浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测
高三数学答案及评分细则
2020.05
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．
1．设全集，集合，则 ．
2. 某次考试，名同学的成绩分别为：，则这组数据的中位数为 ．
3. 若函数，则 ．
4. 若是关于的方程的一个根（其中为虚数单位，），则 ．
5.若两个球的表面积之比为则这两个球的体积之比为 ．
6.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，则直线与圆的位置关系是 相交 ．
7. 若二项式展开式的第项的值为，则 ．
8. 已知双曲线的渐近线方程为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.
9. 从个男生、个女生中任选个人当发言人，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同．如果的概率和的概率相等，则 ．
10. 已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为 {1} ．
11. 如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，若
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的面积为，则的最小值为 .
12.已知数列满足，对任何正整数均有，，设，则数列的前项之和为 .
【解】，
，，
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．若、满足 ， 则目标函数的最大值为( )
A． B． C． D.
14. 如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线( )
A． 有一条 B． 有二条
C． 有无数条 D. 不存在
15. 已知函数.给出下列结论：
①是周期函数； ② 函数图像的对称中心；
③ 若，则；
④ 不等式的解集为.
则正确结论的序号是 ( )
A． ① ② B． ② ③ ④ C． ① ③ ④ D. ① ② ④
16. 设集合，设集合是集合的非空子集，中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为的子集的元素个数之和为( )
A． B． C． D.
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三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形(及其内部)以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的．
（1）求此几何体的体积；
（2）设是弧上的一点，且，求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【解答】（1）因为．…………（4分）
所以，．………（7分）
（2）如图所示，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系．则，，，．
所以，，.…………………（11分）
设异面直线与所成的角为，则
.…………（13分）
所以，异面直线与所成角为.…………（14分）
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
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已知锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴正方向重合，终边与单位圆分别交于、两点，若、两点的横坐标分别为．
（1）求的大小；
（2） 在中，为三个内角对应的边长，若已知角，，且，求的值．
【解答】（1）由已知 ………… (2分)
因而 …………（6分）
（2）法一：（正弦定理）由已知， ………….(7分)
…………(10分)
…………(14分)
法二：（余弦定理），
因而由已知得
法三：（余弦定理、正弦定理）
因而由余弦定理得：
同理
得得
法四：（射影定理）可得，
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下同解法二
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．
（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；
（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．
【解答】（1）法一：因为当时，，所以当时不满足条件②．
…………（6分）
法二：由条件②可知．
因为，所以当时不满足条件②．…………（6分）
法三：由条件②可知在上恒成立，所以，
解得，所以当时不满足条件②．…………（6分）
(注：如果证明了当时满足条件①得2分)
（2）法一：由条件①可知，在上单调递增，则对任意时，
有恒成立，
即恒成立，所以；…………（10分）
由条件②可知，，即不等式在上恒成立，
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所以 …………（13分）
综上，参数的取值范围是．…………（14分）
法二：由条件①可知，在上单调递增，
所以当时，满足条件；当时，得，
所以 …………（10分）
由条件②可知，，即不等式在上恒成立，所以，得 …………（13分）
综上，参数的取值范围是．…………（14分）
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；
（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围.
【解答】（1）由可得，从而，
椭圆方程为. ………… (4分)
（2）由于四边形是菱形，因此且.
由对称性，在线段上. 因此，分别关于原点对称；
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并且由于菱形的对角线相互垂直，可得，即. ………… (6分)
设，与椭圆方程联立可得，设A(x1,y1),Bx2,y2,因此，. ………… (8分)
由，可得，
解得，即直线方程为.………… (10分)
（3） 设，由，可得，
即.
化简可得，
即.
若，则经过，不符，因此.………… (12分)
联立直线与椭圆方程，.
因为 ①
由，可得， ② ………… (14分)
将②代入①，；再由，
可得，. ………… (16分)
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”.
（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：
① 等差数列：；
② 等比数列：；
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（2）若数列满足对任何正整数，均有.证明：数列是跳跃数列的充分必要条件是.
（3）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围.
【解答】（1）① 等差数列：不是跳跃数列；………… (2分)
② 等比数列：是跳跃数列. ………… (4分)
（2）必要性：若，则是单调递增数列，不是跳跃数列；
若，是常数列，不是跳跃数列. ………… (6分)
充分性：下面用数学归纳法证明：若，则对任何正整数，均有成立.
（1）当时，，， ，
，………… (8分)
，所以命题成立………… (9分)
（2）若时，，
则，
，所以当时命题也成立……… (10分)
根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足，故是跳跃数列.
（3），
，………… (11分)
，………… (12分)
[1]若，则，此时；………… (14分)
[2]若，则，此时；………… (16分)
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若，则，所以.
若，则，所以.
所以，
此时对任何正整数，均有………… (18分)
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