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专题一 集合与常用逻辑用语
第二讲 常用逻辑用语
答案部分
2019年
1.解析：对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或，排除；
对于B，内有两条相交直线与平行，则；
对于C，，平行于同一条直线，则与相交或，排除；
对于D，，垂直于同一平面，则与相交或，排除．
故选B．
2.解析：点A，B，C三点不共线，
“与的夹角为锐角”.
所以“与的夹角为锐角”是“的充要条件．故选C．
3.解析 由，可得，由，得，
因为不能推出， 但可以推出，
所以是的必要不充分条件， 即是的必要不充分条件.
故选B．
2010-2018年
1．C【解析】∵，∴，∴
，又，∴，∴；反之也成立，故选C．
2．A【解析】通解 由，得，所以；由，
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得，不能推出．所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A．
优解 由，得，所以，所以充分性成立；
取，则，，所以必要性不成立．故选A．
3．A【解析】由可得成立；当，即，
解得或，推不出一定成立；所以“”是“”的充分非必要条件．故选A．
5．B【解析】设（），则，得，所以，正确；，则，即或，不能确定，不正确；若，则，此时，正确．选B．
6．C【解析】∵，当，可得；当，可得．所以“”是“” 充分必要条件，选C．
7．A【解析】由，得，所以，反之令，有 成立，不满足，所以“”是“”的充分而不必要条件．选A．
8．B【解析】，，所以，所以为真命题；若，则，若，则，所以，所以为假命题．所以为真命题．选B．
9．A【解析】因为为非零向量，所以的充要条件是
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．因为，则由可知的方向相反，，所以，所以“存在负数，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，从而不一定推得“存在负数，使得”，所以“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件．
10．D【解析】取，则，，，
所以，故由推不出．由，
得，整理得，所以，不一定能得出，
故由推不出，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．
11．A【解析】若直线相交，设交点为，则，又，所以
，故相交．反之，若相交，则可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．
12．C【解析】由题意得，，
，若，因为得符号不定，所以无法判断的符号；
反之，若，即，可得，
故“”是“对任意的正整数，”的必要不充分条件，故选C.
13．C【解析】命题是一个特称命题，其否定是全称命题．
14．A【解析】由，解得，易知，能推出，但不能推出，故是成立的充分不必要条件，选A．
15．B【解析】，因此选B．
16．A 【解析】解不等式可得，，解不等式可得，或，所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件．
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17．D 【解析】 根据全称命题的否定是特称命题，因此命题“且
”的否定为“或”可知选D．
18．B 【解析】因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面 可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件．
19．A【解析】因为，所以或，因为“”“”，但“”“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．
20．C【解析】设，，但是是单调增函数，在处不存在极值，故若则是一个假命题，由极值的定义可得若则是一个真命题，故选C．
21．A【解析】由正弦定理，故“”“”．
22．C【解析】 把量词“”改为“”，把结论否定，故选C．
23．A【解析】 当时，，反之，若，
则有 或，因此选A．
24．C【解析】由不等式的性质可知，命题是真命题，命题为假命题，故①为假命题，②为真命题，③为真命题，则为真命题，④为假命题，则为假命题，所以选C．
25．A【解析】 从原命题的真假人手，由于为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A．
26．D【解析】 推不出，因为与的符号不确定，所以A不正确；当时，由推不出，所以B不正确；“对任意，有”的否定是“存在，有”，所以C不正确．选D．
27．C【解析】当a=0 时，，∴在区间内单调递增；当时，
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中一个根，另一个根为，由图象可知在区间
内单调递增；∴是“函数在区间内单调递增”的充分条件，相反，当在区间内单调递增，∴或
，即；是“函数在区间内单调递增”的必要条件，故前者是后者的充分必要条件．所以选C．
28．A【解析】当时，过原点；过原点，
则等无数个值．选A．
29．C【解析】．
对选项A: ,所以为真．
对选项B: ,所以为真．
对选项C: ,所以为假．
对选项D: ,所以为真．
所以选C．
30．B【解析】由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=+kπ，kÎZ，所以选项B正确．
31．D【解析】否定为：存在，使得，故选D．
32．C【解析】由命题的否定易知选C．
33．A【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”．
34．D【解析】存在性命题的否定为“”改为“”，后面结论加以否定，
故为．
35．C【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以 “若，则”的逆否命题是 “若，则”．
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36．A【解析】①
②如果；∵，一定有但不能保证，既不能推出
37．D【解析】∵，故排除A；取x=2,则，故排除B；，取，则不能推出，故排除C；应选D．
38．B【解析】时不一定是纯虚数，但是纯虚数一定成立，故“”是“复数是纯虚数”的必要而不充分条件．
39．B【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”，故选B．
40．A【解析】p：“函数在R上是减函数 ”等价于；q：“函数在R上是增函数”等价于，即且a≠1，故p是q成立的充分不必要条件．选A．
41．C【解析】命题p为假,命题q也为假,故选．
42．A【解析】的否定是，≥3的否定是
0，令函数，此时函数对应的开口向上，当=时，取得最小值，而满足关于的方程，那么=，=，那么对于任意的∈R，都有≥=．
49．（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足对任意的都成立，且函数在上不是增函数即可，如，，答案不唯一．
50．1【解析】“，”是真命题，则，于是实数的最小值为1。
51．①④【解析】由“中位点”可知，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，故①正确；
对于②假设在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如图所示，点P为斜边AB中点，设腰长为2，则|PA|＋|PB|＋|PC|＝|AB|＝，而若C为“中位点”，则|CB|＋|CA|＝4＜，故②错；
对于③，若B，C三等分AD，若设|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，则|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|＋|CB|＋|CD|，故③错；
对于④，在梯形ABCD中，对角线AC与BD的交点为O，在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M，则在△MAC中，|MA|＋|MC|＞|AC|＝|OA|＋|OC|，
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同理在△MBD中，|MB|＋|MD|＞|BD|＝|OB|＋|OD|，
则得，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＞|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|，
故O为梯形内唯一中位点是正确的．
52．3或4【解析】易知方程得解都是正整数解，由判别式得，，
逐个分析，当时，方程没有整数解；而当时，方程有正整数解1、3；当时，方程有正整数解2．
53．【解析】对任何，都有．
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