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理科数学试题第 1 页 共 5 页 秘密★启用前 【考试时间：6 月 5 日 15:00～17:00】 2020 年重庆一中高 2020 级高三下期模拟考试 数 学 试 题 卷（理科） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净 后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题：本题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求. 1.已知全集      , 0 , 2 , UU R A x x B x x C A B      则集合 A. 2 0x x   B. 2 0x x   C. 2 0x x x  或 D. 2 0x x x  或 2.已知复数 2 1 iz i   ，则其共轭复数 z 的虚部是 A. 1 B.1 C.i D. i 3.已知  1, 2,a b a a b       且 ，则向量 a  与向量b  的夹角为 A. 6  B. 4  C. 3  D. 2 3  4.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．抽样发现重庆市某家庭 2019 年的总收入与 2015 年的总收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构也随之发生了变化，现统计了该 家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下的折线图，则下列结论中正确的是 A.该家庭 2019 年食品消费额是 2015 年食品消费额的一半. B.该家庭 2019 年教育医疗消费额 与 2015 年教育医疗消费额相当. C.该家庭 2019 年休闲娱乐消费额 是 2015 年休闲娱乐消费额的六倍. D.该家庭 2019 年生活用品消费额 与 2015 年生活用品消费额相当.理科数学试题第 2 页 共 5 页 5.若 1x  是函数   lnf x x m x  的极值点，则函数  f x A.有极小值1 B.有极大值1 C.有极小值 1 D.有极大值 1 6.阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他的墓碑 上刻着一个“圆柱容球”的立体图形，用来纪念他发现“圆柱内切球（即与圆柱两底面及侧面都相切的球） 的体积是圆柱体积的 2 3 ，且球的表面积也是圆柱表面积的 2 3 ”这一完美的结论.现已知某圆柱的轴截面 为正方形，其表面积为 24 ，则该圆柱的内切球体积为 A. 4 3  B. 16 C. 16 3  D. 32 3  7.已知随机变量 服从二项分布 25, 5B     ，则  2 1D    A.12 5 B.8 C. 24 5 D.5 8.设函数    1 1 1 ,2 2 2 x x f x g x x             ，则函数   y f g x A.是偶函数且在 1, 上单调递增 B.是偶函数且在  1, 上单调递减 C.是奇函数且在 1, 上单调递增 D.是奇函数且在  1, 上单调递减 9.如图所示，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 是底面 1 1 1 1A B C D 内（含边界）的一点，且 AP∥平 面 1DBC ，则异面直线 PA1 与 BD 所成角的取值范围为 A.     4 3,4  B.     2,4  C.     2,3  D.     3 2,3  10.已知圆C ： 2 2 4 0x y x   上存在点  ,M m n ，使得直线 : 1l mx ny  与圆 :O 2 2 1x y  相交 于不同的两点，则实数 m 的取值范围是 A. 1 ,4     B. 0,4 C. 1 ,44      D. ,4 11.已知   , , 2 1 2 1 1a ba b R   且 ，则 2a ba b   的最小值为 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 12.在非等腰 ABC 中，内角 CBA ,, 满足     2 2 2 2sin sin sin sin sin sinA B C A B A B      ，若关 于 x 的不等式 0cos)1()1(cos 22  BxxxAx 对任意  1,0x 恒成立，则角 A 的取值范围为 A.          3446  ，，  B.          8 3 448  ，，  C.      12 5 3  ， D.          12 5 4412  ，， 理科数学试题第 3 页 共 5 页 二、填空题：本题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知变量 x , y 满足线性约束条件 1 0 6 0 x x y x y         ，则 2z x y  的最小值是 . 14.二项式 12 n x x     的展开式中的常数项是第 7 项，则 n  . 15.如图，在四边形 ABCD 中， 32 , 2 4, sin ,4D B AD DC B       9sin sin 22CAB ACB    ，则 ABC 的面积为 . 16.已知抛物线  2 1 : 2 0C y px p  ，圆 2 2 2 : 12 pC x y      与 y 轴相切， 过 1C 的焦点 F 的直线从上至下依次交 1C 和 2C 于 , , ,A B C D 四个点(如图所示)， 且 AB BD  ，O 为坐标原点，则 DA OF   . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） 等比数列   1 1 10 4n n n na a a n N      满足 ，数列 nb n的前 项和为 2, logn n nS b a且 . （1）求 n nb S和 的表达式； （2）是否存在正整数 m ，使得 24 , 4 , 85m m mb S b  成等差数列？若存在，求出所有 m 的值； 若不存在，请说明理由. 18.（12 分） 如右图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， ABC△ 是边长为 2 的等边三角形， 1BC BB ， 1 2CC  ， 且有 1 6AC  . （1）证明：平面 ABC  平面 1 1BB C C ； （2） M ， N 分别是 BC ， 1 1B C 的中点， P 是线段 1AC 上的动点，若二面角 P MN C  的平面角的大小为30 ， 求线段 1PC 的长度. 第 15 题 第 16 题理科数学试题第 4 页 共 5 页 19.（12 分） 近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位.某电动汽 车厂新开发了一款电动汽车，并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量 y 与行驶时间 x （单位：小时）的9 组测试数据如下： 如果剩余电量不足1，则电池需要充电. （1）从这 9 组数据中随机选出 7 组，用 X 表示需要充电的数据组数，求随机变量 X 的分布列； （2）根据电池放电的特点，剩余电量 y 与时间 x 满足经验关系式： bxy ae . 设 ln y  ，利用 表格中的9 组数据求 x 与 的相关系数 r ，并判断是否有 99%的把握认为 x 与 之间具有线性相关关系. 当 0.789r  时，可认为有 99%的把握认为两个变量具有线性相关关系，否则不能认为； （3）求 y x与 的经验关系式.（结果保留两位小数）. 参考数据： 1.16 2.1615 4, 4.38 2.09, 2.43 1.5, 3.19, 8.67e e     . 这9组测试数据的一些相关量见下表： i N  9 1 i i x   9 1 i i y   9 1 i i     9 2 1 i i x x    9 2 1 i i y y    9 2 1 i i     合计 45 12.21 1.55 60 4.38 2.43 i N    9 1 i i i x x y y      9 1 i i i x x      合计 15.55 11.88 相关公式：对于样本  , 1,2, ,i iv u i n  .其回归直线 ˆˆ ˆu bv a  的斜率和截距的最小二乘估计公式分 别为      1 2 1 ˆ ˆˆ, n i i i n i i v v u u b a u bv v v           ， 相关系数        1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i v v u u r v v u u            . 20.（12 分） 已知函数 ( )  xf x e 与 2( )    g x x x a ， a R ，其中 e 为自然对数的底数. （1）若 ( ) ( )f x g x 是 R 上的单调递减函数，求 a 的取值范围； （2）若 )(xf 与 )(xg 有两条不同的公切线，求 a 的取值范围. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 2.77 2 1.92 1.36 1.12 1.09 0.74 0.68 0.53理科数学试题第 5 页 共 5 页 21.（12 分） 已知椭圆  01: 2 2 2 2  bab y a xE 的右焦点为 F  0,3 ，离心率 2 3e ，点 BA、 分别是椭圆 E 的上、下顶点，O 为坐标原点. （1）求椭圆 E 的方程； （2）过 F 作直线l 分别与椭圆 E 交于 DC、 两点，与 y 轴交于点 P ，直线 AC 和 BD 交于点Q ， 求 OQOP 的值. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 cos 2 sin x t y t        (t 为参数，0    )，点 (0, 2)M  . 以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4 2 cos( )4    . （1）求曲线 2C 的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线 1C 与曲线 2C 交于 A , B 两点，若 1 1 17 4MA MB   ，求sin 的值. 23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数    2 4, 1 1f x ax bx g x x x       . （1）当 0, 1a b  时，求不等式    f x g x 的解集； （2）当 1a  时，不等式    f x g x 的解集包含 1,1 ，求实数b 的取值范围.