一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 已知集合A = { -1,0,1,2,3 }
，B = { x|x2 - 3x < 0 }
，则A ∩ B =
A. {0，1，2} B. {1，2} C. {1，2，3} D. {0，1，2，3}
2. 已知函数f ( )x = 1
2
x
- a
+ 1
2 为奇函数，则a =
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
3. 在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A. 若a ⊥ c，b ⊥ c，则a ⊥ b
B. 若a⫽α，b⫽α，则a⫽b
C. 若a⫽α，b ⊂ α，则a⫽b
D. 若α⫽β，a ⊥ α，b ⊥ β，则a⫽b
4. 已知2cos( α - π6 ) = -sinα，则tan2α =
A. -4 3 B. - 3
2 C. - 4 3
7
D. 0
5. 在
[ 0,2 ]
上有两个连续型随机数x,y，记事件A:x > y，事件B:x2
> y，则P( B|A ) =
A. 5
12 B. 11
24 C. 5
6 D. 11
12
6. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平
行于抛物线的对称轴.已知抛物线C:y2 = 4x，如图，一条平行于x轴
的光线从点 A( )4,y1 ( )1 < y1
< 4
发出，射向抛物线上的点 P，反射后
经过抛物线 C的焦点 F射向抛物线上的点 Q，再反射后又沿平行于
x轴的方向射出至点B ( )4,y2 ，下列说法中正确的是
A. 光路APQB长度的最小值为10
B. 光路APQB长度的最大值为10
C. 光路APQB长度恒等于10
D. 以上说法均不正确
7. 从直线 l:3x + 4y = 10
上的动点 P 作圆 x2 + y2 = 1
的两条切线，切点为 C，D，则四边形
OCPD（O为坐标原点）面积的最小值是
A. 3 B. 2 C. 1 D. 2
8. 某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为 7 天左右，短的约 2~3 天，长的约 10~14 天，甚至有 20
余天 . 某医疗机构对 400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图 .
根据该直方图估计：要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是
A.12 B.13 C.14 D.15
频率
组距0.10
0.08
0.04
0.02
0.01
1 5 9 13 17 21 潜伏期（天）
（第
8
题图）
开始
k = 1,S = 0
S
=
S
+
ksin kπ
3 k = k + 1
k < 12
输出S
结束
是
否
（第
9
题图）
？
9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=
A. -3 3 B. 3 3 C.
-6 3 D.
0
x
A
B
O
Q
P
F
y
（第
6
题图）
理科数学试题A 第1页（共4页） 理科数学试题A 第2页（共4页）
姓名 准考证号
试题类型：A
秘密★启用前
理科数学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。10.《九 章 算 术》中 给 出 了 解 方 程 的“遍 乘 直 除”的 算 法 解 方 程 组．比 如 对 于 方 程 组
ì
í
î
ïï
ïï
3x + 2y + z = 39,
2x + 3y + z = 34,
x + 2y + 3z = 26,
将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤：第一步，将第二行
的数乘以 3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为 0；第二步，对第三行做同
样的操作，其余步骤都类似；其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是
3 2 1 39 3 2 1 39 3 2 1 39
2 3 1 34 → 0 5 1 a → 0 5 1 a → …
1 2 3 26 1 2 3 26 0 b 8 39
A. 24，4 B. 17，4 C. 24，0 D. 17，0
11. 在直角△ABC 中，点 D 在斜边 BC 延长线上，BC = 4，CD = 1，AD = 10，则△ABD 的面
积是
A. 4 15 B. 5 15
4
C. 3 3
2
D. 5 3
3
12. 设函数 f ( )x 是定义在( )0, +∞ 上的可导函数，满足① f ( )x > 0
，② 2xf ′( )x + f ( )x < 0
，其中
f ′( )x 为f ( )x 的导函数.对于任意a > b > 0，必有
A. a2 f ( )a > b2 f ( )b B. a2 f ( )a < b2 f ( )b
C. bf ( )a2 > af ( )b2 D. bf ( )a2 < af ( )b2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知复数z = 5
1 - 2i，则 || zˉ = ▲ ．
14. 已知向量a = ( -2,3 )
，b = (1,m )
，且a ⊥ ( 2a - b )
，则m = ▲ ．
15. 已 知 函 数 f ( x ) = sinωx + 3 cosωx，ω ＞0． 若 该 函 数 图 象 的 对 称 轴 与 函 数 h( x ) =
3cos( 2x + φ ) - 1
图象的对称轴完全相同，则 ω = ▲ ．若函数 f ( x )
在区间（0，π）内
单调递增，在区间（2π，3π）内单调递减，则ω的最小值是 ▲ ．
16. 已知抛物线 C:y2 = 4x，其焦点为 F，C的准线交 x轴于点 F′，A，B为抛物线 C上动点，且直
线 AB 过点 F′，过 F′, F 分别作 OA, OB 的平行线 l1
, l2（O 为坐标原点），直线 l1
, l2 相交于
点 P，记点 P 的运动轨迹为曲线 E，直线 y = kx( )k ≥ 0
与曲线 E 无交点，则 k 的取值范围
是 ▲ .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
已知数列
{ an
}
中，a1
= m > 0，an + 1 an
= 22n + 3，n ∈ N* .
（1）若a5
= 16，求m的值；
（2）是否存在m，使
{ an
}
为等比数列？若存在，求
{ an
}
的前n项和Sn
；若不存在，请说明理由.
18.（12分）
如 图 ，在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 ，平 面 AA1C1C ⊥ 平 面 ABC，
AA1
= AC = BC，∠ACB = 90°.
（1）求证：平面AC1B⊥平面A1BC；
（2）若二面角 A1
-BC-A大小为 60°，求直线 B1C 与平面 A1BC 所
成角的正弦值.
19.（12分）
已知椭圆 C: x2
a2
+ y2
b2
= 1( )a > b > 0 ，F1
,F2 为其左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，PF2
⊥ x 轴，
且 || PF1
= 7 || PF2
.
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）已知点 D（1，0），E（4，0），过点 D 且不垂直于 y 轴的直线 l交椭圆 C 于 A,B 两点,总有 x
轴平分∠AEB ,求椭圆C的方程.
20.（12分）
某种机器需要同时装配两个部件 S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件 S有两个
等级：一等品售价 5 千元，使用寿命为 5 个月或 6 个月（概率均为 0.5）；二等品售价 2 千
元，使用寿命为2个月或3个月（概率均为0.5）.
（1）若从 4件一等品和 2件二等品共 6件部件 S中任取 2件装入机器内，求机器可运行时
间不少于3个月的概率；
（2）现有两种购置部件 S 的方案，方案甲：购置 2 件一等品；方案乙：购置 1 件一等品和 2
件二等品 . 试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件 S 的成本之比）角度考虑，
选择哪一种方案更实惠.
21.（12分）
已知函数f ( )x = x - a
x
- 2alnx，a ≥ 0.
（1）讨论f ( )x 的单调性；
（2）若f ( )x 存在两个极值点x1，x2，证明：f ( )x1
- f ( )x2
x1
- x2
> 2 - 2a
.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）
过点P（2，0）的直线l与抛物线C:y2 = 2x相交于A，B两点.
（1）求AB中点轨迹的直角坐标方程；
（2）若P满足 || || PA - || PB =2 2 时,求l的方程.
23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）
已知函数f ( x ) = x - x²
．
（1）求不等式f ( || x ) ≤ -x² + x + 2
的解集；
（2）若0 < a < 1
m（m≥2，且m∈N），b＜a－a²，求证b＜
1
m + 1 ．
A
B
C
A1
B1
C1
（第
18
题图）
理科数学试题A 第3页（共4页） 理科数学试题A 第4页（共4页）
A
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