西城区高三统一测试
数学
2020.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，复合题目要求的一项.
1.设，则=（ ）
A. B. C. D.
2.若复数，则=（ ）
A. B. C. D.20
3.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
4.设等差数列的前n项和为，若，则=（ ）
A.10 B.9 C.8 D.7
5.设，则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
6.设为非零实数，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则
A.
B.
C.
D.
8.设为非零向量，则“”是“共线”的（ ）
A.充分二不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（ ）
①绕着轴上一点旋转180°；
②沿轴正方向平移；
③以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A.①③ B.③④ C.②③ D.②④
10.设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.在的展开式中，常数项为 .（用数字作答）
12.若向量满足，则实数的取值范围是 .
13.设双曲线的一条渐近线方程为，则该上去西安的离心率为 .
14.函数的最小正周期为 ；若函数在区间上单调递增，则的最大值为 .
15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生乘积的优秀率为70%，女生成绩从优秀率为50%；乙校男生乘积的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%，对于此次测试，给出下列三个结论：
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.
其中，所有正确的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，平面，底面满足.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分14分）
已知满足 ，且，求的值及的面积.
从这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题满分14分）
2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位:分）统计结果用茎叶图记录如下：
（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；
（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值.（结论不要求证明）
19.（本小题满分14分）
设函数，其中a∈R
（Ⅰ）若曲线在点（2，）处切线的倾斜角为，求a的值；
（Ⅱ）已知导函数在区间（1，e）上存在零点，证明:当x∈（1，e）时，
20.（本小题满分15分）
设椭圆，直线经过点M（m，0），直线经过点N（n，0），直线直线，且直线、分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点。
（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线轴，求四边形ABCD的面积；
（Ⅱ）若直线的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证:m+n=0；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由。
21.（本小题满分14分）
对于正整数n，如果个整数a1，a2，…，ak满足1≤a1≤a2≤…≤ak≤n，且a1+a2+…+ak=n，则称数组（a1，a2，…，ak）为n的一个“正整数分拆”。记a1，a2，…，ak 均为偶数的“正整数分拆”的个数为fn；a1，a2，…，ak均为奇数的“正整数分拆”的个数为gn。
（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；
（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，ak）是n的一个“正整数分拆”，且a1=2，求k的最大值；
（Ⅲ）对所有的正整数n，证明:fn≤gn；并求出使得等号成立的n的值。
（注:对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，ak）与（b1，b2，…，bn），当且仅当k=m且a1=b1，a2=b2，…，ak=bm时，称这两个“正整数分拆”是相同的.）
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