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专题三 导数及其应用
第八讲 导数的综合应用
2019年
1（2019天津理8）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A. B. C. D.
2.（2019全国Ⅲ理20）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在 ，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
3.（2019浙江22）已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有 求的取值范围.
注：e=2.71828…为自然对数的底数.
4.（2019全国Ⅰ理20）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
5.（2019全国Ⅱ理20）已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.
6.（2019江苏19）设函数、为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
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（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．
7.（2019北京理19）已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：.
(III)设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a的值.
8.（2019天津理20）设函数为的导函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.
2010-2018年
一、选择题
1．（2017新课标Ⅱ）若是函数的极值点，则
的极小值为
A． B． C． D．1
2．（2017浙江）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是
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A． B．
C． D．
3．(2016全国I) 函数在[–2,2]的图像大致为
A． B．
C． D．
4．（2015四川）如果函数在区间
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单调递减，那么的最大值为
A．16 B．18 C．25 D．
5．（2015新课标Ⅱ）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得f (x)0成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
6．（2015新课标Ⅰ）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是
A． B． C． D．
7．（2014新课标Ⅱ）若函数在区间单调递增，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．（2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为
A． B．
C． D．
9．（2014新课标Ⅱ）设函数．若存在的极值点满足
，则的取值范围是
A． B．
C． D．
10．（2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点
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的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为
A． B．
C． D．
11．（2014辽宁）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
12．（2014湖南）若，则
A． B．
C． D．
13．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数与
的图像不可能的是
14．（2013新课标Ⅱ）已知函数，下列结论中错误的是
A．
B．函数的图像是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间单调递减
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D．若是的极值点，则
15．（2013四川）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是
A． B． C． [] D． []
16．（2013福建）设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是
A． B．是的极小值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
17．（2012辽宁）函数的单调递减区间为
A．(－1,1] B．(0,1] C． [1,+) D．(0,+)
18．（2012陕西）设函数，则
A．为的极大值点 B．为的极小值点
C．为的极大值点 D．为的极小值点
19．（2011福建）若，，且函数在处有极值，则的最大值等于
A．2 B．3 C．6 D．9
20．（2011浙江）设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是
A B C D
21．（2011湖南）设直线 与函数， 的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
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A．1 B． C． D．
二、填空题
22．（2015安徽）设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）
①；②；③；④；
⑤．
23．（2015四川）已知函数，（其中）．对于不相等的实数
，设，，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数，都有；
②对于任意的及任意不相等的实数，都有；
③对于任意的，存在不相等的实数，使得；
④对于任意的，存在不相等的实数，使得．
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）．
24．（2015江苏）已知函数，，则方程
实根的个数为 ．
25．（2011广东）函数在=______处取得极小值．
三、解答题
26．(2018全国卷Ⅰ)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，证明：．
27．(2018全国卷Ⅱ)已知函数．
(1)若，证明：当时，；
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(2)若在只有一个零点，求．
28．(2018全国卷Ⅲ)已知函数．
(1)若，证明：当时，；当时，；
(2)若是的极大值点，求．
29．(2018北京)设函数．
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；
(2)若在处取得极小值，求的取值范围．
30．(2018天津)已知函数，，其中．
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；
(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．
31．(2018江苏)记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
(1)证明：函数与不存在“点”；
(2)若函数与存在“点”，求实数a的值；
(3)已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．
32．(2018浙江)已知函数．
(1)若在，()处导数相等，证明：；
(2)若，证明：对于任意，直线与曲线
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有唯一公共点．
33．（2017新课标Ⅰ）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围．
34．（2017新课标Ⅱ）已知函数，且．
(1)求；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且．
35．（2017新课标Ⅲ）已知函数．
(1)若，求的值；
(2)设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
36．（2017浙江）已知函数．
（Ⅰ）求的导函数；
（Ⅱ）求在区间上的取值范围．
37．（2017江苏）已知函数有极值，且导函数 的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：；
（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．
38．（2017天津）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，函数，求证：；
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（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足．
39．（2017山东）已知函数，，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
40．(2016年山东)已知．
（I）讨论的单调性；
（II）当时，证明对于任意的成立．
41．(2016年四川) 设函数，其中.
（I）讨论的单调性；
（II）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．
42．(2016年天津)设函数,，其中
(I)求的单调区间；
(II)若存在极值点，且，其中，求证：；
(Ⅲ)设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．
43．(2016年全国Ⅰ) 已知函数有两个零点．
（I）求a的取值范围；
（II）设，是的两个零点，证明：．
44．(2016年全国Ⅱ)
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(I)讨论函数的单调性，并证明当时，；
(II)证明：当 时，函数 有最小值．设的最小值为，求函数的值域．
45．(2016年全国Ⅲ) 设函数，其中，
记的最大值为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）证明．
46．（2016年浙江高考）已知，函数=，其中
= ．
（I）求使得等式成立的的取值范围；
（II）（i）求的最小值；
（ii）求在区间上的最大值．
47．(2016江苏) 已知函数．
（1）设，．
①求方程的根；
②若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
（2）若，，函数有且只有1个零点，求的值．
48．(2015新课标Ⅱ）设函数．
(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；
(Ⅱ)若对于任意，，都有，求的取值范围．
49．(2015山东)设函数，其中．
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（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若，成立，求的取值范围．
50．（2015湖南）已知，函数．记为的从小到大的第个极值点．
证明：（1）数列是等比数列；
（2）若，则对一切，恒成立．
51．（2014新课标Ⅱ）已知函数，曲线在点（0，2）处的切线与轴交点的横坐标为－2．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点．
52．(2014山东）设函数（为常数，是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．
53．（2014新课标Ⅰ）设函数，曲线在点
处的切线斜率为0．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若存在使得，求的取值范围．
54．（2014山东）设函数 ，其中为常数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性．
55．(2014广东) 已知函数．
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（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，试讨论是否存在，使得．
56．(2014江苏)已知函数，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：是R上的偶函数；
（Ⅱ）若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．
57．（2013新课标Ⅰ）已知函数，曲线在点处切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．
58．（2013新课标Ⅱ）已知函数．
（Ⅰ）求的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围．
59．（2013福建）已知函数（，为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（Ⅱ）求函数的极值；
（Ⅲ）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．
60．(2013天津)已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ） 证明：对任意的，存在唯一的，使．
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（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的关于的函数为，
证明：当时，有．
61．（2013江苏）设函数，，其中为实数．
（Ⅰ）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
（Ⅱ）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．
62．（2012新课标）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值．
63．（2012安徽）设函数．
（Ⅰ）求在内的最小值；
（Ⅱ）设曲线在点的切线方程为，求的值．
64．（2012山东）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设，其中是的导数．
证明：对任意的，．
65．（2011新课标）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：当，且时，．
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66．（2011浙江）设函数，．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．注：为自然对数的底数．
67．（2011福建）已知，为常数，且，函数，（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，是否同时存在实数和()，使得对每一个∈，直线与曲线(∈[，e])都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由．
68．（2010新课标）设函数．
（Ⅰ）若，求的单调区间；
（Ⅱ）若当时，求的取值范围．
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