南开区高三年级模拟考试(二)参考答案 第 1 页（共 8 页）
2019—2020 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二)参考答案
数学学科
一、选择题：（本题共 9 小题，每题 5 分，共 45 分）
题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）
答 案 B C D A C C B A D
二、填空题：（本题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分）
（10）(0，2]； （11）2； （12）4；
（13）3，1；（第一个空 2 分，第二个空 3 分） （14）4；
（15）[0，2]，(–∞，–1]∪(3，+∞)．（第一个空 2 分，第二个空 3 分）
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
（16）解：（Ⅰ）∵a2+c2=b2+ 10
5 ac，
∴由余弦定理得，cosB=
2 2 2
2
a c b
ac
= 10
10
． …………2 分
∴sinB= 21 cos B = 3 10
10
， …………3 分
∴sin2B=2sinBcosB= 3
5
，cos2B=2cos2B–1=– 4
5
，…………7 分
∴tan2B= sin 2
cos2
B
B =– 3
4
． …………8 分
（Ⅱ）∵sinC=sin[–(A+B)]=sin(A+B)=sin(B+ 4
) …………9 分
=sinBcos +cosBsin …………10 分
= · 2
2 + · = 25
5
， …………11 分
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∴由正弦定理
sin sin
cb
CB 得，c= sin
sin
bC
B =
253 5
3 10
10
=22．…………14 分
（17）解：（Ⅰ）∵平面 CDEF⊥平面 ABCD，ED⊥CD，
∴ED⊥平面 ABCD． …………1 分
如图，以 D 为原点，DC 所在直线为 y 轴，过
点 D 垂直于 DC 的直线为 x 轴，建立空间直角
坐标系 D-xyz，
∵∠DAB=45°，AB=3EF=3，
ED=a，AD= 2 ，
∴A(1，–1，0)，B(1，2，0)，C(0，3，0)，E(0，0，a)，F(0，1，a)．
…………3 分
∴ BF =(–1，–1，a)， DA=(1，–1，0)， …………4 分
∵ · =(–1，–1，a)·(1，–1，0)=0，
∴AD⊥BF． …………5 分
（Ⅱ）设CM =CF =(0，–2，a)=(0，–2，a)，
则 DM = DC + =(0，3，0)+(0，–2，a)=(0，3–2，a)．
…………6 分
设平面 BDM 的法向量为 n1=(x1，y1，z1)，
则 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 2 0 2 0
0 3 2 3 2 0
DB x y z x y
CP x y z a y az
( ) ( )
( ) ( ) ( )
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
n
n
取 x1=2，得 y1=–1，z1= 32
a
，即 n1=(2，–1， 32
a
)．…………8 分
y
z
x
D
E F
A B
C
M
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若 AE∥平面 BDM，则 AE ·n1=(–1，1，a)·(2，–1， 32
a
)=0，
即–2–1+ 32
=0，解得= 3
5
．
∴线段 CF 上存在一点 M，满足 AE∥平面 BDM，此时 CM
CF = ．
…………11 分
（Ⅲ）设平面 BCF 的法向量为 n2=(x2，y2，z2)，
则 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 0 0
0 2 1 2 0
CB x y z x y
CF x y z y z
( ) ( )
( ) ( )
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
n
n
取 x2=1，得 y2=1，z2=2，即 n2=(1，1，2)． …………13 分
又平面 BCD 的法向量为 n3=(0，0，1)，
∴|cos|= 23
23
||
| || |
nn
nn
= 2
1 1 1 4
= 6
3
， …………14 分
由图形可知，二面角 DBCF 为锐角，
∴二面角 DBCF 的余弦值为 ． …………15 分
（18）解：（Ⅰ）∵M(1， 2
2
)，MF2⊥F1F2，
∴
22
22
1
1112
c a b
ab
，
，
解得
2
2
2
1
a
b
，
，
∴椭圆 C 的方程为
2
2 12
x y． …………4 分
（Ⅱ）设直线的方程为 y=k(x–2)，
代入椭圆 C 的方程，消去 y，得(1+2k2)x2–8k2x+8k2–2=0．
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∵直线 l 交椭圆 C 于两点，
∴△=(–8k2)2–4(1+2k2)(8k2–2)＞0，解得 2k2＜1． …………6 分
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1+x2=
2
2
8
12
k
k ，x1x2=
2
2
82
12
k
k
．…………7 分
（ⅰ）设 AB 中点为 M(x0，y0)，
则有 x0=
2
2
4
12
k
k ，y0=k(x0–2)=– 2
2
12
k
k ． …………8 分
当 k≠0 时，∵|QA|=|QB|，∴QM⊥l，
∴kQM ·k=
2
2
2
2 012
4
12
k
k kk mk
=–1，解得 m=
2
2
2
12
k
k
． …………9 分
∴m= =1– 2
1
12k
∈(0，
2
1 )． …………10 分
当 k=0 时，可得 m=0，
综上，m∈[0， )． …………11 分
（ⅱ）依题意有|QF1|=|QA|=|QB|，且 F1(–1，0)，
∴由
2
22
22 1
22
x m y m
xy
( ) ( ) ，
，
消去 y，得 x2–4mx2–4m=0， …………12 分
∴x1，x2 也是此方程的两个根．
∴x1+x2=4m= ，x1x2=–4m= ． …………13 分
∴ =
2
2
28
12
k
k
，解得 k2= 1
8
， …………14 分
∴m= = 1
5
． …………15 分
（19）解：（Ⅰ）设{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q，
依题意，S5b2=5(1+2d)q=50，a3+b2=(1+2d)+q=7， ………………2 分
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解得 d=2，q=2 或 d= 1
2
，q=5，
由于{an}是各项都为整数的等差数列，所以 d=2，q=2． ………………4 分
从而 an=2n–1，bn=2n–1． ……………… 5 分
（Ⅱ）∵log2bn=n–1，
∴cn=0+1+2+…+n–1= 01
2
nn()=
2
2
nn ， ………………7 分
∴
ncia =2( +i)–1=n2–n–1+2i，
∴Tn=n2–n–1+2+n2–n–1+4+…+n2–n–1+2n
=n(n2–n–1)+(2+4+…+2n)
=n(n2–n–1)+n(n+1)=n3． ………………10 分
（Ⅲ）∵ 1
nTn
= 1
11n n n( ) ( )
=( 1
1nn()
– 1
1nn()
)
11
1
nn
=
n
1 (
1
1
n
–
1
1
n
)
2
11 nn ， ………………11 分
而
2
11 nn ＜
2
11 nn = n ， ………………12 分
∴ ＜ – ， ………………13 分
∴
2
1n
i iTi ＜ 1
21
– 1
21
+ 1
31
– 1
31
+ 1
41
– 1
41
+…+ 1
2n
– 1
n
+ –
=1+ 2
2 – 1
n
– ＜2． ……………………15 分
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（20）解:（Ⅰ）f(x)=kx2–x–1，
∵x=1 是函数 f(x)的一个极值点，
∴f(1)=k–1–1=0，解得 k=2． …………2 分
∴f(x)=2x2–x–1，
当 f(x)＞0，即 x＜– 2
1 或 x＞1 时，f(x)单调递增，
当 f(x)＜0，即– ＜x＜1 时，f(x)单调递减，
∴f(x)的单调递增区间为(–∞，– )和(1，+∞)，单调递减区间为(– ，1)．
…………5 分
（Ⅱ）g(x)=(x+1)ln(x+1)+ 3
k x3– x2–x，g(x)=ln(x+1)+kx2–x，…………6 分
若 g(x)在[0，+∞)上是单调增函数，则 g(x)≥0 对任意 x∈[0，+∞)恒成立．
…………7 分
令 h(x)=ln(x+1)+kx2–x，h(x)= 1
1x +2kx2–1= 2 2 1
1
x kx k
x
()，
（ⅰ）若 k≤0，则 h(x)＜0，h(x)在[0，+∞)单调递减，
∴h(x)≤h(0)=0，不合题意． …………8 分
（ⅱ）若 k＞0，由 h(x)=0 解得 x=0，x=12
2
k
k
＞–1，
①当 0＜k＜ 时， ＞0，
∴x∈(0， )时，h(x)＜0，h(x)单调递减，
∴h(x)≤h(0)=0，不合题意．
∴g(x)＞g(1)=0． …………9 分
②当 k≥ 时， ＜0，
∴x∈[0，+∞)时，h(x)＞0，h(x)单调递增，
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∴h(x)≥h(0)=0，即 g(x)≥0 对任意 x∈[0，+∞)恒成立．
综上，k≥
2
1 时，g(x)在[0，+∞)上是单调增函数． …………11 分
（Ⅲ）∵
21
1 2 1 1
21
1
1
m
i m i i
m
i
pq pqp
() =
21
1
1
m
i
i
p q q
pp
()
=
211
1
mq
pq p
qp
p
()
()
= 211 mq
p
() ， …………12 分
∴[ ] 2n–1＞[
21
1 2 1 1
21
1
1
n
i n i i
n
i
pq pqp
() ] 2m–1
[ ] 2n–1＞[ 211 nq
p
() ] 2m–1
1
21211 m mq
p
[ ( ) ] ＞
1
21211 n nq
p
[ ( ) ]
211 ln 121
mq
mp
[ ( ) ]＞ 211 ln 121
nq
np
[ ( ) ]． …………13 分
不妨设 p＞q＞0，则 0＜ q
p
＜1．
构造函数(x)= 1 ln 1 xax ()（x＞0），其中 a= ∈(0，1)．
(x)= 2
ln ln 1
1
xx
x
a a a
x a x
()
()
，
由（Ⅱ）知 ln(x+1)＞x– x2，∴ln(ax+1)＞ax– a2x，
∴(x)＜
2
2
1
ln 2
1
xx
x
x
aaaa
x a x
()
， …………14 分
∵a∈(0，1)，x＞0，
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∴lna＜0，ax＞a2x＞
2
1 a2x，
∴(x)＜0，(x)在(0，+∞)上是单调减函数， …………15 分
∵0＜m＜n，∴0＜2m–1＜2n–1，
∴ 211 ln 121
mq
mp
[ ( ) ]＞ 211 ln 121
nq
np
[ ( ) ]，
∴原不等式成立． …………16 分
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