2020年宁德市普通高中毕业班6月质量检查文科数学试卷.docx

文科数学答案与评分细则 第 1 页 共 8 页 2020 年宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（6.6） 数学（文科）试题参考答案及评分标准 说明： 1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考 生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细 则． 2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有 出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部 分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重 的错误，就不再给分． 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4.解答题只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 1. D 2.C 3.B 4. C 5.A 6.A 7.C 8.B 9.A 10.B 11.A 12.D 二、填空题 ：本题考查基础知识和基本运算．本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 14． 15． 16． 三、解答题：本大题 共 6 小题，共 70 分． 17. 本小题主要考查了平均数、概率等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，考 查化归与转化思想等.满分 12 分. 解:（1）在随机调查的该超市 1000 名消费者中， 粽子购买量不低于 克的共有 人，…………………………………………………………………………2 分 所以消费者粽子购买量不低于300 克的概率 ………………………………………………4 分 （2）由题意可得，购买  0, 100 的概率为 ，购买 100, 200的概率为 ，购买  200, 300的概率为 ，购买 300, 400 的概率为 ，购买 400, 500 的概率为 ……………………………………………………………………………………………6 分 所以粽子购买量的平均数为 ……………………………………………………………………………………………10分 所以需准备粽子的重量为 ………………………………………………………12 分 20 1 3 2 1(0, )e 300 200 200 1 1000 5P  0.1 0.3 0.4 0.15 0.05 50 0.1 150 0.3 250 0.4 350 0.15 450 0.05x           225 克 60.225 10 225000 千克 文科数学答案与评分细则 第 2 页 共 8 页 18.本小题主要考查三角函数公式、正余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推 理能力，化归与转化思想等．满分 12 分． 解:（1）在 中，因为 3 cos sin 0a B b A， 由正弦定理得， 3sin cos sin sin 0A B B A，..……………………………………………………………2 分 因为sin 0A  ，所以 3cos sin 0BB，..………………………………………………………………………3 分 所以 tan 3B  ，..………………………………………………………………………………………………………………4 分 因为  0B， ，所以 3B  . ..…………………………………………………………………………………………5 分 （2）设 AC 边上的高为 ， 因为 ， 7, 5b a c ， 所以 2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac ，..……………………………………………………………………7 分 即 27 ( ) 3a c ac ，..………………………………………………………………………………………………………8 分 所以 6ac ，..……………………………………………………………………………………………………………………9 分 因为 1 3 3sin22ABCS ac B ， 17 22ABC b bS bh h ，..…………………………………………………11 分 所以 7 3 3 22bh ， 3 21 7bh 所以 边上的高 3 21 7 . ..………………………………………………………………………………………………12 分 19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几 何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与 转化思想等．满分 12 分． 解法一:（1）依题意得， 所以 ………………………………………………………………………………………………………………………1 分 因为 分别为 的中点， 所以 因为 所以 又因为 由 AEF 沿 旋转得到， 所以 ………………………………………………………………………………………………………………………3 分 ABC 0h AE EP EC AP PC ,EF ,AC AB //EF BC AC BC EF AC PEF EF EF PE 文科数学答案与评分细则 第 3 页 共 8 页 ， ， 则 ………………………………………………………………………………………………………………4 分 所以 ，即 ………………………………………………………………………………………………5 分 所以 ……………………………………………………………………………………………………………6 分 （2）因为 ， 030BAC， ， 所以 ， ， …………………………………………………………………………7 分 又 ，所以 ………………………………………………………………………………………………8 分 由（1）知 所 ……………………………………………………9 分 若 ， 则 所以 ……………………………………………………………10 分 由（1）知，在 中， ，即 解得 所以 为正三角形， ………………………………………………………………………11 分 即 ， 所以 为 的中点………………………………………………………………………………………………………12 分 解法二：（1）因为 由 AEF 沿 旋转得到， 所以在 中， 所以 ，…………………………………………………………………………………………………………………2 分 同理，在 中， ……………………………………………………………………………………………4 分 因为 ， ， ……………………………………………………5 分 AC PE E AC APC 平面 PE APC 平面 EF APC 平面 EF AP BC AP BC PC C AP BPC 平面 AC BC 4AB  23AC  3AE PE 2BC  3AP  33 4APES  1 1 3 3 313 3 4 4P AEF F APE APEV V S EF          E APF P EMBVV 13 34EMCS BC  33 8EMCS  Rt APC 2 2 2AP PC AC 2 2 23 (2 3)PC 3PC  PEC 33 4PECS  1 2EMC PECSS M PC PEF EF APC AE EP EC AP PC APB AP PB PB PC P PB PBC 平面 PC PBC 平面 文科数学答案与评分细则 第 4 页 共 8 页 所以 ……………………………………………………………………………………………………………6 分 （2）若 ， 则 ………………………………………………………………………………………………………………8 分 因为 ， 所以 ，………………………………………………………………………………………………………10 分 又 所以 为 的中点.……………………………………………………………………………………………………12 分 20.本小题主要考查直线，抛物线，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解 能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问 题的能力．满分 12 分． 解：（1）由 2 2, 1 y px x    得 2yp .………………………………………………………………………………1 分 因为直线 l 垂直于 x 轴时， MON 的面积为 2， 所以 11| | | | 2 2 1 222MN OP p      ，……………………………………………………………………………2 分 解得 2p  ，………………………………………………………………………………………………………………………3 分 所以抛物线C 的方程为 2 4yx .………………………………………………………………………………………4 分 （2）依题意可设直线l 的方程为 1x my， 0 1 1 2 2( ,0), ( , ), ( , )Q x M x y N x y ， 由 2 4, 1 yx x my    得 2 4 4 0y my   ，……………………………………………………………………………………5 分 显然 0 恒成立， 1 2 1 24 , 4y y m y y    .……………………………………………………………………6 分 因为 1 0 1 2 0 2( , ) ( , )QM QN x x y x x y     ……………………………………………………………………………7 分 1 0 2 0 1 2( ) ( )x x x x y y     AP BPC 平面 E APF P EMBVV F APE B MCEVV 1// 2EF BC EF BC且 2APE EMCSS AE EC M PC 1 0 2 0 1 2( 1 )( 1 )my x my x y y      22 1 2 0 1 2 0( 1) (1 )( ) (1 )m y y m x y y x       文科数学答案与评分细则 第 5 页 共 8 页 所以 所以 此时点Q 的坐标为(0,0) .…………………………………………………………………………………………………12 分 21．本小题主要考查函数、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算 求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形 结合思想等．满分 12 分． 解法一:（1） ( ) 2e ( 0, 0)x af x x ax      ，..……………………………………………………………………1 分 ①当 0a  时，由 0x  得， ( ) 2e 2xfx ，所以 ()fx 没有零点；..………………………………2 分 ②当 0a  时， 在 (0, ) 单调递增，..………………………………………………………………………3 分 又 ( ) 2e 1 0afa    ， 设 10 2b 且 4 ab  ，则 2e 2 e, 4b a b    ， ( ) 2 e 4 0fb    ， 所以 有且只有一个零点. ..…………………………………………………………………………………………5 分 （2）依题意得， 2e ln 0( 0)x a a x a    在 0+， 恒成立. ①当 时，不等式显然成立；………………………………………………………………………………………6 分 ②当 0a  时， (1 ln ) 2exax，即 2 1 ln ex x a  成立，………………………………………………………7 分 设 1 ln() ex xgx  ， 则 1 1 ln () e xxgx x    ，……………………………………………………………………………………………………8 分 设 1( ) 1 lnh x xx   ，则 ()hx在 单调递减，且 (1) 0h  ，………………………………………9 分 所以，当  0,1x 时， ( ) 0hx  ， ( ) 0gx  ， ()gx单调递增； 当  1,+x时， ( ) 0hx  ， ( ) 0gx  ， 单调递减. 2 2 2 00 22 00 4( 1) 4 (1 ) (1 ) 4 (1 ) 4 3 m m x x x m x              0 2 0 40 (1 ) 4 3 x x      0 0x  文科数学答案与评分细则 第 6 页 共 8 页 所以 max 1( ) (1) eg x g.……………………………………………………………………………………………………10 分 所以 21 ea  ，解得  0,2ea .……………………………………………………………………………………………11 分 综上，当  0,2ea 时， ()f x a . ..…………………………………………………………………………………12 分 解法二:（1） ( ) 2e ( 0, 0)x af x x ax      ，……………………………………………………………………1 分 ①当 0a  时，由 0x  得， ( ) 2e 2xfx ，所以 ()fx 没有零点；………………………………2 分 ②当 0a  时，曲线 2exy  与 ay x 在 (0, )x  只有一个交点，………………………………4 分 所以 ( ) 2e ( 0)x af x xx     有且只有一个零点. ………………………………………………………………5 分 （2） 依题意得， 2e ln 0( 0)x a a x a    在 0+， 恒成立. ①当 时，不等式显然成立；………………………………………………………………………………………6 分 ②当 0a  时，设 ( ) ( ) 2e lnxg x f x a a a x     ，则 ( ) 2ex agx x  ， 由（1）知， ()gx 在 单调递增，且只有一个零点， 即存在唯一 0 0x  ，使得 0 0 0 ( ) 2e 0x agx x     ，………………………………………………………………7 分 当 0(0, )xx 时， ( ) 0gx  ， ()gx单调递减； 当 0( , )xx  时， ( ) 0gx  ， 单调递增； 所以， 0 min 0 0( ) ( ) 2e lnxg x g x a a x    ，…………………………………………………………………………8 分 由 0 0 2e 0x a x，得 0 00 0 2e ,ln ln 2 x aaxxx   ，………………………………………………………………9 分 所以 0 0 0 00 ( ) (ln ) ln ln 02 2 2 a a a a ag x a a x ax a a a axx           ，…………………………10 分 解得， 0 2ea ，……………………………………………………………………………………………………………11 分 综上，当 时， . ..…………………………………………………………………………………12 分 文科数学答案与评分细则 第 7 页 共 8 页 解法三:（1） ( ) 2e ( 0, 0)x af x x ax      ，..……………………………………………………………………1 分 因为 ()fx 零点个数即 ( 0)y a a与 2 e ( 0)xy x x交点个数，..……………………………2 分 设 ( ) 2 e ( 0)xh x x x，则 ( ) 2( 1)exh x x ， 当  0,x  时， ( ) 0hx  恒成立， ()hx单调递增. 又 (0) 0h  ，..………………………………………………………………………………………………………………………3 分 所以当 0a  时， ()fx 没有零点；……………………………………………………………………………………4 分 当 0a  时，有且只有一个零点.…………………………………………………………………………………………5 分 （2）同解法一. 22．选修 44 ；坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识 和运算求解能力． 满分 10 分． 曲线C 的普通方程为 2 2 2x y r ，………………………………………2 分 （1）将 cos , sin   xy代入直线l 的极坐标方程中， 得到 的直角坐标方程为 40  xy ．………………………………………4 分 （2）点  40P ， 在直线 上， 则 的参数方程可设为 24 2 2 2     xt yt （t 为参数）…………………5 分 将 的参数方程与曲线 的普通方程联立，得 224 2 16 0t t r    显然 0 ， 设点 AB、 对应的参数分别为 12、tt，则由韦达定理得 12 2 12 42 16 tt t t r       ， ， …………………6 分 且当 4r  时， 2 12 16 0t t r    ．…………………………………7 分 所以 21 21 22 12 1 1 4 2=21616 tt tt PA PB t t rr ，…………………………………9 分 得 25r ………………10 分 23．选修 45 ：不等式选讲 文科数学答案与评分细则 第 8 页 共 8 页 本小题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、 推理论证能力，考查化归与转化思想等． 满分 10 分． 解法一：（1）当 0a  时，   1  f x x x ． 解不等式 11  xx ． 由绝对值不等式知，  1 1 1     x x x x ……………………………………2 分 当且仅当  10  xx 时等号成立，………………………………………………3 分 因此   1fx 的解集 A = 01xx………………………………………………4 分 （2）由 AB，即  01，x ，不等式   3 2f x x 恒成立……………………………5 分 ， 等价于 31 2    x a x x ，整理得 1 2xa ……………7 分 故 11 22   xa 在 恒成立…………………………………………………8 分 则 1 2 1 2     ax ax 在 恒成立，得 1 2 1 2     a a 所以实数 a 的值为 1 2 ……………………………………………………………10 分 解法二：（1）当 时， ． 解不等式 ①． 当 0x 时， ①等价于 11   xx，解得 0x ．………………………………1 分 当 01x 时， ①等价于 11  xx，解得01x ………………………………2 分 当 1x 时， ①等价于 11xx   ，解得 1x ．…………………………………3 分 因此 的解集 为 ．……………………………………………4 分 （2）同解法一.