高三文数 第5页 共10页
参考答案
一．选择题： BADCCA DBABCC
1.B【解析】∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，∴∁RB={x|x＜1}，∴A∩（∁RB）={x|0＜x＜
1}．故选：B．
2.A【解析】∵ ii
iz +=−
+ 11
，∴z+i=（1+i）（ 1﹣i）=2，∴z=2﹣i．故选：A．
3.D【解析】因为 5tan( ) tan 12 − = = ,又 3,22
所以 12sin( ) cos2 13
+ = = − . 故
选 D.
4.C【解析】 ( ) sin 2( )f x x =−且 22 2 ( 2 , 2 )3x − − − ，则 2 2
2 232
− −
−
得
12 4
，
选 C.
5.C 【 解 析 】 设 公 比 为 q ，由 22
2 4 1 52 900a a a a+ + = 得 22
2 4 2 42 900a a a a+ + = , 则
2430aa+= ,即 2
2 (1 ) 30aq+=,又 539aa= 即 2
339a q a= 得 2 9q = ， 2 3a = ， 所 以
2018 2 1009 1009 2019
2020 2 2 ( ) 3 9 3a a q a q= = = = 故选 C.
6.A【解析】①由于sin cos 2 sin( ) 24x x x + = + ，则错误；②正确；③原命题的逆命
题为：若 , ab中至少有一个不小于 2，则 4ab+ ≥ ，而 4, 4ab= = − 满足 , ab中至少有
一个不小于 2，但此时 0ab+=，故③是假命题；④是既不充分也不必要条件，所以错误；
故选 A.
7.D【解析】由 nn= 时 100mn=−， 3(100 )3
nSn= + − ，令 3(100 ) 1003
n n+ − = 得 75n = ，
选 D.
8.B【解析】由频率分布直方图得 2（0.05+0.15+x+0.05）=1 得 x=0.25，则 学习时长在[9,11)
的频率 2x=0.5=25/n，则 n=50
9.A【解析】由 z=y﹣ax 得 y=ax+z，即直线的截距最大，z 也最大．若 a=0，此时 y=z，此
时，目标函数只在 A 处取得最大值，不满足条件，若 a＞0，目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a
＞0，要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一，则直线 y=ax+z 与直线 2x﹣y=0 平行，此
时 a=2，若 a＜0，目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a＜0，要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解唯
一，则直线 y=ax+z 与直线 13
1 =+ yx 平行，此时 a=﹣3，综上 a=﹣3 或 a=2，故选：A． 高三文数 第6页 共10页
10.B【解析】设 31,22a =
, 31,22b =−
为符合题意的两个向量,则 ( 3,0)ab+= ,即
( 3,0)C ,而 1m a b− − = ,则 m 的终点在以C 为圆心,1 为半径的圆上,当 的终点在点
( 3 1,0)D + 处时,
max
31m =+,故选 B.
11.C【解析】F
0,2
p 抛物线的准线方程为 x＝－p
2，则由抛物线的定义知 xM＝5－p
2，设以
MF 为直径的圆的圆心为
2,2
5 My ，所以圆的方程为
4
25
22
5 22
=
−+
− Myyx ，又因为圆过点
2
30， ，所以 yM＝3，又因为点 M 在 C 上，所以 )25(29 pp −= ，解得 p＝1 或 p＝9，抛物
线 C 的标准方程为 y2＝2x 或 y2＝18x，选 C.
12.C【解析】 ( ) 2( 2) ( 2)( )xxaaf x x e a x exx
= − + − = − − 且 0x ，则 ( ) 0fx = 有两解
为 2x = 或由 xa xe= 确定.设 () xg x xe= ，则 ( ) ( 1) 0xg x x e = + ，所以 ()gx在(0, )+
上递增，得 ( ) (0) 0g x g=
所以要 有两解，则 只能有一解且不为 2，这时 0a 且 22ae .又由题
知 ( ) 0fx 在(1,2) 上恒成立，即( 2)( ) 0x axex− − 在 上恒成立，由于 2x ，则
0x ae x−，得 xa xe 在 上恒成立，由上面可得 2(1) ( ) (2) 2g g x g e=，从而
22ae .综上得 22ae 故选 C.
二.填空题： 22 1 2 1
13. 【 解 析 】 圆 心 到 直 线 的 距 离
22
2 2
1 ( 1)
d ==
+−
，因此
2 2 2 2( ) 4 2 2 8 2 22
l r d l l= − = − = = = 。
14.1【解析】 | | | | cos | | cosDE DC DE DC DE = = ，而 | | cosDE 就是向量 DE
在 DC 边上的射影，要想让 DE DC 最大，即让射影最大，此时 E 点与 B 点重合，射影
为||DC ，所以长度为 1
15.2 【 解 析 】 设 00, bP x xa
−
, 由 AB PF
AP BF
kk
kk
=
=
得 0
0
0
0
b xb a
a c x
b xb a
c a x
= −
=− − −
, 从而 0
2
2
22
cx
ccaa
=
=+
得
2220a ac c+ − = 得 2e = . 高三文数 第7页 共10页
16. 1【解析】当平面 DMN ⊥ 平面 ABCD时,三棱锥 D MNQ− 体积最大,这时 DN ⊥ 平
面 .
设 AM x= ,则 DN x= ,且0 2 3x ,则 ( )1 1 1 2 2 33 3 2D MNQ MNQV S DN x x−
= = −
当 3x = 时三棱锥 体积最大,且 max 1V = .
三．解答题：（本题共 6 小题，17 --21 每题 12 分，22、23 每题 10 分，共 70 分）
17. 解 : （ Ⅰ ） 由 已 知 得 4, 4,a b c b= − = + 由 余 弦 定 理 得
2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC MCN= + − • •
( ) ( ) ( )222 14 4 2 4 , 10.2b b b b b b + = + − − − − =
5 分
（Ⅱ）在 BAC 中,由正弦定理,得 ,sin sin sin
AC BC AB
ABC BAC MCN==
( ) ( )( )8 3sin12 8 3, 0 60 ,sin sin120sin 60 8 3sin 60
oo
oo o
bba
a
= = = = − =−
8 分
( ) ( ) ( )318 3 sin 60 sin 8 3( cos sin ) 8 3sin 60 , 0 6022
o o o oAC BC a b + = + = − + = + = +
( )max=30 8 3, 8 3.o AC BC A C B + = − −当 时， 观景路线 长的最大值为
12 分
18.（1）厨余垃圾投放正确的概率约为“ 厨余垃圾” 箱里厨余垃圾量
厨余垃圾总量
= 2
3
=++
400
400 100 100
3 分
设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃圾投放正确。
事件 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其
他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即 P( ),约为 ++=0.7400 240 60
1000
。
所以 P(A)约为 1－0.7=0,3 6 分
（2）当 0,600 === cba 时， 2S 取 得 最 大 值 .
9 分
因为 1 ( ) 2003x a b c= + + = ，则 ( ) 80000)2000()2000(200600 222
3
12 =−+−+−=S
12 分
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19.（1）因为 1BC = ， 1 2CC = ， 1 3BCC =，∴ 1 3BC = ，又∴ 2 2 2
11BC BC CC+=，
∴ 1BC BC⊥ 2 分
∵ AB ⊥侧面 11BB C C ，∴ 1AB BC⊥ .
4 分
又∵ AB BC B=， AB ， BC 平面 ABC ∴直线 1CB⊥ 平面 .
5 分
（2） 在 11BB C C 中， CE=1BC = 且 1 3BCC =得 E=1B ，又 1 1 1C E=1BC = 且 1
2E 3BC =得
1E= 3B
又 112BB C C== ，则 2
1
2
1
2 BBEBBE =+ 即 EBBE 1⊥
7 分
AB ⊥平面 11BB C C 得 11AB ⊥平面 11BB C C ，则 11AB ⊥ BE ，
1 1 1 1 1 1 1A B A B E B E A B E ， 平面平面 且 1 1 1 1=A B B E B ，则 11A B E⊥
10 分
则 EBA1 为所求 1BA 与平面 11A B E 所 成 角 ， 其 正 弦 值 为
4
2
22
1
1
==BA
BE .
12 分
20. 解：（1）若| | 4 3AP = ， BG 垂直平分 AP ，则 23AG = 又 4AB = ，
2 3 3cos 42GAB = = ，即 30GAB= 设 ( , )P x y ，则 3
23AP
yk x==+
且
22( 2) 48AP x y= + + = 解得 (4,2 3)P 或(4, 2 3)−
6 分
（2）存在两个定点 ,EF，使得当 P 运动时，| | | |DE DF+ 为定值 8
设 ( , )D x y ，则 ( 2, )Cy− ，由 PC 的中点为 D ，可得 (2 2, )P x y+
因为 的垂直平分线过点 B ，则| | | |PB AB=
22(2 2 2) 16xy + − + =
22
1( 2)4 16
xy x + = − ，即点 的轨迹是椭圆（不含点 A）
2 2 216, 4, 12a b c = = =
由椭圆的定义可知，存在 (0,2 3), (0, 2 3)EF− 满足| | | | 2 8DE DF a+ = = 为定值
12 分
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21.【解析】（1） ( )2
1 1 1( ) lnf x x a xxx
= + − ，因为曲线 ()y f x= 在点(1, (1))f 处的切线方程
为 10xy+ − = ，
所以 (1) 1 1fa = − = − ，得
0a = ． ……4 分
（2）存在整数 ，使得关于 x 的不等式 ()fx 恒成立
当 2a = 时， 1( ) (2 )lnf x xx=− ，
( )22
1 1 1 2 1 ln( ) ln 2 xxf x x xxxx
−+ = + − = ， ……6 分
设 ( ) 2 1 lng x x x= − + ，则 1( ) 2 0gx x = + ． 所 以 ()gx 单 调 递 增 ， 且 11( ) ln 022g =，
(1) 1 0g = ，
所以存在 0
1( 1)2x ， 使得
0( ) 0gx = ……8 分
因为当 0(0 )xx ， 时， ( ) 0gx ，即 ( ) 0fx ，所以 ()fx单调递减；
当 0( + )xx， 时， ( ) 0gx ，即 ( ) 0fx ，所以 单调递增，
所以 0xx= 时， 取得极小值，也是最小值，
此时
( )0 0 0 0
0 0 0
1 1 1( ) (2 )ln (2 ) 1 2 (4 ) 4f x x x xx x x= − = − − = − + + ，
……10 分
因为 ，所以 0( ) ( 1 0)fx −， ，
因为 ()fx ≥ ，且 为 整 数 ， 所 以 1 −≤ ，即 的 最 大 值 为
-1． ……12 分
( )
( ) ( )
2
2
2
2 2
2
: 1 : 1, cos , sin2
sin 2cos 1, C: = .2 1+cos
yC x x y
+ = = =
+=
22.解 将曲线 的参数方程化为直角坐标方程 将 代入
可得 化简得
……5 分
( ) 1222
2222 22
22
222 , , , ,2 2 1+cos 1+sin
2 2 2 2 4 ,1+cos 1+sin1+cos 1+sin 3(1+cos )(1+sin )
2
41+cos =1+sin = .43
OB OA OB
OA OB
OA OB
− = = = =
• = • = =+
•
由题意知 射线 的极坐标方程为 =+ 或 =
当且仅当 ，即 时， 取最小值
……10 分
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…
…5 分
…
……
10 分
( ) max
3, 1
23. 1 ( ) 3 1, 1 1, 1 , ( ) 2, 2.
3, 1
xx
f x x x x f x k
xx
+ −
= − − − = − = =
− −
当 时
( ) ( )
( )( )2 2 2 2 2 2 2 2
2 ( ) 2 , 2 2 , 2 < 2 , ,
4 4 0, -1 -4 0, 2
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