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专题三 导数及其应用
第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理
答案部分
2019年
1.解析：因为，所以，
所以当时，，所以在点处的切线斜率，
又所以切线方程为，即．
2.解析 的导数为，
又函数在点处的切线方程为，
可得，解得，
又切点为，可得，即．故选D．
2010-2018年
1．D【解析】通解 因为函数为奇函数，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．
优解一 因为函数为奇函数，所以，所以，解得，所以，
所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．
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优解二 易知，因为为奇函数，所以函数为偶函数，所以，解得，所以
，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．
2．A【解析】不妨设，，由于，所以，
则．又切线：，，
于是，，所以，联立，
解得，所以，因为，所以，所以的取值范围是，故选A．
3．A【解析】设函数的图象上两点，，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为，若函数具有T性质,则==1．对于A选项，，显然==1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，，显然
==1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，>0，
显然==1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，
≥0，显然==1无解，故该函数不具有T性质．故选A．
4．C 【解析】 取满足题意得函数，若取，则
，所以排除A．若取，
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则，所以排除D；取满足题
意的函数，若取，则，所以排除B，
故结论一定错误的是C．
5．D【解析】，由题意得，即．
6．D【解析】由得，、或（舍去），直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积．
7．B【解析】，，
．显然，故选B．
8．C【解析】∵,正方形的面积为1，
∴=．
9．C【解析】用定积分求解，选C
10．C【解析】，选C．
11．D【解析】∵，∴=．
12．A【解析】点处的切线斜率为，，由点斜式可得切线方程为A．
13．D【解析】因为，即tan ≥－1，所以．
14．【解析】∵，∴．当时，，
∴曲线在点处的切线方程为，即．
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15．【解析】，由曲线在点处的切线的斜率为，
得，所以．
16．【解析】设与和的切点分别为 和．
则切线分别为，，
化简得，，
依题意，，解得，
从而．
17．【解析】由题意可得当时,，则，，则在点处的切线方程为，即．
18．0【解析】．
19．【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．
20．【解析】由已知得阴影部分面积为
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．所以此点取自阴影部分的概率等于．
21．【解析】，在点处的切线的斜率为，
切线方程为，即．
22．【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，
∴，由几何概型的概率计算公式，
得所求的概率为．
23．－3【解析】由题意可得 ① 又，过点的切线的斜率 ②，由①②解得，所以．
24．①③④【解析】 对于①，，所以是曲线在点 处的切线，画图可知曲线在点附近位于直线的两侧，①正确；对于②，因为，所以不是曲线：在点处的切线，②错误；对于③，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，③正确；对于④，，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，④正确；对于⑤，，
在点处的切线为，令，可得
，所以，故，
可知曲线：在点附近位于直线的下侧，⑤错误．
25．2【解析】，则，故切线方程过点解得．
26．3【解析】．
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27．【解析】 由
两边同时积分得：
从而得到如下等式：
=．
28．【解析】
．
29．【解析】，解得．
30．【解析】∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：.
31．1【解析】因为，所以，又因为，
所以，所以，．
32．【解析】由题意可知得，故积分的近似值为．
33．21【解析】在点处的切线方程为：当时，
解得，所以．
34．【解析】（Ⅰ）因为，所以．
又因为，所以曲线在点处的切线方程为．
（Ⅱ）设，则
．
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当时，，
所以在区间上单调递减．
所以对任意有，即．
所以函数在区间上单调递减．
因此在区间上的最大值为，最小值为．
35．【解析】（I），∴
∵曲线在点处的切线方程为
∴，
即 ①
②
由①②解得：，
（II）由（I）可知：，
令，∴
极小值
∴的最小值是
∴的最小值为．
即对恒成立．
∴在上单调递增，无减区间．
36．【解析】（Ⅰ）对求导得
因为在处取得极值，所以即．
当时，=故从而
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在点（1，）处的切线方程为化简得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
令，
由解得，．
当时，，即，故为减函数；
当时，，即，故为增函数；
当时，，即，故为减函数；
由在上为减函数，知解得
故的取值范围为．
37．【解析】（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，
即，解得．
因此，当时，轴是曲线的切线．
（Ⅱ）当时，，从而，
∴在无零点．
当=1时，若，则，,
故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点．
当时，，所以只需考虑在的零点个数．
(ⅰ)若或，则在无零点，故在单调，
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而，，所以当时，在有一个零点；
当0时，在无零点.
(ⅱ)若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，
故当=时，取的最小值，最小值为=．
①若＞0，即＜＜0，在无零点．
②若=0，即，则在有唯一零点；
③若＜0，即，由于，，
所以当时，在有两个零点；
当时，在有一个零点．
综上，当或时，由一个零点；
当或时，有两个零点；当时，有三个零点．
38．【解析】(1)函数的定义域为，．
由题意可得，．
(2)由(1)知，从而等价于．
设函数，则．
所以当时，；当时，．
故在单调递减，在单调递增，
从而子啊的最小值为．
设函数，则．
所以当时；当时，故在单调递增，
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在单调递减，从而在的最大值为．
39．【解析】(Ι)因为, x=0是的极值点，所以，
解得，所以函数=-ln(x+1)，其定义域为，
因为=，
设，则，所以在上是增函数，又因为，所以当时，，即；
当时，，，所以在上是减函数；在，上是增函数．
（Ⅱ）当，时，，
故只需证明当时，．
当时，函数在单调递增．
又，故在有唯一实根，且．
当时，；当时，，从而当时，
取得最小值．由得，
故
综上，当时，．
40．【解析】（1）由的图像过点，代入得，
由在处的切线斜率为，又，
得．
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(2)(证法一)由均值不等式，当时，，故．
记，
则
，
令，则当时，
因此在内是减函数，又由，得，所以
因此在内是减函数，又由，得，
于是当时， ．
（证法二）由（1）知，由均值不等式，
当时，，故
令，则，故，
即，由此得，当时，，记，
则当时，
=
．
因此在内是减函数，又由，得，即．
41．【解析】（1）（i）由得=，
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当和时，；
当时，，
因此，的单调递增区间为和，
单调递减区间为．
（ii）曲线C与其在点处的切线方程为
得，
即，解得，进而有
，用代替，重复上述计算过程，可得
和，又，所以
因此有．
（Ⅱ）记函数的图象为曲线，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线所围成封闭图形的面积分别记为，则为定值．
证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（i）（ii）的计算可得
，故．
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