆 C 的焦距为 2，求△AMN 面积的最大值． 2 π 2 2 2 2 1x y a b + =19．（本小题满分 16 分） 已知数列 的首项 (a＞0)，其前 n 项和为 ，设 (n )． （1）若 ， ，且数列 是公差为 3 的等差数列，求 ； （2）设数列 的前 n 项和为 ，满足 ．①求数列 的通项公式；②若对 n ，且 n≥2，不等式 恒成立，求 a 的取值范围． 20．（本小题满分 16 分） 已知函数 ， ， ，c R． （1）当 k＝1 时，①若曲线 与直线 相切，求 c 的值；②若曲线 与直线 有公共点，求 c 的取值范围． （2）当 k≥2 时，不等式 对于任意正实数 x 恒成立，当 c 取得 { }na 1a a= nS 1n n nb a a += + N∗∈ 2 1a a= + 3 22a a= { }nb 2nS { }nb nT 2 nT n= { }na ∀ N∗∈ 1( 1)( 1) 2(1 )n na a n+− − ≥ − ( ) lnkf x x x= Nk ∗∈ ( ) 1g x cx= − ∈ ( )y f x= ( )y g x= y ( )f x= ( )y g x= 2( ) ( )f x ax bx g x≥ + ≥最大值时，求 a，b 的值． 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换 已知点 A 在变换 T： 作用后，再绕原点逆时针旋转 90° ，得到 点 B．若点 B 的坐标为(﹣3，4)，求点 A 的坐标． B．选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，设 P 为曲线 C： ＝2 上任意一点，求点 P 到直线 l： 的最大距离． 2x x x y y y y ′ +     → =     ′      ρ sin( ) 33 πρ θ − =C．选修 4—5：不等式选讲 已知正数 a，b，c 满足 2a＋3b＋6c＝2，求 的最小值． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，已知 AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D 是 线段 BC 的中点． （1）求直线 DB1 与平面 A1C1D 所成角的正弦值； （2）求二面角 B1—A1D—C1 的大小的余弦值． 23．（本小题满分 10 分） （1）求证： ； （2）求证： ． 3 2 1 a b c + + 1 1( )k k n k n kkC n k C − − − −= − 1008 2017 0 ( 1) 1 2017 2017 n n n n Cn − = − =−∑