提分专练(08)　与圆有关的证明及计算.docx

提分专练(八)　与圆有关的证明及计算 ‎|类型1|　平面直角坐标系中的圆 ‎1.[2019·无锡]如图T8-1,一次函数y=kx+b的图象与x轴的负半轴相交于点A,与y轴的正半轴相交于点B,且sin∠ABO=‎3‎‎2‎,△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为-3.‎ ‎(1)求这个一次函数的表达式;‎ ‎(2)求图中阴影部分的面积.‎ 图T8-1‎ ‎2.[2017·酒泉]如图T8-2,AN是☉M的直径,NB∥x轴,AB交☉M于点C.‎ ‎(1)若点A‎0,6‎,N‎0,2‎,∠ABN=30°,求点B的坐标;‎ ‎(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是☉M的切线.‎ 图T8-2‎ ‎|类型2|　垂径定理与勾股定理联手 ‎3.[2019·苏州]如图T8-3,扇形OAB中∠AOB=90°,P为AB上的一点,过点P作PC⊥OA,垂足为C.PC与AB交于点D.若PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为　　　　. ‎ 图T8-3‎ ‎|类型3|　与圆有关的图形的面积 ‎4.[2018·达州]已知,如图T8-4,以等边三角形ABC的边BC为直径作☉O,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.‎ ‎(1)求证:DF是☉O的切线;‎ ‎(2)若等边三角形ABC的边长为8,求由DE,DF,EF围成的阴影部分的面积.‎ 图T8-4‎ ‎|类型4|　与圆的切线有关的问题 ‎5.[2019·巴中]如图T8-5,在菱形ABCD中,连接BD,AC交于点O,过点O作OH⊥BC于点H,以点O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M.‎ ‎(1)求证:DC是☉O的切线;‎ ‎(2)若AC=4MC且AC=8,求图中阴影部分的面积;‎ ‎(3)在(2)的条件下,P是线段BD上的一动点,当PD为何值时,PH+PM的值最小,并求出最小值.‎ 图T8-5‎ ‎|类型5|　圆与四边形结合的问题 ‎6.[2019·温州]如图T8-6,在△ABC中,∠BAC=90°,点E在BC边上,且CA=CE,过A,C,E三点的☉O交AB于另一点F,作直径AD,连接DE并延长交AB于点G,连接CD,CF.‎ ‎(1)求证:四边形DCFG是平行四边形;‎ ‎(2)当BE=4,CD=‎3‎‎8‎AB时,求☉O的直径长.‎ 图T8-6‎ ‎|类型6|　圆与三角函数结合的问题 ‎7.如图T8-7,AB是☉O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB.‎ ‎(1)判断BD与☉O的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)若CD=15,BE=10,tanA=‎5‎‎12‎,求☉O的直径.‎ 图T8-7‎ ‎|类型7|　圆与相似三角形结合的问题 ‎8.[2019·滨州]如图T8-8,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.‎ ‎(1)求证:直线DF是☉O的切线;‎ ‎(2)求证:BC2=4CF·AC;‎ ‎(3)若☉O的半径为4,∠CDF=15°,求阴影部分的面积.‎ 图T8-8‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.解:(1)作MN⊥BO于N,由垂径定理得N为OB中点,∴MN=‎1‎‎2‎OA,‎ ‎∵MN=3,∴OA=6,即A(-6,0).‎ ‎∵sin∠ABO=‎3‎‎2‎,OA=6,‎ ‎∴AB=4‎3‎,OB=2‎3‎,B(0,2‎3‎),‎ 将A,B点坐标代入y=kx+b,‎ 得b=2‎3‎,‎‎-6k+b=0,‎解得b=2‎3‎,‎k=‎3‎‎3‎,‎ ‎∴y=‎3‎‎3‎x+2‎3‎.‎ ‎(2)由(1)得∠ABO=60°,连接OM,则∠AMO=120°,AM=MB=‎1‎‎2‎AB=2‎3‎.‎ ‎∴阴影部分面积为S=‎120π‎360‎×(2‎3‎)2-‎1‎‎2‎×6×‎3‎=4π-3‎3‎.‎ ‎2.解:(1)∵A的坐标为(0,6),N的坐标为(0,2),∴AN=4,‎ ‎∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,∴AB=2AN=8,‎ ‎∴由勾股定理可知:NB=4‎3‎,∴B(4‎3‎,2).‎ ‎(2)证明:连接MC,NC.‎ ‎∵AN是☉M的直径,∴∠ACN=90°,‎ ‎∴∠NCB=90°,在Rt△NCB中,D为NB的中点,‎ ‎∴CD=‎1‎‎2‎NB=ND,∴∠CND=∠NCD.‎ ‎∵MC=MN,∴∠MCN=∠MNC.‎ ‎∵∠MNC+∠CND=90°,‎ ‎∴∠MCN+∠NCD=90°,即MC⊥CD,‎ ‎∴直线CD是☉M的切线.‎ ‎3.5　[解析]连接OP,∵∠AOB=90°,PC⊥OA,∴∠DCA=∠AOB=90°,又∠DAC=∠BAO,∴△ACD∽△AOB,∴ACAO‎=‎CDOB,‎ ‎∵OA=OB,∴AC=CD=1,‎ 又PD=2,∴CP=3,‎ 设CO=x,则OP=OA=x+1,‎ ‎∵∠PCO=90°,∴OP2=OC2+CP2,∴x2+32=(x+1)2,解得x=4,∴OA=x+1=5.‎ ‎4.解:(1)证明:连接OD,CD.‎ ‎∵BC是直径,∴∠BDC=90°.‎ ‎∵△ABC是等边三角形,∴点D是AB的中点.‎ ‎∵点O是BC的中点,∴OD∥AC.‎ ‎∵DF⊥AC,∴OD⊥DF.‎ ‎∵OD是半径,∴DF是☉O的切线.‎ ‎(2)连接OD,OE,DE.‎ ‎∵同(1)可知点E是AC的中点,‎ ‎∴DE是△ABC的中位线,△ADE是等边三角形.‎ ‎∵等边三角形ABC的边长为8,‎ ‎∴等边三角形ADE的边长为4.‎ ‎∵DF⊥AC,∴EF=2,DF=2‎3‎.‎ ‎∴△DEF的面积=‎1‎‎2‎EF·DF=‎1‎‎2‎×2×2‎3‎=2‎3‎.‎ ‎△ADE的面积=△ODE的面积=4‎3‎.‎ 扇形ODE的面积=‎60·π·‎‎4‎‎2‎‎360‎‎=‎‎8π‎3‎.‎ ‎∴阴影部分的面积=△DEF的面积+△ODE的面积-扇形ODE的面积=2‎3‎+4‎3‎‎-‎‎8‎‎3‎π=6‎3‎‎-‎‎8π‎3‎.‎ ‎5.[解析](1)过点O作CD的垂线,通过证明其与半径相等,得到CD是切线;(2)通过三角函数计算边长和圆心角度数,得到三角形和扇形的面积,继而可得阴影部分面积;(3)根据轴对称的性质找到点P的位置,进而计算最小值,利用三角函数求PD的长度.‎ 解:(1)证明:过点O作OG⊥CD于点G,‎ ‎∵菱形ABCD中,AC是对角线,‎ ‎∴CA平分∠BCD,‎ ‎∵OH⊥BC,∴OH=OG,‎ ‎∵OH是☉O的半径,‎ ‎∴OG长等于☉O的半径长,∴CD是☉O的切线.‎ ‎(2)∵AC=4MC且AC=8,‎ ‎∴OC=2MC=4,MC=OM=2,∴OH=OM=2.‎ 在Rt△OHC中,OH=2,OC=4,‎ ‎∴HC=OC‎2‎-OH‎2‎=2‎3‎,‎ ‎∴tan∠HOC=HCOH‎=‎‎3‎,‎ ‎∴∠HOC=60°,∴S阴影=S△OCH-S扇形OHM=‎1‎‎2‎CH·OH-‎60π·OH‎2‎‎360‎‎=‎‎1‎‎2‎×2‎3‎×2-‎60π·‎‎2‎‎2‎‎360‎=2‎3‎‎-‎‎2‎‎3‎π.‎ ‎(3)作点M关于BD的对称点N,连接HN交BD于点P,此时PH+PM的值最小.‎ ‎∵ON=OM=OH,∠MOH=60°,‎ ‎∴∠MNH=30°,∠MNH=∠HCM,‎ ‎∴HN=HC=2‎3‎,即PH+PM的最小值为2‎3‎.‎ 在Rt△NPO中,OP=ONtan30°=‎2‎‎3‎‎3‎,‎ 在Rt△COD中,OD=OCtan30°=‎4‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴PD=OP+OD=2‎3‎.‎ ‎6.解:(1)证明:连接AE.‎ ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∴CF是☉O的直径.‎ ‎∵AC=EC,∴CF⊥AE.‎ ‎∵AD为☉O的直径,‎ ‎∴∠AED=90°,‎ 即GD⊥AE,∴CF∥DG.‎ ‎∵AD为☉O的直径,∴∠ACD=90°,‎ ‎∴∠ACD+∠BAC=180°,∴AB∥CD,‎ ‎∴四边形DCFG为平行四边形.‎ ‎(2)由CD=‎3‎‎8‎AB,可设CD=3x,AB=8x,由(1)可知FG=CD=3x.‎ ‎∵∠AOF=∠COD,∴AF=CD=3x,‎ ‎∴BG=8x-3x-3x=2x.‎ ‎∵GE∥CF,∴BEEC‎=BGGF=‎‎2‎‎3‎.‎ 又∵BE=4,∴AC=CE=6,‎ ‎∴BC=6+4=10,‎ ‎∴AB=‎1‎0‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=8=8x,‎ ‎∴x=1.‎ 在Rt△ACF中,AF=3,AC=6,‎ ‎∴CF=‎3‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=3‎5‎,‎ 即☉O的直径长为3‎5‎.‎ ‎7.解:(1)BD与☉O相切.理由如下:连接OB,‎ ‎∵OB=OA,DE=DB,‎ ‎∴∠A=∠OBA,∠DEB=∠ABD,‎ 又∵CD⊥OA,∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°,‎ ‎∴∠OBA+∠ABD=90°,‎ ‎∴OB⊥BD,∴BD是☉O的切线.‎ ‎(2)如图,过点D作DG⊥BE于G,‎ ‎∵DE=DB,∴EG=‎1‎‎2‎BE=5,‎ ‎∵∠ACE=∠DGE=90°,∠AEC=∠GED,‎ ‎∴△ACE∽△DGE,‎ ‎∴∠GDE=∠A,‎ ‎∵tanA=‎5‎‎12‎,∴sinA=‎5‎‎13‎,‎ ‎∴sin∠EDG=sinA=EGDE‎=‎‎5‎‎13‎,∴DE=13,‎ 在Rt△EDG中,DG=DE‎2‎-EG‎2‎=12,‎ ‎∵CD=15,DE=13,∴CE=2,‎ ‎∵△ACE∽△DGE,∴ACDG‎=‎CEGE,‎ ‎∴AC=CEGE·DG=‎24‎‎5‎,‎ ‎∴☉O的直径=2OA=4AC=‎96‎‎5‎.‎ ‎8.解:(1)证明:如图所示,连接OD,‎ ‎∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,‎ ‎∵OB=OD,‎ ‎∴∠ODB=∠ABC=∠C,‎ ‎∵DF⊥AC,‎ ‎∴∠CDF+∠C=90°,‎ ‎∴∠CDF+∠ODB=90°,‎ ‎∴∠ODF=90°,‎ ‎∴直线DF是☉O的切线.‎ ‎(2)证明:连接AD,则AD⊥BC,‎ ‎∵AB=AC,∴DB=DC=‎1‎‎2‎BC.‎ ‎∵∠CDF+∠C=90°,∠C+∠DAC=90°,‎ ‎∴∠CDF=∠DAC,‎ 又∠DFC=∠ADC=90°,∴△CFD∽△CDA,‎ ‎∴CDAC‎=‎CFCD,∴CD2=AC·CF,∴BC2=4CF·AC.‎ ‎(3)连接OE,作OG⊥AE于G.‎ ‎∵∠CDF=15°,‎ ‎∴∠C=75°,∠OAE=30°=∠OEA,∴∠AOE=120°,‎ ‎∴AE=2EG=2OE·cos30°=2×4×‎3‎‎2‎=4‎3‎.‎ ‎∴S△OAE=‎1‎‎2‎AE·OE·sin∠OEA=‎1‎‎2‎×4‎3‎×4×‎1‎‎2‎=4‎3‎,∴S阴影部分=S扇形OAE-S△OAE=‎120‎‎360‎×π×42-4‎3‎‎=‎‎16π‎3‎-4‎3‎.‎