(文科）数学 第 1页（共 10页）
2020 年银川市第九中学、石嘴山第三中学、平罗中学高三年级三校联考
（文科）数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
题目
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案
D A B A B B C A C D A D
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.)
13. _____6___ 14. ____ 3 _______
15. ____2 ___． 16. (1,2]
三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分）
17.（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中， PD 底面 ABCD，且底面 ABCD 为平行四边形，若
60DAB ， 2AB ， 1AD .
（1）求证： PA BD ；
（2）若 PC 与底面 ABCD 所成的角为 45 ，求点 D 到平面 PBC 的距离.
解.（1） 1AD ， 2AB ， 60DAB ，
60cos2222 ADABADABBD ， 3BD(文科）数学 第 2页（共 10页）
2 2 2AD BD AB ，
AD BD ， ……………………………………………………2 分
PD 平面 ABCD， BD 平面 ABCD，
PD BD ， ……………………………………………………4 分
又 AD PD D ，
BD 平面 PAD，
PA 平面 PAD，
BD PA . ……………………………………………………6 分
综上， PA BD 得以证明.
（2）设点 D 到平面 PBC 的距离 h，由（1）知 BC BD ，
1 3
2 2BCDS BC BD ， ………………………………………7 分
ABCDPD 平面 , PCD 是 PC 与底面 ABCD 所成的角，
45 PCD ， 2 PCPD ，
1 3 323 2 3P BCDV . ………………………………………8 分
2 2 2PC CD ， 2 2PB PD DB ， 1BC ，
2 2 2BC PB PC ， PB BC ，
1 7
2 2BCPS BC PB ， ……………………………………10 分
1 7 7
3 2 6D BCP
hV h ，
又 P BCD D BCFV V ， 7 3
6 3
h ，解得 2 21
7h .…………………………12 分(文科）数学 第 3页（共 10页）
18.（本小题满分 12 分）
已知 , ,a b c 分别为 ABC 的内角 , ,A B C 的对边. sin 4sin 8sina A B A .
（1）若 1, 6b A ，求sin B ；
（2）已知
3C ，当 ABC 的面积取得最大值时，求 ABC 的周长.
解:（1）由 sin 4sin 8sina A B A ，得 4 8a a b a ，
即 4 8a b .
因为 1b ，所以 4a .………………………………………………3 分
由
4 1
sinsin 6
B
，得 1sin 8B .………………………………………6 分
（2）因为 4 8 2 4 4a b ab ab ，……………………………7 分
所以 4ab ，当且仅当 4 4a b 时，等号成立.…………………8 分
因为 ABC 的面积 1 1sin 4 sin 32 2 3S ab C .……………9 分
所以当 4 4a b 时， ABC 的面积取得最大值，
此时 2 2 24 1 2 4 1 cos 133c ，则 13c ，………………11 分
所以 ABC 的周长为5 13 . ……………………………………12 分
19.（本小题满分 12 分）
某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)的工人 300 名，25 周岁以下的工人 200 名．为
了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中
抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25(文科）数学 第 4页（共 10页）
周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均
生产件数分成 5 组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，分别
加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据“25 周岁以上(含 25 周岁)组”的频率分布直方图，求 25 周岁以上(含
25 周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数)；
(2)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一
名“25 周岁以下组”工人的概率；
(3)规定日平均生产件数不少于 80 的工人为生产能手，请你根据已知条件完成
2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有
关”？
生产能手 非生产能手 总计
25 周岁以上(含 25 周岁)组
25 周岁以下组
总计
附：
2
2 n ad bck a b c d a c b d
，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
解：(1)由“25 周岁以上(含 25 周岁)组”的频率分布直方图可知，其中位数为
70＋10×0.5－0.05－0.35
0.35
＝7020
7
≈73(件)．(文科）数学 第 5页（共 10页）
综上，25 周岁以上(含 25 周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值为 73
件．………………………………………………………………………………3 分
(2)采用分层抽样，“25 周岁以上(含 25 周岁)组”应抽取工人 100× 300
300＋200＝
60(名)，“25 周岁以下组”应抽取工人 100× 200
300＋200
＝40(名)．………4 分
由频率分布直方图可知，样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中，25 周岁
以上(含 25 周岁)的工人共有 60×0.005×10＝3(名)，设其分别为 m1，m2，m3；
25 周岁以下的工人共有 40×0.005×10＝2(名)，设其分别为 n1，n2，……5 分
则从这 5 人中抽取 2 人的所有基本事件为(m1，m2)，(m1，m3)，(m1，n1)，(m1，
n2)，(m2 ，m3)，(m2，n1)，(m2，n2)，(m3，n1)，(m3，n2)，(n1，n2)，共 10 个．
………………………………………………………分………………7 分
记“至少抽到一名‘25 周岁以下组’的工人”为事件 A，事件 A 包含的基本事
件共 7 个．
故
10
7)( AP ， ……………………………………………………………8 分
(3)由频率分布直方图可知，25 周岁以上(含 25 周岁)的生产能手共有 60×
[(0.02＋0.005)×10]＝15(名)，25 周岁以下的生产能手共有 40×[(0.032 5
＋0.005)×10]＝15(名)，则 2×2 列联表如下：
生产能手 非生产能手 总计
25 周岁以上(含 25 周岁)组 15 45 60
25 周岁以下组 15 25 40
总计 30 70 100
………………………………………………………………………………10 分
K2＝100× 15×25－15×45 2
60×40×30×70
≈1.786＜2.706.(文科）数学 第 6页（共 10页）
综上，没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
………………………………………………………………………………12 分
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 E ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
，其短轴长为 4 ，离心率为 1e ，双曲线
2 2
1x y
m n
（ 0m ， 0n ）的渐近线方程为 y x ，离心率为 2e ，且 1 2 1e e .
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设椭圆 E 的右焦点为 F ，过点 (4,0)G 作斜率不为0 的直线交椭圆 E 于 M ，
N 两点，设直线 FM 和 FN 的斜率分别为 1k ， 2k ，试判断 1 2k k 是否为定值，
若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.[来源:学科网 ZXXK]
解：（1）由题意可知：2 4b ， 2b ， 1n
m
，双曲线的离心率 2 1 2ne m
，
………………………………………………………………………………2 分
121 ee ，∴椭圆的离心率
2
2
1 e ，…………………………………3 分
2
1 2
21 2
c be a a
，∴ 2 2a . ………………………………………4 分(文科）数学 第 7页（共 10页）
∴椭圆的标准方程为：
2 2
18 4
x y . ………………………………………5 分
（2）设直线 MN 的方程为 ( 4)( 0)y k x k ， 2 2
( 4)
2 8
y k x
x y
，
消去 y 整理得： 2 2 2 2(1 2 ) 16 32 8 0k x k x k ，设 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ，
则
2
1 2 2
16
2 1
kx x k
，
2
1 2 2
32 8
2 1
kx x k
，………………………………………7 分
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
( 4) ( 4)
2 2 2 2
y y k x k xk k x x x x
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2
( 4)( 2) ( 4)( 2) 2 6( ) 16
( 2)( 2) ( 2)( 2)
x x x x x x x xk kx x x x
……………9 分
将
2
1 2 2
16
2 1
kx x k
，
2
1 2 2
32 8
2 1
kx x k
，
代入上式得 1 2 1 22 6( ) 16 0x x x x ，即 1 2 0k k .
所以 1 2k k 是定值，定值为 0. ……………………………………………12 分
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) sin cosf x x x a x x ， Ra .
（1）当 1a 时，求曲线 ( )y f x 在点(0, (0))f 处的切线方程；
（2）当 2a 时，若方程 ( ) 3 0f x 在区间[0, ]2
上有唯一解，求 a 的取值范围.
解：（1）当 1a 时， sin cosf x x x x x ，
所以 ' 2sin cos 1f x x x x ， ' 0 1f .……………………………………2 分(文科）数学 第 8页（共 10页）
又因为 0 1f ，
所以曲线 y f x 在点 0, 0f 处的切线方程为 1y x . ………………4 分
（2）当 2a 时， ' 1 sin cos 1f x a x x x .
设 1 sin cos 1h x a x x x ， ' 2 cos sinh x a x x x ，………………6 分
因为 2a ， 0, 2x
,所以 ' 0h x .
所以 h x 在区间 0, 2
上单调递减． ………………………………8 分
因为 0 1 0h ， 1 1 2 02h a a
，
所以存在唯一的 0 0, 2x
，使 0 0h x ，即 0' 0f x .
所以 f x 在区间 00, x 上单调递增，在区间 0 2x
， 上单调递减．………10 分
因为 0 =f a ，
2f
，又因为方程 3 0f x 在区间 0, 2
上有唯一解，
所以 2 3a . ……………………………………………12 分
请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．（10 分）已知直线l ： 3 0x y 与曲线C ： 22 3 9x y ，以坐标原点O 为极
点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(文科）数学 第 9页（共 10页）
（2）将直线l 绕极点O 逆时针方向旋转 30°得到的直线 'l ，这两条直线与曲线C 分别交
于异于极点的 P ，Q 两点，求 OPQ 的面积.
解：
（1） 直线l 的方程为： 3
3y x ，
∵ cos
sin
x
y
∴直线l 极坐标方程为： 6 R ；……………………2 分
曲线 C 的方程： 22 3 9x y ，即 2 2 6 0x y y ，
∴极坐标方程为： 6sin . …………………………………………5 分
（2） 将直线l 绕极点O 逆时针方向旋转 30°得到的直线 'l ，
则 'l 极坐标方程为： 2 3
， …………………………………………6 分
设 1OP ， 2OQ ，则 1 6sin 36
， 2 6sin 3 33OQ ，
………………………………………………………………………………8 分
所以 OPQ 的面积 1 2
1 1 1 9 3sin 3 3 32 6 2 2 4S . ……………10 分
23．（10 分）已知函数 1( ) 2 1 2f x x x 的最小值为 m ．
（1）求 m 的值；
（2）若 , ,a b c 为正实数，且 a b c m ，证明： 2 2 2 1
3a b c ≥ ．
解：
（1）根据题意,函数
1 13 , ,1 2 2( ) 2 1 3 12 , ,2 2
x x
f x x x
x x
……………………2 分(文科）数学 第 10页（共 10页）
所以 ( )f x 为在 1, 2
单调递减,在 1 ,2
单调递增, ……………………3 分
所以 min
1( ) 1, 1.2f x f m
即 …………………………………………5 分
（2）由(1)知, 1m ,所以 1,a b c ……………………6 分
又因为 , ,a b c 为正实数,
2 2 2a b ab ≥ , 2 2 2b c bc ≥ , 2 2 2a c ac ≥ ,
所以 2 2 22 2a b c ab bc ac ≥ ,即 2 2 2a b c ab bc ac ≥ ,……………8 分
所以 2 2 2 21 ( ) 2 2 2a b c a b c ab bc ca 2 2 23( )a b c ≤ ,
即 2 2 2 1
3a b c ≥ ． …………… …………… …………………………10 分
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