2020年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查
理 科 数 学
本试卷共23题，满分150分
注意事项:
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，考生要认真核对答题上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合若，则=( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则在上的投影为（ ）
A. B. C. D.
4.某校2名教师、4名学生分成2个小组,分别到两个不同的实验室做实验。每个小组由1名教师和2名学生组成，则教师A和学生B在同一个小组的概率为（ ）
A． B. C. D.
5.某数学小组在国际数学日(每年3月14日)开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟实验的方法获得的近似值.现通过计算器随机获得500个点的坐标，其中有399个点的坐标满足，据此可估计的值约为（ ）
A.3.19 B.3.16 C.3.14 D.3.11
6．已知双曲线的实轴长为4，
且两条渐近线角为60，则该双曲线的焦距为（ ）
A. B.8 C.4或 D.8或
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7.著名物理学家李政道说:“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足。若某一半音与的频率之比为，则该半音为（ ）
A. B. G C. D. A
8:已知函数的最小正周期为，
其图象过点，则其对称中心为（ ）
A. B.
C. D.
9.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
11.若面积为1的ABC满足,则边BC的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.2
12.当时，函数恒成立，则的最大值为( )
A. B.2 C. D.1
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分
13.若命题“”为假命题，则实数的最小值为 。
14.执行右图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入的分别为，则输出的结果为 。（结果用表示)
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15．已知点，动点P满足且，则点P的轨迹方程为
16.已知四棱锥S-ABCD，底面ABCD是边长为6的菱形，，底面ABCD且。若此四棱锥的内切球的表面积为，则该四棱锥的体积为 。
三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答
(一)必考题:共60分
17.(12分)已知等差数列中，且成等比数列、数列的前n项和为,
满足.
(1)求数列,的通项公式;
(2)将数列,的公共项按原来的顺序组成新的数列，试求数列的通项公式，并求该数列的前n项和.
18.(12分)如图，在△ABC中，AC⊥BC，，AB=4，E，F分别为AC，AB的中点△PEF是由△AEF绕直线EF旋转得到，连结AP，BP，CP。
(1)证明:AP⊥平面BPC；
(2)若PC与平面ABC所成的角为，求二面角P-CF-B的余弦值。
7
19.(12分)某药业公司统计了2010-2019年这10年某种疾病的患者人数，结论如下:该疾病全国每年的患者人数都不低于100万，其中有3年的患者人数低于200万，有6年的患者人数不低于200万且低于300万，有1年的患者人数不低于300万。
(1)药业公司为了解一新药品对该疾病的疗效，选择了200名患者，随机平均分为两组作为实验组和对照组，实验结束时，有显著疗效的共110人，实验组中有显著疗效的比率为70％。请完成如下的2×2列联表，并根据列联表判断是否有99.9％把握认为该药品对该疾病有显著疗效；
（2)药业公司最多能引进3条新药品的生产线，据测算，公司按如下条件运行生产线：
每运行一条生产线，可产生年利润6000万元，没运行的生产线毎条每年要亏损1000万元.根据该药业公司这10年的统计数据，将患者人数在以上三段的频率视为相应段的概率、假设各年的患者人数相互独立。欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进多少条生产线?
附:参考公式:，其中。
0.05
0. 025
0. 010
0.001
3.841
5. 024
6. 635
10.828
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20.(12分)已知函数。
(1)讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围
7
21.(12分)在平面直角坐标系中，动直线AB交抛物线于A，B两点。
(1)若，证明直线AB过定点，并求出该定点；
(2)点M为AB的中点，过点M作与y轴垂直的直线交抛物线于C点;点N为AC的中点，过点N作与y轴垂直的直线交抛物线于点P.设△ABC的面积,△APC的面积为.
(i)若AB过定点(2，1)，求使取最小值时，直线AB的方程;
(i i)求的值.
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(二)选考题共10分・请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 (为参数，)。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的圾坐标方，且直线与曲线C相交于A，B两点。
(1)求曲线C的普通方程和的直角坐标方程；
(2)若，点满足，求此时的值。
23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数。
（1）当时，求不等式的解集A。
（2）设的解集为B,若，求这数的值。
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