2020年三明市高三毕业班质量检查测试理科数学试题.pdf

理科数学试题 第 1 页 （共 6 页） 准考证号_______________姓名______________ （在此卷上答题无效） 2020 年三明市高三毕业班质量检查测试 理 科 数 学 本试卷共 6 页．满分 150 分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要 认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否 一致． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题 卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．设集合 2{ | 12 0}A x x x    ， 2{ | log 1}B x x ≥ ，则 AB A．( 4 , 2] B．( 3 , 2] C．[2 , 3) D．[2 , 4) 2．已知复数 4 i 3i z   ，其中i 为虚数单位，则 z  A． 3 B． 7 C．3 D．7 3. 设 3log 2a  ， 0.4log 2b  ， 0.42c  ，则 ,,abc的大小关系是 A．bac B．c a b C．c b a D．b c a 4．已知随机变量 (2 ,1)XN ，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为 A．0.1359 B．0.6587 C．0.7282 D．0.8641 附：若随机变量 2( , )N   ，则 ( ) 0.6826P       ≤ ≤ ， ( 2 2 ) 0.9544P       ≤ ≤ . 理科数学试题 第 2 页 （共 6 页） 5．设正项等比数列 na 的前 n 项和为 nS ， 3 1 22S S S ，且 2 3a  ，则 5a  A．3 B．12 C． 24 D． 48 6． 6))(2( yxyx  的展开式中， 43 yx 的系数为 A． 55 B． 25 C． 25 D． 55 7．执行如图所示的程序框图，若输入 10x  时，输出的 6y  ， 则正数 m  A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知抛物线  ： 2 4yx ，过 的焦点且斜率为1的直线交 于 A ， B 两点，O 为坐标原 点，则 AOB△ 的面积为 A． 2 B． 22 C． 3 D． 23 9．早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载， 大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为 3（勾）和 4（股）时，径隅（弦）则为 5”， 故勾股定理也称为商高定理. 现有 ABC△ 的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾 AC 的长 为3 ，点 A在弦 BC 上的射影为点 D ，则()BC BA AD   A. 36 5 B. 144 25 C. 144 25 D. 36 5 10．已知函数 ( ) sin 3cosf x x x ，若存在 120 2xx   ，使得 12( ) ( ) 4f x f x   ， 则正数 的取值范围是 A．(2 , ) B． 7( , )3  C．(3 , ) D． 13( , )3  11．已知某正三棱锥的底面边长为 4 ，侧面与底面所成二面角的余弦值为 2 3 ，球 1O 为该三棱 锥的内切球．球 2O 与球 1O 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球 2O 与球 1O 的表 面积之比为 A． 1 4 B． 1 9 C． 1 16 D． 1 25 理科数学试题 第 3 页 （共 6 页） 12．已知 ()fx是定义在 R 上的奇函数，当 [0,2]x 时， ( ) 4(1 1)f x x   ．对于任意不小于2 的正整数 n ，当 1[2 2 , 2 2]nnx    时，都满足 1( ) ( 1)22 xf x f．给出以下命题： ① 的值域为[ 4 , 4] ； ②当 67[2 2 , 2 2]x   时， 1( ) [0 , ]8fx ； ③当 2 10a 时，方程 ( ) log | | 0af x x有且只有三个实根． 以上三个命题中，所有真命题的序号是 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．设曲线 1exyx在 1x  处的切线与直线 2y ax平行，则实数 a 的值为＿＿. 14．已知变量 x ， y 满足约束条件 2 5, 2, 6, xy xy x     ≥ ≤ ≤ 则 z x y的最大值为______. 15．在数列{}na 中， 1 1a  ， 2 2a  ，且 2122n n na a a   ，则 20a  _____. 16．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 2 2:14 yEx的左、右顶点分别为 A , B ，点 P 在 圆 22: ( 3) ( 2) 1C x y    上运动，直线OP 与 E 的右支交于 M ．记直线 MA ，MB ，MP 的斜率分别为 1k ， 2k ， 3k ，则 1 2 3k k k的取值范围是______． 理科数学试题 第 4 页 （共 6 页） 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17 题～第 21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12 分） 在 ABC△ 中， D 为 BC 中点，且 90BAD   ， 45CAD   ． （1）求 AB AC ； （2）若 1AD  ，求 ABC△ 的面积． 18．（12 分） 已知椭圆 22 221( 0)xyC a bab   ： 的离心率为 2 2 ，上顶点为 A ，右顶点为 B ．点 2,0)3P( 在椭圆C 内，且直线 AP 与直线 2 3 0xy垂直． （1）求C 的方程； （2）设过点 P 的直线交 于 M ， N 两点，求证：以 MN 为直径的圆过点 ． 19．（12 分） 如图1，在 ABC△ 中， 26AC BC， 90C  , E 为 AC 中点．以 BE 为折痕将 BEC△ 折起，使点C 到达点 D 的位置，且 A BE D为直二面角，F 是线段 AB 上靠近 A 的三等分点，连结 AD , DF , EF ，如图 2． （1）证明: BD EF ； （2）求直线 BD 与平面 ADE 所成角的正弦值． 图 1 图 2 理科数学试题 第 5 页 （共 6 页） 20．（12 分） 某疾病有甲、乙两种类型，对甲型患者的有效治疗只能通过注射药物 Y，而乙型患者可以 口服药物 A 进行有效治疗．对该疾病患者可以通过药物 A 的临床检验确定甲型或乙型．检验 的方法是：如果患者利用药物 A 完成第一个疗程有效，就可以确定是乙型；否则进行第二个 疗程，如果完成第二个疗程有效，也可以确定是乙型，否则确定是甲型． 为了掌握这种疾病患者中甲型、乙型所占比例，随机抽取 100 名患者作为样本通过药物 A 进行临床检验，检验结果是：样本中完成第二个疗程有效的患者是完成第一个疗程有效的患 者的60% ，且最终确定为甲型患者的有 36 人． （1）根据检验结果，将频率视作概率，在利用药物 A 完成第一个疗程无效的患者中任选 3 人，求其中甲型患者恰为 2 人的概率； （2）该疾病的患者通过治疗，使血浆中某物质t 的浓度降低到 7/mmol L或更低时，就 认为已经达到治愈指标．为了确定药物 Y 对甲型患者的疗效，需了解疗程次数 x （单位：次） 对患者血浆中t 的浓度（单位： /mmol L）的影响．在甲型患者中抽取一个有代表性的样本， 利用药物 Y 进行 5 个疗程，每个疗程完成后对每个个体抽取相同容量的血浆进行分析，并对 疗程数 ix 和每个疗程后样本血浆中t 的平均浓度 iy （ 1,2, 5i  ）的数据作了初步处理，得 到下面的散点图及一些统计量的值． x y w 5 1 ii i xy   5 1 ii i wy   5 2 1 i i x   5 2 1 i i w   3 11.0 0.46 262.5 30.1 55 1.458 上表中 1 i i w x ， 5 1 1 5 i i ww    ． ①根据散点图直接判断（不必说明理由），y a bx 与 dycx 哪一个适宜作为甲型患 者血浆中t 的平均浓度 y 关于疗程次数 x 的回归方程类型？并根据表中数据建立 y 关于 x 的 回归方程； ②患者在享受基本医疗保险及政府专项补助后，自己需承担的费用 z（单位：元）与 x , y 的关系为 300 50z y x．在达到治愈指标的前提下，甲型患者完成多少个疗程自己承担的 费用最低？ 附：对于一组数据     1 1 2 2, , , , ,nnu v u v u v ，其回归直线 vu 的斜率和截距的 最小二乘估计分别为      11 22 11 ˆ nn i i i i ii nn ii ii u u v v u v nuv u u u nu          2 = ， ˆˆ vu ． 理科数学试题 第 6 页 （共 6 页） 21．（ 12 分） 已知函数 ( ) lnf x x ax， aR． （1）讨论函数 ()fx的单调性； （2）设 3( ) sin 5 xg x x x x   ，当 0a≥ 时，判断是否存在 0x 使得 00( ) ( )f x g x≥ ，并证 明你的结论． （二）选考题：本题满分 10 分．请考生在 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一 题计分． 22．［选修 4－4：坐标系与参数方程］（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 1C 的参 数方程为 cos ,(0sin xm my      为参数， ），曲线 2C 的极坐标方程为 2 sin ( 0)nn，点 P 是 1C 与 2C 的一个交点，其极坐标为 π( 2 , )4 .设射线 00 π: ( 0 , 0 )2l      ≥ 与曲线 相 交于 ,OA两点，与曲线 相交于 ,OB两点． （1）求 ,mn的值； （2）求 OBOA 2 的最大值． 23. 选修 4－5：不等式选讲（10 分） 设函数 ( ) | 3 | | 2 3 | 3f x x x     ，集合 M 为不等式 ( ) 0fx 的解集． （1）求集合 ； （2）当 ,m n M 时，证明| 3| 3 | |mn m n   .