湖南省衡阳市2020年高中毕班第三次联考(三模)文数试题（图片版）.doc

1 2020 届高中毕业班联考试卷（三） 文科数学答案 一、选择题： 1．【答案】C.【解析】由已知  | 0B x x  ，所以  | 1 0A B x x    . 2．【答案】B.【解析】由 ii iziiziiz 22222)1(2)1( 2021  ，所以 iz 22  3．【答案】C.【解析】设数列 na 公比为 q，则 0q  ，由 2 122 34 22 7 2639  qqaqaqaaaa ， 所以 4 16 28  qaa . 4.【答案】D.【解析】 4 4 5 5BE BC CE BC CD AB AD             5.【答案】A.【解析】由程序框图可知变量 i 是记录分数在[60，90）的学生人数，变量 j 是记录分 数不小于90 分的学生人数，所以合格（ 60 分）人数 a ＝i+j，优秀（ 90 分）人数b ＝j.当输 入第 50 个学生的成绩后，n 的值为 51，此时退出循环。所以答案应选 A 6.【答案】C.【解析】每人从化学､生物､思想政治､地理 4 个科目中选择两科的选法共有：{化学，生 物}，{化学，政治}，{化学，地理}，{生物，政治}，{生物，地理}，{政治，地理}共 6 种选法。 由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有 N=6×6＝36 种，其中两人的选科完全相同的选 法有 6 种，所以的选科至少有一科不相同的概率为 P＝ 6 5 36 61  。 7．【答案】D.【解析】因为函数 )(xf 在定义域 R 上偶函数且在[0，+  ）上是增函数，所以 ( ) (2 3)f x f x  2 2| | | 2 3| (2 3)x x x x      ，解得 3x   或 1x   ，答案选 D 8．【答案】A.【解析】由已知可得该几何体为四棱锥 P－ABCD， 如图所示，则四棱锥 P－ABCD 的表面积为 1 3 3 3 2 23 22 2 2 PAD PAB PCD PBC ABCDS S S S S S               9．【答案】B 【解析】 1212212 21    a b b a a b b a a ba b a ab a ， （当且仅当 即      a b b a ba 2 22 222,22  ba 时取＝号），所以答案选 B 10．【答案】B.【解析】A 选项，由函数解析式可得 02)1( f 与图象矛盾，故排除 A；C 选项， A B C D P2 由函数图象可得函数不为奇函数，故排除 C；D 选项，由函数图可象得当 x   时，函数变 化趋势不符， 1( ) ln | |f x x x   越来越平（增加越来越慢），而不会向上扬起（增加越来越快）, 故排除 D；（另法：验证 ( 1)f  的值即可排除 A,C,D）. 11．【答案】A.【解析】设 P(x0， x0)，所以切线的斜率为 1 2 x0 ，又因为在点 P 处的切线过双曲线的 左焦点 F(－4，0)，所以 42 1 0 0 0  x x x ，解得 x0＝4，所以 P(4，2)， 设双曲线的右焦点为 F2，则 2a＝|PF1|－|PF2|= 2172  ，所以 117 a 故双曲线的离心率是 4 117 117 4    a ce ，故选 A. 12．【答案】D.【解析】由已知可得，ΔABC 的外接圆的半径 1sin2  ABC ACr ， 且由余弦定理 ABCBCABBCABAC  cos2222 得 BCABBCABBCABBCABBCAB  23 22 ， 所以 4 33sin2 1  ABCBCABS ABC （当且仅当 AB＝BC 时取等号） 又外接圆的圆心到平面 ABC 的距离为 322  rRd ， 所以点 P 到平面 ABC 的距离的最大值为 32  dRh , 所以三棱锥 P－ABC 体积的最大值为 4 332)32(4 33 3 1  . 二、填空题： 13．【答案】 ]2,3[  .【解析】 ∵ q 是 p 的必要不充分条件，∴ p⇒q，且 q⇒/ p. 记    12|1|32||:  xxxxAp ，q：B＝{x|x2－(2a＋2)x＋a(a＋2)≤0|＝{x|a≤x ≤a＋2}，则 A 是 B 的真子集.w 从而      12 2 a a 且两个等号不同时成立，解得 23  a . 故实数 a 的取值范围是 ]2,3[  14.【答案】3【解析】f(x)＝sin(2x＋θ)＋ 3os(2x＋θ)＝ )32sin(2  x ，则由题意，知 0)4( f ，又 2||   ， 6   ，所以 xxxf 2cos2)22sin(2)(   ，又 ]6,6[ x ，  ]3,3[2 x ， 1)6()6()(,2)0()( minmax   ffxffxf ， 3)()( minmax  xfxf . 15．【答案】1010.【解析】因为 f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)，所以 an＋1－ an＋cos nπ 2 ＝0，3 an＋1＝an＋cos nπ 2 ,a1＝1，a2＝a1＋cos π 2 ＝1，a3＝a2＋cos 2π 2 ＝0，a4＝a3＋cos 3π 2 ＝0， 如此继续，得 an＋4＝an.S2 020＝505(a1＋a2＋a3＋a4)＝505×2＝1 010. 16．【答案】 ]2ln4 1,2[  .【解析】令 2 1,ln)( 2  xxxxxg ， 则 x xx x xx xxxg )1)(12(12112)( 2  令 舍去）或得 (2 11,0)(  xxxg 当 0)(1;0)(12 1  xgxxgx 时，当时， 所以 )(xg 在 )1,2 1( 上是减函数，在 ),1(  上是增函数, 又 0)1(,2ln4 1)2 1(  gg 而 xy 2 在 )2 1,( 上是增函数，且 220  x ,作出函数 )(xf 的图象如图，由 0)( xF 得 axf )( ，所以当 22ln4 1  a 即 2ln4 12 －－  a 时，函数 ayxfy  与)( 的图象有两个交点. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【解析】(1)因为 0)cossin3(  AAbc ，由正弦定理可得 0)cossin3(sinsin  AABC 0)sin3(cossinsinsin3cossin)cossin3(sin)sin(  BBABABAAABBA ……………3 分 因为  A0 所以 0sin A 所以 0sin3cos  BB 即 3 3tan B ， 6 B ……………6 分 (2)由余弦定理得 Baccab cos2222  ，得 acacca )32(31 22  …………9 分 即 32 32 1   ac （当且仅当 ca  时取＝号） 所以 max( )ABCS ＝ 4 32sin2 1 Bac ……………12 分 18．【解析】(1)由 1 至 5 号数据知 8,10  yx ，所以 40ˆˆ,2.3 5 5 ˆ 5 1 22 5 1         xbya xx yxyx b i i i ii . 所以 ˆ 3.2 40y x   . ……………4 分 (2)由(1)知，当 x＝8 时，y＝－3.2×8＋40＝14.4， 因为|14.4－14|＝0.4＜0.5， 所以可认为所得到的回归直线方程是理想的．……………8 分 。 y=－a 2 14 (3) 设该产品的单价为 x 元．依题意得，利润 L＝(x－2.5)·(－3.2x＋40)＝－3.2x2＋48x－100 (2.5＜x＜12.5)，所以当 x＝－ 48 2×（－3.2） ＝7.5 时，L 取得最大值． 故为获得最大利润，该产品的单价应定为 7.5 元． ……………12 分 19．【解析】（1）证明：取 BD 的中点 M，连接 PM，CM 由已知可得ΔPBD 是边长为 2 的等边三角形， ∴PM⊥BD，PM＝ 3 ， ……………2 分 又∵DM＝1，DC＝4，  60BDC ∴ 13cos2222  BDCDCDMDCDMCM ∴ 222 PCPMCM  ，∴ CMPM  ……………4 分 ∵ BDCM , 平面 BCD， MBDCM  ，∴ PM 平面 BCD， 而 PBDPM 平面 ∴ BCDPBD 平面平面  ……………6 分 （2）∵  PCD 中，PC＝CD＝4，PD＝2，所以 PD 边上的高为 15 ，所以 15PCDS ………9 分 设点 B 到平面 PCD 的距离为 h，由 PCDBBCDP VV   得 hSPMS PCDBCD   3 1 3 1 即 h153 13323 1  得 155 2h 所以 点 B 到平面 PCD 的距离为： 2 155 ……………12 分 20．【解析】(1) 设 , ,A O B 到l 的距离分别为 1 2, ,d d d ， O 是 ,A B 的中点 1 2| | + | | = + =2 2 2 | | 2PA PB d d d AB    ……………2 分 ∴由椭圆的定义可知，点 P 的轨迹C 是以原点为中心， ,A B 为焦点的椭圆。 ∴ 2 2 22 2 2 1, 1a c b a c    ， ∴点 P 的轨迹C 的方程为 2 2 12 x y  ……………5 分 (2)设 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )M x y N x y P x y ，则 1 2 1 22, 2x x y y t    3 3 1 1 2 2( 1, ) ( 1, ) ( 1, ) (0,0)x y x y x y      ， ∴ 3 1 2 3 1 23 ( ) 1, ( ) 2 0x x x y y y t          ， ……………7 分 又∵点 P 在C 上∴ 21 2+4 12 4t t   ∴ 2(1, )2P  ， 2| | 2BP  2 2 2 2 1 1 1 1 1 2| | ( 1) ( 1) 1 2 2 x xBM x y x         ，同理： 22| | 2 xBN  ……………10 分 ∴ 1 2 1 22 2 4 ( )| | + | | = 2 2 | | 2 2 2 x x x xBM BN BP         ∴| BM  |，| BP  |，| BN  |成等差数列。 ……………12 分 D P A B C M5 21．【解析】由已知可得 12ln)(  xxxf ，所以 1)1( f 又 1)1( f ，所以 )(xf 在 x=1 处的切线方程为 xy  即 0 yx ……………3 分 （2） )(xf 的定义域为 ),0(  ，且 12ln)(  xxxf 显然 )(xf  在 ),0(  上是增函数 01)1(,02ln)2 1(  ff又 ∴ 0)(),1,2 1( 00  xfx 使得 ，即 012ln 00  xx ， 且当 0)(),(;0)(),0( 00  xfxxxfxx 时，当时， ∴ 上单调递增在上单调递减在 ),(;),0()( 00 xxxf ……………5 分 ∴ 22)21(22ln)()( 0 2 0000 2 0000min  xxxxxxxxxfxf 4 9)2 1(2 2 00 2 0  xxx ∵ )1,2 1(0 x ∴ 04 9)2 1()( 2 00  xxf ∴ 0)( xf ……………7 分 （3）∵ ),2[ x ∴ 1 )()1()(  x xfkxkxf 令 1 )()(  x xfxg ，则 2 2 2 )1( ln1 )1( )()()1()(    x xxx x xfxfxxg 令 xxxx ln1)( 2  ， ),2[ x , 则 0)1)(12(112)(  x xx xxx ∴ )(x 在 ),2[  上是增函数，又 02ln1)2(  ， ∴ 0)( x ，即 0)(  xg ……………10 分 ∴ )(xg 在 ),2[  上是增函数，又 22ln2)2( g ∴ 22ln2)( xg ∴实数 k 的取值范围是 ]22ln2,(  ……………12 分 22．【解析】（1）因为 cosx   ， siny   ， 2 2 2x y   ， 1C 的极坐标方程为 cos sin 2 0      ，即 sin( ) 24     ； ……………2 分 2C 的普通方程为 2 2( 1) 1x y   ，即 2 2 2 0x y x   ……………4 分 对应的极坐标方程为 2cos  ． ……………5 分 （2）曲线 3C 的极坐标方程为 )20,0(,   ，6 设 ),( 1 A ， ),( 2 B ，则  sincos 2 1  ，  cos22  ， ……………7 分 所以 2 1)42sin(2 2 2 2sin 2 2cos1)sin(coscos|| || 1 2    OA OB ， 又 20   ， 524 4 4      ， 所以当 242   ，即 8   时， || || OA OB 取得最大值 2 21 ． ……………10 分 23．【解析】（1）设     13 3 , ,2 12 1 2 2 1 1, 2,2 3 3, 2. x x f x f x x x x x x x                  ……………2 分 由 6)12()(  xfxf 解得 31  x 所以不等式 6)12()(  xfxf 的解集为 ]3,1[ ……………5 分 （2）由题意知对 x R  ， |3||1||1||2||22||2|)2()(  mxxmxxmxxfmxf ， （当且仅当 x=－1 时取＝号） 所以 9|3| m ，解得 612  m 即实数 m 的取值范围是 ]6,12[ ……………10 分