高二期中考试参考答案
一.选择题
1.C 2.D 3.D 4.D 5.C 6.C 7.A 8. C 9.C 10. B 11.A
12.B
解： 0x 时，不等式 ( 1)xxe a x lnx−+ 可化为 ( 1) xa x xe lnx+−，
所以
1
xxe lnxa x
−
+
，
设 () 1
xxe lnxfx x
−= +
，其中 ，
则
2
2
1( 1) 1
() ( 1)
xx x e lnxxfx x
+ + − − +
= +
，
设 2 1( ) ( 1) 1xg x x x e lnxx= + + − − + ，其中 ，
则 2
1( ) ( 1)[( 2) ] 0xg x x x e x = + + + 恒成立，
则 ( )gx在(0, )+ 上单调递增，
2211( ) ) ( 1) 1 ( 1) 1x x xg x x x e lnx x e xe lnxxx= = + + − − + = + − − − + ，
令 ( ) 0ogx = ，得
1ox
o
e x= ，
所以 ()fx在 (0, )ox 单调递减，( ox ， )+ 单调递增，
1( ) 111
ox
o o o
min o
oo
x e lnx xf f x xx
−+= = = =++，
对任意正数 x 恒成立，即 ( ) 1mina f x = ，
故选：B．
二．填空题
13. 6−
14.18
15. 51+
16.乙
三．解答题
17.（1）
1 2 3
4
1 1 1 1 2 2 1 3, , ,1 4 4 4 4 7 7 7 7 10 10
3 1 4
10 10 3 13
S S S
S
= = = + = = + =
= + =
（2）猜想
31n
nS n= +
证明：①当 1n = 时，左边= 1
1
4S = ，右边= 1
4
，猜想成立
②假设当 *()n k k N=时猜想成立
即 ( )( )
1 1 1 1
1 4 4 7 7 10 3 2 3 1 3 1
k
k k k+ + + + = − + +
那么当 1nk=+时
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
1 1 1 1 1+1 4 4 7 7 10 3 2 3 1 3 1 2 3 1 1
11
3 1 3 1 3 4 3 1 1
kk kk
kk
k k k k
+ + + + − + + − + +
+= + =+ + + + +
因此对 也成立
根据①②对于 *nN 猜想成立。
18. （1）对区域 , , ,A B C D 按顺序着色，
共有6 5 4 4 480 = （种）
(2) 对区域 按顺序着色，依次有 n 种、 1n − 种、 2n− 种和 3n− 种，由分步
乘法计数原理，不同的着色方法共有 ( 1)( 2)( 3) 120n n n n− − − = ,
( )( )223 3 2 120n n n n− − + = ,( ) ( )2223 2 3 12 10 0n n n n− + − − =
223 10 0, 3 12 0n n n n− − = − + = (舍去)，得 5n = 或 2n =− （舍去），故
19.（1）
2
2 ln 1( ) (4 2 2) 1
2( 1) 2 ln 2( 0)
exf x x x e xx
x e x e x x
= − + − − − −
= − + + − −
（2） 2( ) 2( 1) 2 ln 2f x x e x e x= − + + − − ，定义域 1,2xe 2( 1)( )( ) ( 0)x x ef x xx
−− = −
()fx在( )1, e 单调递增，在( ),2ee单调递减
2
max ( ) ( ) 2f x f e e= = −
生产量在[1 ]2e, 万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为
2( ) 2f e e=−，此时的月生产量值为 e （万件）
20.（1）因为椭圆过点( )03， ，所以 2 3b = 。因为离心率 2
2
ce a== 且 2 2 2a b c=+，
所以 6, 3ac==，椭圆方程
22
163
xy+=
（2）因为过 B( )3,0− 得直线l 与椭圆交于 P，Q 两点，所以直线 得斜率一定存在，设
为 k ，则直线 得方程为 ( 3)y k x=+，设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y
由
22
163
( 3)
xy
y k x
+=
=+
消 y 得( )2 2 2 22 1 12 18 6 0k x k x k+ + + − =
22
1 2 1 222
12 18 6,2 1 2 1
kkx x x xkk
−+ = − =++
因为 A( )2,1− ，所以 12
12
12
11,22
yykkxx
−−==++
所以
1 2 1 2 2 1
12
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
1 1 ( 3 1)( 2) ( 3 1)( 2)
2 2 ( 2)( 2)
2 (5 1)( ) 4(3 1) 4( 1) 22( ) 4 2( 1)
y y kx k x kx k xkk x x x x
kx x k x x k k
x x x x k
− − + − + + + − ++ = + =+ + + +
+ − + + − −= = =+ + + −
故定值为 2.
21.（1）由于函数 3( ) sin 1
xf x a b x= + − +
得图象过( )0, 1− ，所以 (0) 1f =− ，得
sin 1b =
所以 3( ) 1 ( 1)1
xf x a ax= + − +
，所以 ( )2
3( ) ln 0( 1)
1
xf x a a x
x
= + −
+
故函数 ()fx在( )1,− + 为增函数。 （2）假设函数 ()fx由负零点 0x ，则有 0( ) 0fx = ，故 0
0
31 1
xa x+= +
由于 1xya=+在 R 上为增函数，且 0 12a += 。所以 0 12xa +
所以 01 1 2xa + ，所以
0
3121x+ 得 0
1 22 x与 0 0x 矛盾
所以假设不成立。故函数 ()fx没有负零点
22. 解：（1） 2 2 2
( ) ( 1) (1 ) ( 1)( )()
x x x xa e x a e a x e x x a efx x x x x
− − − − + − − − = + = = ，
又 0x ， 1xe， 1a时， 0xae−，所以可解得：函数 ()fx在(0,1) 单调递
增，在(1, )+ 单调递减；
经计算可得，1 ae时，函数 在 (0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增， 单
调递减；
ae 时，函数 在 单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln , )a + 单调递减；
ae= 时，函数 在 (0, )+ 单调递减.
综上： 1a 时，函数 在 单调递增， 单调递减；
时，函数 在 单调递减， 单调递增， 单调递减；
时，函数 在 单调递减；
时，函数 在 单调递减， 单调递增， 单调递减.
（2）若 1a = ，则 221( ) ( 1) (1 ( ) ) ( 1) (1 ln )
xeF x x mx f x x mx xx
−= − + − − = − + − ，
( ) 2( 1) lnF x x m x = − − ，
设 ( ) 2( 1) ln ,( 0)H x x m x x= − − ，则 ( ) 2 mHx x
=− ，
当 (0, )2
mx 时， ( ) 0 ( )H x H x 单调递减，即 ()F x 单调递减，
当 ( , )2
mx + 时， ( ) 0 ( )H x H x 单调递增，即 单调递增.
又因为0 2, 0 1,2
mm 由 (1) 0F = 可知： ( ) 02
mF ， 而
2 2 2 2
( ) 2( 1) ln 2 0m m m mF e e m e e− − − − = − − = ，且 2
0 1mee−
=，
2
1 ( , )2
m mxe−
，使得 1( ) 0Fx = ，且 1(0, )xx 时， ( ) 0, ( )F x F x 单调递增，
1( ,1)xx 时， ( ) 0, ( )F x F x 单调递减， (1, )x + 时， 单调递增，
所以函数 ()Fx有唯一极大值点 1 0 1,x x x=，
且 0
0 0 0 0
0
2( 1)( ) 2( 1) ln 0 (0 1)ln 2
x mF x x m x m xx
− = − − = = .
2200
0 0 0 0 0 0
0
2( 1)( ) ( 1) (1 ln ) ( 1) (1 ln )ln
xxF x x mx x x xx
− = − + − = − + −
2
2 00
0
0
221 ln
xxx x
−= − + .
所以
22
2 0 0 0
0 0 0
0 0 0
22 2( ) 1 (2 ln )ln ln
x x xF x x xx x x
−− = − + = − − ,
设 2( ) 2 lnh x xx= − − （01x），则 22
2 1 2( ) 0xhx x x x
− = − = ，
()hx 在 (0,1) 单调递增， ( ) (1) 0h x h = ， 0( ) 0hx，又因为 0ln 0x ，
0( ) 1 0Fx − 0()1Fx.
微信/支付宝扫码支付