数学2020年高考适应性练习（一）参考答案20200517.pdf

高三数学答案（第 1 页，共 6 页） 2020 年高考适应性练习（一） 数学参考答案及评分标准 一、单选题 B C D B B A D A 二、多选题 9.BC 10.AC 11.ABD 12.BCD 三、填空题 13.15 16 14. 9 5− 15. 22− 16. 52 3  ， 39 3 3 + 四、解答题 17. 解：（1）因为 3222 aaS += ，所以 3212 aaa =+ ， 所以 022 =−−qq ，解得 2q = . ………………………………………………2 分 所以 2n na = . ………………………………………………3 分 （2）由题意得 nnb n n 2)2 1)(12( +−= . ……………………………………4 分 令 1(2 1)( )2 n ncn=− ，其前 n 项为 nP ，则 21 1 11 ( ) 3 ( ) (2 1) ( )2 2 2 n nPn=  +  + + −  ， 2 3 11 1 1 1 11 ( ) 3 ( ) (2 3) ( ) (2 1) ( )2 2 2 2 2 nn nP n n +=  +  + + −  + −  ， 两式相减得： 2 3 11 1 1 1 1 12[( ) ( ) ( ) ] (2 1) ( )2 2 2 2 2 2 nn nPn+= + + + + − −  1 1 11[1 ( ) ]11422 (2 1) ( )1221 2 n nn − + − = +  − −  − …………………………………6 分 113 1 1( ) (2 1) ( )2 2 2 nnn−+= − − −  所以 13 (2 3)( )2 n nPn= − + ， …………………………………7 分 而 ( 1)2(1 2 ) 2 ( 1)2 nnn n n++ + + =  = + ， …………………………………9 分 所以数列 nb 的前 n 项和 13 (2 3)( ) ( 1)2 n nT n n n= − + + + . …………………10 分 高三数学答案（第 2 页，共 6 页） 18. 解：（1）由条件①得 2 2 2 2 3 1 3cos 2 3 2 3 a c bB acac ac +−= = −  = − ， ………1 分 由条件②得 21 2cos 1 1 cosAA+ − = − ，即 01coscos2 2 =−+ AA ， …………2 分 解得 1cos 2A = 或 1cos −=A （舍），因为 (0, )A  ，所以 3A = . ……………3 分 因为 3 1 2cos cos3 2 3B = −  − = ， (0, )B  ， 而 cosyx= 在(0, ) 单减，所以 2 3 B . …………………………………4 分 于是 2 33AB+  + = ，与 AB+矛盾. 所以 ABC 不能同时满足①②. …………………………………5 分 当①③④作为条件时： 有 Baccab cos2222 −+= ，即 122 =+ cc ， 解得 21c =−. 所以 有解. …………………………6 分 当②③④作为条件时： 有 B b A a sinsin = ，即 32 sin3 2 B= .解得 1sin =B . 因为 ， 所以 2 =B , ABC 为直角三角形， 所以 有解. ……………………………………7 分 综上所述，满足有解三角形的所有组合为：①③④或②③④. …………………8 分 （2）若选择组合①③④： 因为 ， 所以 2236sin 1 cos 1 ( )33BB= − = − = . ………………………………10 分 所以 的面积 1 1 6 2 2sin 3 ( 2 1)2 2 3 2S ac B −= =   −  = . ………12 分 若选择组合②③④： 因为 ， 所以 222 3) 1c ==-( ………………………………10 分 所以 的面积 131 3=22S =   . …………………………………12 分 高三数学答案（第 3 页，共 6 页） z y x N S A CB D M 19.（1）证明：因为 ⊥SA 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ，所以 SA AC⊥ . ……1 分 在 ABC 中， ABCBCABBCABAC −+= cos2222 272 1362936 =−+= , 所以 33AC = ，因为 2 2 2AC BC AB+=， 所以 ACB 为直角三角形， BCAC ⊥ . ………………………………………3 分 因为 ABCD 为平行四边形，所以 BCAD // ，所以 ADAC ⊥ . ……………4 分 又 SA AD A= ， SA 平面 SAD ， AD  平面 ， 所以 AC ⊥平面 . ……………………………5 分 又 AC 平面 ACM ，所以平面 ⊥ACM 面 SAD . …………………………6 分 （2）连接 BD ，设 AC 与 BD 交点为 N ，连接 MN ， 因为 //BS 平面 ACM ， BS  平面 SBD ，平面 ACM 平面 SBD MN= ， //BS MN . N 是 BD 中点， M 是 SD 中点. ……………………………7 分 如图，以 A 为原点，以 AC AD AS、 、 所在方向分别为 x 轴、 y 轴、z 轴的正方向，建立 如图所示的空间直角坐标系 A xyz− . 于是 )2 5,2 3,0(),0,3,0(),0,0,33(),0,3,33(),5,0,0(),0,0,0( MDCBSA − )2 5,2 3,0(),0,0,33(),0,3,33(),5,0,0( ==−== AMACABAS 设 1n ),,( 111 zyx= 为平面 SAB 的一个法向量，则 1 1 0 0 AB AS  = = n n ，即 11 1 30 0 xy z  −= = ，取 1n )0,3,1(= . …………………………9 分 设 2n ),,( 222 zyx= 为平面 ACM 的一个法向量，则 2 2 0 0 AC AM  = = n n ，即 2 22 0 3 5 0 x yz =  += ，取 2n (0, 5,3)=− . ………………………11 分 12 12 12 5 102cos , | || | 68 = = −nnnn nn . 设平面 SAB 与平面 ACM 所成角的平面角的大小为 ， 则 12 5 102cos cos , 68 =   =nn . 所以平面 与平面 所成角的余弦值为 68 1025 . ………………………12 分 20. 解：（1）由题意可知， 30 0.05 50 0.1 70 0.2 90 0.3 110 0.15 130 0.12 150 0.08 =  +  +  +  +  +  +  91.6= . …………………………………2 分 高三数学答案（第 4 页，共 6 页） 因为 958 31 =，所以60.6 31=− ，153.6 2 31= +  ，故 (60.6 153.6) ( 2 )P Z P Z     = −   + = 0.6827 0.9545 0.818622+=.…4 分 （2）因为每位用户每天使用流量上网时间不低于 60.6 分钟的概率 0.6827( 60.6) ( ) 0.5 0.841352P Z P Z  =  − = + = . …………6 分 所以 6~ (10 ,0.84135)XB ， 因此 610 0.84135 841350EX =  = . ………………………………………8 分 （3）由题意可知， 1( ) ( ) 2P Z P Z =  = ， …………………………………9 分  的所有可能取值为100 ， 200 ，300 ， 400 . 1 2 1( 100) 2 3 3P  = =  = ， 1 1 1 2 2 7( 200) 2 3 2 3 3 18P  = =  +   = ， 1 2 1 2( 300) 22 3 3 9P  = =    = ， 1 1 1 1( 400) 2 3 3 18P  = =   = ， ……………………………………11 分 所以 1 7 2 1100 200 300 400 2003 18 9 18E =  +  +  +  = . ……………………12 分 21. 解：（1）由已知，直线 AB 的方程为 2 pyx=− ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 联立 2 2 2 y px pyx  = =− ，可得 2220y py p− − = ， 且 122y y p+= ， 2 12y y p=− . ………………………2 分 于是 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) 4 4 4 2 2y y y y y y p p p− = + − = + = . …………………3 分 AOBS = 2 12 12| | 8 22 2 2 p y y p  − = = ，所以 4p = . 故抛物线C 的方程为 2 8yx= . ……………………………………………………4 分 （2）设 22 12 0 0 0 1 2( , )( 0), ( , ), ( , )88 yyP x y y M y N y ，切线l 的方程为 00()x x t y y− = − ， 则有 22 01 10( 2, ), ( 2, )88 yyFM y FP y= − = − ，由 ,,M F P 三点共线，可知 //FM FP ， 高三数学答案（第 5 页，共 6 页） 即 22 01 01( 2) ( 2) 088 yy yy− − − = ，因为 01yy ，化简可得 01 16yy=− . …………5 分 由 00 2 () 8 x x t y y yx − = −  = ，可得 2 008 8 8 0y ty ty x− + − = ， 因为直线l 与抛物线相切，故 22 0064 32 4 0t ty y = − + = ，故 0 4 yt = . …………7 分 所以直线 PN 的方程为： 0 00()4 yy y x x− = − − ，即 3 0 004 4 08 yy x y y+ − − = ， 点 M 到直线 PN 的距离为 23 1 0 0 10 2 0 | 4 4 |88 16 y y yyy d y + − − = + ， 将 1 0 16y y=− 代入可得， 3 0 0 22 00 22 0 0 0 32| 4 |8 ( 16) 16 8 | | 16 yyyyd y y y ++ +== ++ . …………9 分 联立 3 0 00 2 4 4 08 8 yy x y y yx  + − − =  = ，消 x 可得， 23 0 0 032 32 0y y y y y+ − − = ， 所以 02 0 32yy y+ = − ， 20 0 32yyy= − − . ………………………………10 分 22 00 0 2 02 2 2 0 0 0 0 2( 16) 1616 16 32| | 1 | | 1 | 2 | yyPN y y yy y y y ++= + − = + + = ， 故 222 2 2 00 300 22 0000 2( 16) 16( 16) 161 1 1| | ( )2 2 88 | | 16 yyyyS d PN yyyy ++++= =   = + ， 33 00 00 1 16 1 16( ) (2 ) 6488yyyy= +  = ，当且仅当 0 4y = 时，“=”成立， 此时， PMN 面积 S 的最小值为64 . ………………………………………12 分 22. 解：（1）当 2a = 时， 2( ) 2exf x x=−， ( ) 2e 2xf x x =−， 所以 (0) 2f = ， (0) 2f  = ，所以切线方程为 2 2 0xy−+=. ……………………2 分 （2） ( ) e 2xf x a x =−，令 ( ) e 2xg x a x=−，则讨论函数 ()fx的极值点的个数，转 化为讨论 ()gx的零点的情况. 注意到 ( ) e 2xg x a =−，e0x  ，可知 高三数学答案（第 6 页，共 6 页） 当 0a  时， ( ) 0gx  ，函数 ()gx 在 ( , )− + 上单调递减，又当 x → − 时， ()gx→ + ，当 x → + 时， ()gx→ − ，此时 有一个零点 0x ，且当 0( , )xx − 时， ( ) 0gx ， ()fx单增，当 0( , )xx + 时， ( ) 0gx ， 单减，函数 ()fx有一个极大 值点 0x . ………………………………………………3 分 当 0a  时，令 ( ) e 2 0xg x a = − = ，解得 2lnx a= .因为当 2( ,ln )x a − 时， ( ) 0gx  ， 当 2(ln ,+ )x a时， ( ) 0gx  ，所以 时，函数 取得最小值 22 2ln a− . ………………………………………………5 分 当 22 2ln 0a−，即 2 ea  时，此时函数 ( ) 0gx ，所以 ( ) 0fx  ，函数 单调 递增，无极值点. ………………………………………………6 分 当 22 2ln 0a−，即 20 ea时，因为 2(ln ) 0g a  ，所以当 时， ， 当 时， ()gx→ + ， 所以存在 12 2lnxxa，使得 12( ) ( ) 0g x g x==. 当 1( , )xx − 时， ( ) 0gx ， ()fx单增，当 12( , )x x x 时， ( ) 0gx ， ()fx单减，当 2( , )xx + 时， ， 单增.此时， ()fx存在极大值点 1x 、极小值点 2x ，共 2 个极值点. ………………………………………………7 分 综上，当 时，函数 有一个极大值点，当 时，函数 存在 1 个 极大值点、1 个极小值点，当 2 ea  时，函数 无极值点. …………………………8 分 （3）由题意可知， ，且 12 12e 2 , e 2xxa x a x==. 因此 210xx，且 21 2 1 e2xx x x − =，并两边取自然对数可得 2 21 1 ln xxx x−= ， 令 2 1 x tx = ，则 1 ln ( 2)1 txtt=− ， ………………………………………10 分 令 ln() 1 tht t= − ， 2 11 ln () ( 1) ttht t −−  = − ，令 1( ) 1 lnF t tt= − − ，则 22 1 1 1() tFt t t t − = − = ， 当 2t  时， ( ) 0Ft  ，函数 ()Ft单调递减，所以 1( ) (2) ln 2 02F t F = −  ， 所以 ( ) 0ht  ，函数 ()ht 单调递减，所以 ( ) ln 2ht  ,即 10 ln 2x . ………12 分