济源平顶山许昌2020年高三第三次质量检测
理科数学参考答案
一、选择题： DBDCA ACDBC AB
二、填空题： 13. 14. 24、（2分，3分） 15. 16.
三、解答题：
17. 解：
（1）由复数模的定义结合题中条件可得：. ……………………2分
所以. 又，故. ……………………6分
（2） 由，及正弦定理得：.
所以. ……………………8分
所以. ……………10分
由得.
所以当，即时. ……………………12分
18. 解：
（1）证明：取，. ………………1分
，. ………………2分
，，. ………………4分
，. ………………5分
（2）解：，. ……………6分
.
………7分
，.
高三数学（理科）答案第5页（共５页）
. …………8分
.
. ………………9分
.
，.
，则. ………………10分
同理，，.
，则. ………………11分
，. ……………12分
19. 解：
（1）由茎叶图知，静息心率在[50,60）的人数为8人；静息心率在[60,70）的人数为6人；静息
心率在[70,80）的人数为8人. ……………………2分
∴此单位离、退休人员总数为 . ……………………4分
∴静息心率在[80,100）的人数为人，频率为. …………6分
（2）静息心率在[80,90）的人数为6人；静息心率在[90,100]的人数为4人. …………7分
的可能取值为0,1,2,3
则分布列为
X
0
1
2
3
P
. …………12分
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20. 解：
(1)依题意，，抛物线C的方程为． …………2分
(2)，设，则， ， …………3分
于是圆P的方程为 …………4分
令，得． ① …………5分
设，由①式得．② …………6分
注意到，则直线DE的方程为 …………7分
， …………8分
代入②式就有，因为上式对恒成立， …………10分
故 即直线DE过定点． …………12分
21. 解:
（1），，. …………1分
当，即时，，此时在上单调递增；
当时，有两个负根，此时在上单调递增；
当时，有两个正根，分别为，，
此时在，上单调递增，在上单调递减．
综上可得:时，的单调递增区间是： ，无递减区间。
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时，的单调递增区间是，，
单调递减区间是： . …………5分
（2）由（1）可得，，，，
∵∴，，
令，则 ,
当时，， 当时，.
∴在单调递增，在单调递减 ∴.
∴的取值范围是. …………12分
22. 解：
(1)曲线C：可得：， ……………………1分
由可得：. ……………………4分
所以曲线C的直角坐标方程为.... ……………………5分
(2) 直线l的直角坐标方程为，所以直线l分成两条射线，其极坐标方程分别为：
或， ……………………6分
联立和 ……………………8分
分别解得和， ……………………9分
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所以. ……………………10分
23. 解：
（1）函数, ……………………2分
函数在上单调递减，在上单调递增，， ……………………4分
所以函数的最小值为M =2. ……………………5分
（2）a+b=2, a >0，b >0..
方法1:.
所以，当且仅当时取等号. ……………………9分
故的最小值为. ……………………10分
方法2：利用柯西不等式，， ……………………7分
又a+b=2,所以，
此时
即时取等号. ……………………9分
故的最小值为. ……………………10分
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