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盐城市2020届高三年级第四次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．‎ ‎1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．‎ ‎8．充分不必要 9． 10． 11． 12． 13． 14．‎ 二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．‎ ‎15．解析：（1）因为的最小值是－2，所以M＝2． ………………………………2分 因为的最小正周期是，所以， ………………………………4分 又由的图象经过点，可得， ，‎ 所以或，k∈Z，‎ 又，所以，故，即．………………………………6分 （2） 由（1）知，又，，‎ 故，即，‎ 又因为△中，，‎ 所以，，…………………10分 所以 ‎． ………………………………14分 ‎16．证明：(1)设，连结， 因为底面是菱形，故为中点，‎ 又因为点是的中点，所以． ………………………………2分 又因为平面BDE，平面BDE， 所以平面BDE．………………………………6分 高三数学答案 第 8 页 共 8 页 A B P C D E O (2) 因为平面平面，，平面平面，平面，‎ 所以平面． ………………………………9分 又平面，所以．‎ ‎∵是菱形，∴，‎ 又，，平面，平面，‎ 所以平面． ………………………………12分 又平面，所以平面平面． ………………………………14分 ‎17．解析：连接CM，设，则，，‎ ‎，，‎ 设新建的道路长度之和为，则，……6分 由得，设，，‎ 则，，，令得， …………10分 设，，‎ 的情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大 ‎↘‎ 由表可知时有最大值，‎ 此时，，，． ………………………………13分 高三数学答案 第 8 页 共 8 页 答：新建道路长度之和的最大值为千米． ………………………………14分 注：定义域扩展为，求出最值后验证也可.‎ ‎18．解析：(1)因为椭圆的短轴长为2，所以，‎ 当直线过原点时，轴，所以为直角三角形，‎ 由定义知，而，故，‎ 由得，化简得，‎ 故椭圆的方程为． ………………………………4分 ‎（2）①设直线，代入到椭圆方程得：，‎ 设，则， ………………………………6分 所以，‎ 化简可得， ………………………………10分 解得：或，即为直线PQ的斜率． ………………………………12分 ‎②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，，‎ 当两条直线与坐标轴都不垂直时，‎ 由①知，同理可得， ………………………………14分 故，‎ 当且仅当即时取等号．‎ 综上，的最小值为． ………………………………16分 ‎19．解析：(1)由数列是数列得，可得．………2分 ‎(2)由是数列知恒成立，取得恒成立，‎ 当时满足题意，此时，‎ 高三数学答案 第 8 页 共 8 页 当时，由可得，取得，‎ 设公差为，则解得或者，‎ 综上，或或，经检验均合题意．………………………………8分 ‎(3)方法一:假设存在满足条件的数列，不妨设该等比数列的公比为，‎ 则有，可得，①‎ ‎，可得，②‎ 综上①②可得， ………………………………10分 故，代入得，则当时，…………12分 又，‎ 当时，不妨设，且为奇数，‎ 由，‎ 而，所以，，，‎ 综上，满足条件的数列有无穷多个，其通项公式为．………………………………16分 方法二:同方法一得，当时，‎ 当时，，而，，故，以下同方法一．‎ 方法三:假设存在满足条件的数列，显然的所有项及k均不为零，，‎ 不妨设该等比数列的公比为，‎ 当时，，，两式相除可得，‎ 故当时也为等比数列， ………………………………10分 故，则，，由得，且当时， ………………………………12分 则，，∴，∴，‎ 高三数学答案 第 8 页 共 8 页 故当时，‎ 综上，满足条件的数列有无穷多个，其通项公式为．………………………………16分 ‎20．解析：（1）当时，，所以，…1分 由得，当时，；当时，，‎ 所以函数的单调增区间为． ……3分 ‎（2）由题意得，‎ 令，则，‎ 当即时，恒成立，得在上递减，在上递增，所以是函数的极小值点；‎ 当即时，此时恒成立，在上递减，在上递增，所以是函数的极小值点；‎ 当即或时，易得在上递减，在上递增，所以是函数的极小值点； ……6分 当时，解得或（舍），‎ 当时，设的两个零点为，所以，不妨设，‎ 又，所以，故，‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 当时，；∴在上递减，在上递增，在上递减，在上递增；所以是函数极大值点.‎ 综上所述． ……10分 ‎（3）①由（2）知当时，函数在上单调递减，在上单调递增，故函数 至多有两个零点，欲使有两个零点，需，得，‎ 高三数学答案 第 8 页 共 8 页 此时，，‎ 当时，，此时函数在上恰有1个零点； ……12分 又当时，，‎ 由（1）知在上单调递增，‎ 所以，故此时函数在恰有1个零点；‎ 由此可知当时，函数有两个零点． ……14分 ‎②当时，由（2）知在上递减，在上递增，在上递减，在上递增；‎ 而，所以，‎ 此时函数也至多有两个零点.‎ 综上①②所述，函数的零点个数的最大值为2． ……16分 附加题答案 ‎21A．解：由题意知，所以，即，…………4分 所以矩阵的特征多项式，‎ 由，解得或， …………8分 当时，，令，则，‎ 所以矩阵的另一个特征值为，对应的一个特征向量为． …………10分 ‎21B．解：由题意知直线的直角坐标方程为， …………2分 又曲线的极坐标方程，即，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 所以曲线是圆心为的圆， …………8分 高三数学答案 第 8 页 共 8 页 当直线被曲线截得的弦长最大时，得，解得． …………10分 ‎21C．解：由柯西不等式有， …………6分 所以(当且仅当即，时取等号)， …………8分 所以的最小值是． …………10分 ‎22．解：（1）当直线与轴垂直时的长为，又，取，…………1分 所以，解得，所以抛物线的方程为． …………2分 ‎（2）由题意知，，‎ 因，所以， …………4分 当时，直线与抛物线不存在两个交点，所以，‎ 故设直线的方程为，代入抛物线方程得， ‎ 所以，， …………6分 当时，，，所以，，‎ 所以，直线的方程为， …………8分 当时，同理可得直线的方程为， ‎ 综上所述，直线的方程为． …………10分 ‎23．解：（1）当时，，由，得，， ……1分 当时，或，由，得，‎ 由，得，． …………3分 ‎（2）因，由累乘法得，‎ 所以， ………5分 高三数学答案 第 8 页 共 8 页 所以， ………6分 当时，也适合，‎ 所以， ………8分 即，‎ 所以． ………10分 高三数学答案 第 8 页 共 8 页