2020年汕头市普通高考第二次模拟考试试题
理科数学
第Ⅰ卷选择题
一、选择题:本题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则()
A.B.C.D.
2.已知,是虚数单位,若,则()
A. B. C.D.
3.数列中,首项,且点在直线上,则数列的前项和等于()
A. B. C. D.
4.已知椭圆的离心率为,直线与该椭圆交于、两点,分别过、向轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则等于()
A. B. C. D.
5.已知非零向量,,若,且,则与的夹角为()
A. B. C. D.
6.“众志成城,抗击疫情,一方有难,八方支援”,在此次抗击疫情过程中,各省市都派出援鄂医疗队. 假设汕头市选派名主任医生,名护士,组成三个医疗小组分配到湖北甲、乙、丙三地进行医疗支援,每个小组包括名主任医生和名护士,则不同的分配方案有()
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知,则“”是“展开式各项系数和为0”的()
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数,则的大致图象为()
9.如图,在正四棱柱中,,,点为正方形的中心,点为的中点,点为的中点,则()
A. 、、、四点共面,且.
B. 、、、四点共面,且.
C. 、、、四点不共面,且.
D. 、、、四点不共面,且.
10.梅赛德斯—奔驰(Mercedes – Benz)创立于1900年,是世界上最成功的高档汽车品牌之一,其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化.已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成(如图),点为圆心,,若在圆内部任取一点,则此点取自阴影部分的概率为()
A. B. C. D.
11.已知函数的最小正周期为,若,且,则的最大值为()
A. B. C. D.
12.若函数,,若有两个零点,则的取值范围为()
A. B. C. D.
第Ⅱ卷非选择题
二、填空题:本题共小题,每小题分,共分.
13.已知变量,满足约束条件,则的最大值是.
14.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作渐近线的一条垂线,若该垂线恰好与以为圆心,为半径的圆相切,则该双曲线的离心率为.
15.已知数列满足,,则的最小值为.
16.已知三校锥的四个顶点在球的球面上,平面,是边长为的正三角形,、、分别是、、的中点,且,则球的表面积为.
三、解答题:共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第题为必考题,每个试题考生都必须作答.第、题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共分.
17.(本小题满分12分)
内角,,的对边分别为,,,已知.
(1)求角的大小;
(2)是边上一点,且,,求面积的最大值.
18.(本小题满分12分)
如图,在直角中,,,,,分别是,上一点,且满足平分,,以为折痕将折起,使点到达点的位置,且平面平面
(1)证明:;
(2)求二面角的正弦值.
19.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,为坐标原点,,,已知是以为底边,且边平行于轴的等腰三角形.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)已知直线交轴于点,且与曲线相切于点,点在曲线上,且直线,点关于点的对称点为点,试判断点、、三点是否共线,并说明理由.
20.(本小题满分12分)
冠状病毒是一个大型病毒家族,已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病. 而今年出现的新型冠状病毒(COVID-19)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中感染可导致肺奖、严重急性呼吸综合征、贤衰竭,甚至死亡.
核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据,首先取病人的唾液或咽拭子的样本,再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质,如果有病毒,样本检测会呈现阳性,否则为阴性.根据统计发现,疑似病例核酸检测呈阳性的概率为,现有例疑似病例,分别对其取样、检测,多个样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验,混合样本中只要有病毒,则混合样本化验结果就会呈阳性,若混合样本呈阳性,则将该组中各个样本再逐个化验;若混合样本呈阴性,则该组各个样本均为阴性.
现有以下三种方案:
方案一:逐个化验;
方案二:四个样本混在一起化验;
方案三: 平均分成两组化验.
在新冠肺炎爆发初期,由于检查能力不足,化检次数的期望值越小,则方案越“优”.
(1)若,求个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率;
(2)若,现将该例疑似病例样本进行化验,请问:方案一、二, 三中哪个最“优”?
(3)若对例疑似病例样本进行化验,且“方案二”比“方案一”更“优”,求的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知函数,
(1)讨论的单调性;
(2)若,是函数的两个不同零点,证明:.
(二)选考题:共分.请考生在第、题中任选一题作答.如果多做,则按所作的第一题计分.
22.【选修:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)
以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为:.
(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
(2)直线与轴、轴分别交于,两点,设点为上的一点,水面积的最小值.
23.【选修:不等式选讲】(本小题满分10分)
已知实数、满足:.
(1)求证:;
(2)若,求的最小值.