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文科数学试题 第 1 页 / 共 4 页 长春市 2020 届高三质量监测（四） 文科数学 本试卷共 4 页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不折叠，不弄破、弄皱，不使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 设集合 2{| 1}Axx ≤ ， {| 0}Bxx ，则 ()R A B ∪‰ A. {| 1}xx≥ B. {| 1}xx! C. {| 1xx 或 01}x ≤ D. {| 1xx ≤ 或 01}x ≤ 2. 在等比数列{}na 中， 3 3a ， 6 6a ，则 9a A. 9 B. 12 C. 1 9 D. 1 12 3. 已知角 D 终边经过点 (1,2)P  ，则 cos D A. 1 2 B. 1 2 C. 5 5 D. 5 5 4. 在复平面内，复数 1 z i 所对应的点为(2, 1) ，i 是虚数单位，则 z A. 3i B. 3i C. 3i  D. 3i 5. 方程 22x x 的根所在区间是 A. (1,0) B. (0,1) C. (1, 2) D. (2,3) 6. 树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有 3 名男生，2 名女生，现从 中随机选出 3 人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的概率为 A. 3 5 B. 7 10 C. 4 5 D. 9 10 7. 已知向量 (0,1)AB ，|| 7AC ， 1AB BC˜ ，则 ABC△ 面积为 A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 7 2 文科数学试题 第 2 页 / 共 4 页 8. 下列函数既是奇函数又是增函数的是 A. cos(2 2yxS ) B. 2 x xeey  C. 3lny x D. 2 3yx 9. 为美化环境，某城市决定用鲜花装饰如图所示花柱，它的下面是一个直 径为 1m、高为 3m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米 大约需要鲜花 150 朵，那么装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为（ S 取 3.1） A. 1235 B. 1435 C. 1635 D. 1835 10. 已知 5log 2a ， 0.5log 0.2b ， ln(ln 2)c ，则 a ，b ， c 的大小关系是 A. abc  B. acb  C . bac  D. cab 11. 过抛物线 2:2Cx py （ 0p ! ）的焦点 F 作直线与该抛物线交于 A,B 两点，若 3 AFBF ，O 为坐标原点，则 || || AF OF A. 4 3 B. 3 4 C. 4 D. 5 4 12. 函数 () sin( )fx xZ M  的部分图象如图中实线所示，图中的圆C 与 ()f x 的图象交 于 ,M N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是 ① 函数 ()f x 的图象关于点 4(,0)3 成中心对称； ② 函数 ()f x 在 11(,)26  上单调递增； ③ 圆C 的面积为 31 36 S . A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知双曲线 22 221xy ab （ 0, 0ab!!）的一条渐近线方 程为 y x ，则双曲线的离心率为___________. 14. 执行如图所示的程序框图，若输入 [1,3]t   ，则输出 s 的 取值范围是________________. 15. 已知 1cos( )43 ST  ，则sin 2T ______________. 16. 已知正方体 111 1ABCD A B C D 的棱长为 2 ，点 M N， 分别 是棱 BC ， 1CC 的中点，则异面直线 AN 与 BC 所成角的余 弦值为___________；若动点 P 在正方形 11BCC B （包括边 界）内运动，且 1PA // 平面 AMN ，则线段 1PA 的长度范围 是___________. （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 输入 开始 t 结束 否是 1?t  1ts e  3logs t 输出s D1 C1 B1A1 N M C D A B P文科数学试题 第 3 页 / 共 4 页 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （12 分） 已知数列^ `na 是等比数列，且公比 q 不等于 1， 1 2a ， 32432aaa ，数 列 {}nb 满 足 2 nb na . （Ⅰ）求证：数列^ `nb 是等差数列； （Ⅱ）求数列 1 1{} nnbb 的前 n 项和 nS . 18. （12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为 梯形， ABDC// ， 90BAD‘ ，点 E 为 PB 的 中点，且 224CD AD AB ，点 F 在CD 上， 且 1 3DF FC . （Ⅰ）求证： EF// 平面 PAD ； （Ⅱ）若平面 PAD A 平面 ABCD ， PA PD 且 PA PDA ，求三棱锥 PCEF 的体积. 19. （12 分） 商务部会同海关总署、国家药监局于 3 月 31 日发布关于有序开展医疗物资出口的公 告. 如医疗物资出口中出现质量问题，将认真调查，发现一起，查处一起，切实维护“中 国制造”的形象，更好地发挥医疗物资对支持全球疫情防控的重要作用. 为了监控某种医 疗物资的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个医疗物 资，并测量其尺寸（单位：cm）. 下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个医疗物资的尺 寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 医疗物资尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 医疗物资尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.9716 i i xx ¦ ， 16 16 222 11 11( ) ( 16 ) 0.21216 16ii ii sxxxx  |¦¦ ， 16 2 1 ( 8.5) 18.439 i i |¦ ， 16 2 1 1591.134i i x |¦ ， 16 1 ( )( 8.5) 2.78i i xxi  ¦ ，其中 ix 为 抽取的第i 个医疗物资的尺寸， 1, 2, ,16i ˜˜˜ . （1）求(,)ix i ( 1,2, ,16)i ˜˜˜的相关系数 r ，并回答是否可以认为这一天生产的医 疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若| | 0.25r  ，则可以认为医疗物 资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）. （2）一天内抽检医疗物资中，如果出现了尺寸在 (3,3)x sx s  之外的医疗物资， 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行 检查. 从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ A D B C E F P 文科数学试题 第 4 页 / 共 4 页 附：样本 (, )iix y (1,2,,)in ˜˜˜ 的相关系数 1 22 11 ()() () () n ii i nn ii ii xxyy r x xyy   ¦ ¦¦ . 20. （12 分） 已知椭圆  22 22:10xyCabab !!的焦距为 2 ，且长轴长与短轴长之比为 2:1. （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）若不与坐标轴平行的直线l 与椭圆相切于点 P ，O 为坐标原点，求直线OP 与 直线l 的斜率之积. 21. （12 分） 已知函数 32() 3 4fx x ax ， aR . （Ⅰ）讨论 ()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数 ()f x 有三个零点，证明：当 0x ! 时， 21() 4(1 )( 1)afx a e! . （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的 第一题计分. 22. [选修 4-4 坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 1cos sin x y D D  ® ¯ （ D 为参数），以坐 标原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点 A 为曲线 1C 上的动点，点 B 在 线段OA 的延长线上，且满足||||8OA OB˜ ，点 B 的轨迹为 2C . （Ⅰ）求曲线 1C ， 2C 的极坐标方程； （Ⅱ）设点 M 的极坐标为 3(2, )2 S ，求 ABM△ 面积的最小值. 23. [选修 4-5 不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) |2 3| |2 3|fx x x  . （Ⅰ）解不等式 () 8fx≤ ； （Ⅱ）设 xR 时， ()f x 的最小值为 M .若实数 ,,abc满足 2ab c M ，求 222abc  的最小值.