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专题四 三角函数与解三角形
第十二讲 解三角形
答案部分
2019年
1.解：（1）由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
2.解析：由余弦定理有，
因为，，，所以，
所以，.
3.解析（1）由题设及正弦定理得．
因为，所以．
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由，可得，故．
因为，故，因此．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，故，从而．
因此，面积的取值范围是．
4.解析 设，
，
所以，解得，
所以，，
，
因为，所以，
所以，所以.
5.解析 （1）由余弦定理，得，即.
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所以.
（2）因为，
由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
6.解析：在直角三角形ABC中，，，，，
在中，，可得；
，，
所以.
7.解析：（I）由余弦定理，得.
因为，所以.解得，
所以.
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（II）由得.由正弦定理得.
在中，是钝角，所以为锐角.所以.
所以.
8.解析（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，.
由余弦定理可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
从而，，
故.
2010-2018年
1．A【解析】因为，所以由余弦定理，
得，
所以，故选A．
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2．C【解析】根据题意及三角形的面积公式知，
所以，所以在中，．故选C．
3．A【解析】由，
得，
即，所以，即，选A．
4．A【解析】由余弦定理得,选A.
5．C【解析】设△中角，，的对边分别是，，，由题意可得
，则．在△中，由余弦定理可得
，则．
由余弦定理，可得，故选C．
6．B【解析】，∴，所以或．
当时，，
此时，易得与“钝角三角形”矛盾；
当时，．
7．A【解析】因为，由
得，
即，
整理得，
又，
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因此，由
得，
即，因此选项C、D不一定成立．又，
因此，即，选项A一定成立．又，
因此，显然不能得出，选项B不一定成立．综上所述，选A．
8．C【解析】由可得①，由余弦定理及可得②．所以由①②得，所以．
9．C【解析】∵，
∴．
10．D【解析】，，由余弦定理解得．
11．A【解析】边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以．
12．C【解析】由余弦定理可得，再由正弦定理得．
13．B【解析】∵，
∴由正弦定理得，
∴，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
14．B【解析】由正弦定理得：．
15．D【解析】由正弦定理，得，
即，，∴．
16．D【解析】设，则，，，在
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中，由余弦定理得，则，在中，
由正弦定理得，解得．
17．A【解析】因为，，
所以，
所以
因为，所以，所以．故选A．
18．9【解析】因为，的平分线交于点，
所以，
由三角形的面积公式可得，
化简得，又，，所以，
则，
当且仅当时取等号，故的最小值为9．
19．；3【解析】因为，，，所以由正弦定理得
．由余弦定理可得
，所以．
20．,【解析】由余弦定理可得，
，
由
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所以，
．
因为，所以，所以，
．
21．【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以
．
22．【解析】∵，，
所以，，
所以，
由正弦定理得：解得．
23．1 【解析】由得或，因为，所以，所以，于是．有正弦定理，得，所以．
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24．7【解析】由已知得的面积为，
所以，，所以．
由余弦定理得，．
25．
【解析】如图作，使，，作出直线分别交线段、于、两点（不与端点重合），且使，则四边形就是符合题意的四边形，过作的平行线交于点，在中，可求得
，在中，可求得，所以的取值范围为
．
26．1【解析】∵，
而．
27．8 【解析】 因为，所以，
又，，
解方程组，得，，由余弦定理得
，所以．
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28．【解析】依题意，，，在中，
由，
所以，因为，由正弦定理可得，
即 m，在中，因为，，
所以，所以 m．
29．150【解析】在三角形中，，在三角形中，
，解得，
在三角形中，，故．
30．2【解析】由得：，
即，，∴，故．
31．【解析】，
，所以．
32．【解析】∵
∴根据余弦定理可得，
．
33．①②③【解析】①
②
③当时，与矛盾
④取满足得：
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⑤取满足得：．
34．4【解析】根据余弦定理可得，解得b=4．
35．【解析】 在中，根据，
得，同理，
因此
．
36．【解析】根据得，
，
所以
=．
37．4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性．
当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，
，，= 4．
（方法二），
．
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由正弦定理，得：上式．
38．【解析】由得，即，
因，所以.又因为
由正弦定理得，
解得，而则,故．
39．【解析】(1)在中，∵，∴，
∴．
由正弦定理得，∴．
∵，∴，∴．
(2)在中，∵
==．
如图所示，在中，∵，∴=，
∴边上的高为．
40．【解析】(1)在中，由正弦定理得．
由题设知，，所以．
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由题设知，，所以．
(2)由题设及(1)知，．
在中，由余弦定理得
．
所以．
41．【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得．
(2)在中，由余弦定理及，，，
有，故．
由，可得．因为，故．
因此，
所以，
42．【解析】（1）由题设得，即
由正弦定理得．
故．
（2）由题设及（1）得
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所以，故．
由题设得，即．
由余弦定理得，即，得．
故的周长为．
43．【解析】（1）由已知得 ，所以．
在中，由余弦定理得，即．
解得（舍去），
（2）有题设可得，所以．
故面积与面积的比值为．
又的面积为，所以的面积为．
44．【解析】由题设及得，故．
上式两边平方，整理得，
解得（舍去），．
（2）由得，故．
又，则．
由余弦定理及得
．
所以．
45．【解析】（Ⅰ）在中，因为，故由，可得．
由已知及余弦定理，有，所以.
由正弦定理,得.
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所以，的值为，的值为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，所以，
．
故．
46．【解析】（Ⅰ）在△ABC中，因为，，
所以由正弦定理得．
（Ⅱ）因为，所以，
由，所以．
由余弦定理得，
解得或（舍）．
所以△ABC的面积．
47．【解析】(Ⅰ)由
得，
所以，由正弦定理，得．
（Ⅱ）由
．
所以的最小值为．
48．【解析】（I）证明：由正弦定理可知
原式可以化解为
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∵和为三角形内角 , ∴
则，两边同时乘以，可得
由和角公式可知，
原式得证。
（II）由题,根据余弦定理可知，
∵为三角形内角，，
则，即
由（I）可知，∴．
∴．
49．【解析】(1)
由正弦定理得：
∵，
∴
∴，
∵
∴．
⑵ 由余弦定理得：
∴
∴
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∴周长为
50．【解析】(Ⅰ)
因为，，所以．
由正弦定理可得．
(Ⅱ)因为，所以．在和中，
由余弦定理得，
．
．由(Ⅰ)知，所以．
51．【解析】（1）由及正弦定理，得，
所以，即．
又为钝角，因此+(，)，故=+，即=；
（2）由（1）知，=(+)=(2+)=2>0，
所以，
于是==
=，
因为0
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