10_三数学含答案及评分标准_PS.pdf

书书书 试卷类型：Ａ高三第二轮复习质量检测 数　 学　 试　 题 ２０２０ ５ 注意事项： １． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 ２． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 ３． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共８ 小题，每小题５ 分，共４０ 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １． 若集合Ａ ＝ ｛ｘ ｜ （ｘ ＋ １）（ｘ － ２）＜ ０｝，Ｂ ＝ ｛ｘ ｜ ｌｎｘ ＞ ０｝，则Ａ∩Ｂ ＝ Ａ． ｛ｘ ｜１ ＜ ｘ ＜ ２｝　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ｛ｘ ｜ － １ ＜ ｘ ＜ １｝ Ｃ． ｛ｘ ｜ － １ ＜ ｘ ＜ ２｝ Ｄ． ｛ｘ ｜ － ２ ＜ ｘ ＜ １｝ ２． 已知复数ｚ ＝ １ － ｉ ２ ＋ ｉ，ｉ 为虚数单位，则－ｚ ＝ Ａ． １ ５ － ３ ５ ｉ Ｂ． １ ５ ＋ ３ ５ ｉ Ｃ． － １ ５ － ３ ５ ｉ Ｄ． － １ ５ ＋ ３ ５ ｉ ３． 已知直线ｌ 过点Ｐ（３，０），圆Ｃ：ｘ２ ＋ ｙ２ － ４ｘ ＝ ０，则 Ａ． ｌ 与Ｃ 相交 Ｂ． ｌ 与Ｃ 相切 Ｃ． ｌ 与Ｃ 相离 Ｄ． ｌ 与Ｃ 的位置关系不确定 ４． 已知（１ － ｐｘ）ｎ ＝ ｂ０ ＋ ｂ１ ｘ ＋ ｂ２ ｘ２ ＋ …＋ ｂｎ ｘｎ ，若ｂ１ ＝ － ３，ｂ２ ＝ ４，则ｐ ＝ Ａ． １　 　 　 　 　 　 Ｂ． １ ２ 　 　 　 　 　 　 Ｃ． １ ３ 　 　 　 　 　 　 Ｄ． １ ４ ５． 中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”；从五种不同属性的物质中随机抽取２ 种，则抽到的两种物质不相生的概率为 Ａ． １ ５ Ｂ． １ ４ Ｃ． １ ２ Ｄ． １ ３ ６． 命题ｐ： ｘ∈［－ ２，１］，ｘ２ ＋ ｘ － ｍ≤０ 成立的充要条件是 Ａ． ｍ≥０ Ｂ． ｍ≥ － １ ４ Ｃ． － １ ４ ≤ｍ≤２ Ｄ． ｍ≥２ ７． 在直角三角形ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ ＝ π ２ ，ＡＣ ＝ ＢＣ ＝ ２，点Ｐ 是斜边ＡＢ 上一点，且ＢＰ ＝ ２ＰＡ， 则→ＣＰ·→ＣＡ ＋ →ＣＰ·→ＣＢ ＝ Ａ． － ４ Ｂ． － ２ Ｃ． ２ Ｄ． ４ 高三第二轮复习质量检测数学试题第１ 页（共４ 页）８． 已知函数ｆ（ｘ）＝ （ｘ － １）ｅｘ － ａ ２ ｅ２ｘ ＋ ａｘ 只有一个极值点，则实数ａ 的取值范围是 Ａ． ａ≤０ 或ａ≥ １ ２ Ｂ． ａ≤０ 或ａ≥ １ ３ Ｃ． ａ≤０ Ｄ． ａ≥０ 或ａ≤ － １ ３ 二、多项选择题：本题共４ 小题，每小题５ 分，共２０ 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得５ 分，部分选对的得３ 分，有选错的得０ 分． ９． “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：ｃｍ）服从正态分布，其密度曲线函数为 ｆ（ｘ）＝ １ １０ ２槡π ｅ － （ｘ － １００）２ ２００ ，ｘ∈（－ ∞ ，＋ ∞ ），则下列说法正确的是 Ａ． 该地水稻的平均株高为１００ｃｍ Ｂ． 该地水稻株高的方差为１０ Ｃ． 随机测量一株水稻，其株高在１２０ｃｍ 以上的概率比株高在７０ｃｍ 以下的概率大 Ｄ． 随机测量一株水稻，其株高在（８０，９０）和在（１００，１１０）（单位：ｃｍ）的概率一样大 １０． 如图，正方体ＡＢＣＤ － Ａ１ Ｂ１ Ｃ１ Ｄ１ 的棱长为２，线段 Ｂ１ Ｄ１ 上有两个动点Ｍ，Ｎ，且ＭＮ ＝ １，则下列结论正确的是 Ａ． ＡＣ⊥ＢＭ Ｂ． ＭＮ∥平面ＡＢＣＤ Ｃ． 三棱锥Ａ － ＢＭＮ 的体积为定值 Ｄ． △ＡＭＮ 的面积与△ＢＭＮ 的面积相等 １１． 已知双曲线ｘ２ ａ２ － ｙ２ ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０）的一条渐近线 方程为ｘ － ２ｙ ＝ ０，双曲线的左焦点在直线 ｘ ＋ ｙ 槡＋ ５ ＝ ０上，Ａ、Ｂ 分别是双曲线的左、右顶点，点 Ｐ 为双曲线右支上位于第一象限的动点，ＰＡ，ＰＢ 的斜率分别为ｋ１ ，ｋ２ ，则ｋ１ ＋ ｋ２ 的取值可能为 Ａ． ３ ４ Ｂ． １ Ｃ． ４ ３ Ｄ． ２ １２． 在平面直角坐标系ｘＯｙ 中，如图放置的边长为２的正方形ＡＢＣＤ 沿ｘ 轴滚动（无滑动滚动），点Ｄ恰好经过坐标原点，设顶点Ｂ（ｘ，ｙ）的轨迹方程是 ｙ ＝ ｆ（ｘ），则对函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的判断正确的是 Ａ． 函数ｇ（ｘ）＝ ｆ（ｘ） 槡－ ２ ２在［－ ３，９］上有两个零点 Ｂ． 函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）是偶函数 Ｃ． 函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在［－ ８，－ ６］上单调递增 Ｄ． 对任意的ｘ∈Ｒ，都有ｆ（ｘ ＋ ４）＝ － １ ｆ（ｘ） 高三第二轮复习质量检测数学试题第２ 页（共４ 页）三、填空题：本题共４ 小题，每小题５ 分，共２０ 分． １３． 函数ｙ ＝ ｃｏｓ４ｘ 槡＋ ３ｓｉｎ４ｘ 的单调递增区间为　 　 ▲　 　 ． １４． 北京大兴国际机场为４Ｆ 级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于 ２０１９ 年９ 月２５ 日正式通航． 目前建有“三纵一横”４ 条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示；若有２ 架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有　 　 ▲　 　 种不同的安排方法． （用数字作答）． １５． 已知抛物线Ｃ：ｘ２ ＝ ２ｐｙ（ｐ ＞ ０）的准线方程为ｙ ＝ － １，直线ｌ：３ｘ － ４ｙ ＋ ４ ＝ ０ 与抛物线 Ｃ 和圆ｘ２ ＋ ｙ２ － ２ｙ ＝ ０ 从左至右的交点依次为Ａ、Ｂ、Ｅ、Ｆ，则抛物线Ｃ 的方程为 　 ▲　 ，｜ ＥＦ ｜ ｜ ＡＢ ｜ ＝ 　 ▲　 ． （本题第一空２ 分，第二空３ 分） １６． 已知Ａ，Ｂ 是球Ｏ 的球面上两点，∠ＡＯＢ ＝ ９０°，Ｃ 为该球面上的动点． 若三棱锥 Ｏ － ＡＢＣ体积的最大值为３６，则球Ｏ 的表面积为　 　 ▲　 　 ． 四、解答题：本题共６ 小题，共７０ 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １７． （１０ 分）在①ａ５ ＝ ｂ４ ＋ ２ｂ６ ，②ａ３ ＋ ａ５ ＝ ４（ｂ１ ＋ ｂ４ ），③ｂ２ Ｓ４ ＝ ５ａ２ ｂ３ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设｛ａｎ ｝是公比大于０ 的等比数列，其前ｎ 项和为Ｓｎ ，｛ｂｎ ｝是等差数列． 已知ａ１ ＝ １， Ｓ３ － Ｓ２ ＝ ａ２ ＋ ２ａ１ ，ａ４ ＝ ｂ３ ＋ ｂ５ ， ．（１）求｛ａｎ ｝和｛ｂｎ ｝的通项公式；（２）设Ｔｎ ＝ ａ１ ｂ１ ＋ ａ２ ｂ２ ＋ ａ３ ｂ３ ＋ …＋ ａｎ ｂｎ ，求Ｔｎ ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． １８． （１２ 分） 如图，在△ＡＢＣ 中，ＡＤ：ＤＣ ＝ ５：３，ＢＤ ＝ １，ｓｉｎＡ ＝ 槡５ ５ ， →ＢＡ·→ＢＤ ＝ ０（１）求ＢＣ 的长度；（２）若Ｅ 为ＡＣ 上靠近Ａ 的四等分点，求ｓｉｎ∠ＤＢＥ． 高三第二轮复习质量检测数学试题第３ 页（共４ 页）１９． （１２ 分）如图所示，在直三棱柱ＡＢＣ － Ａ１ Ｂ１ Ｃ１ 中，ＡＢ⊥ＡＣ，侧面 ＡＢＢ１ Ａ１ 是正方形，ＡＢ ＝ ３，ＡＣ 槡＝ ３ ６． （１）证明：平面ＡＢ１ Ｃ１ ⊥平面Ａ１ ＢＣ１ ； （２）若→ＡＭ ＝ １ ６ →ＡＣ，求二面角Ｍ － ＢＣ１ － Ａ１ 的大小． ２０． （１２ 分）某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上 的概率都是１ ６ ，棋盘上标有第０ 站，第１ 站，第２ 站，……，第 １００ 站。一枚棋子开始在第０ 站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为１ 或２，棋子向前跳两站；若掷出其余点数，则棋子向前跳一站，直到跳到第９９ 站或第１００ 站时，游戏结束；设游戏过程中棋子出现在第ｎ 站的概率为Ｐｎ ． （１）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子３ 次后，求棋子所走站数之和Ｘ 的分布列与数学期望； （２）证明：Ｐｎ ＋ １ － Ｐｎ ＝ － １ ３ （Ｐｎ － Ｐｎ － １ ）（１≤ｎ≤９８）； （３）若最终棋子落在第９９ 站，则记选手落败，若最终棋子落在第１００ 站，则记选手获胜，请分析这个游戏是否公平． ２１． （１２ 分） 已知椭圆Ｃ：ｘ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １ （ａ ＞ ｂ ＞ ０）的离心率ｅ 满足 ２ｅ２ 槡－ ３ ２ｅ ＋ ２ ＝ ０，以坐标原点为圆心，椭圆Ｃ 的长轴长为半径 的圆与直线２ｘ － ｙ 槡＋ ４ ５ ＝ ０ 相切． （１）求椭圆Ｃ 的方程；（２）过点Ｐ（０，１）的动直线ｌ（直线ｌ 的斜率存在）与椭圆Ｃ 相交于Ａ，Ｂ 两点，问在ｙ 轴上是否存在与点Ｐ 不同的定点Ｑ，使得｜ ＱＡ｜ ｜ ＱＢ ｜ ＝ Ｓ△ＡＰＱ Ｓ△ＢＰＱ 恒成立？ 若存在，求出定点Ｑ 的坐标；若不存在，请说明理由． ２２． （１２ 分）已知函数ｆ（ｘ）＝ （ｘ ＋ １）ｅ － ｘ ＋ （ｘ － １）ｅｘ ，ｘ≥０． （１）证明：０≤ｆ（ｘ）≤ １ ｘ ＋ １ ＋ ｘ( )－ １ ｅｘ ； （２）若ｇ（ｘ）＝ ａｘ ＋ ｘ３ ２ ＋ ｘ ＋ ２ｘｃｏｓ( )ｘ ｅｘ ，当ｘ∈［０，１］，ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）恒成立，求实数ａ 的取值范围． 高三第二轮复习质量检测数学试题第４ 页（共４ 页）高三第二轮复习质量检测 数学参考答案及评分标准 ２０２０ ５ 一、单项选择题： 题　 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答　 案Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ 二、多项选择题： 题　 号 ９ １０ １１ １２ 答　 案 ＡＣ ＡＢＣ ＣＤ ＡＢＤ 三、填空题： １３． ｋπ ２ － π ６ ，ｋπ ２ ＋ π[ ]１２ （ｋ∈Ｚ）　 　 　 １４． １０　 　 　 １５． ｘ２ ＝ ４ｙ，１６ １６． １４４π四、解答题： １７． （１０ 分）解：解：方案一：选条件①：（１）设等比数列｛ａｎ ｝的公比为ｑ． ∵ ａ１ ＝ １，Ｓ３ － Ｓ２ ＝ ａ２ ＋ ２ａ１ ∴ ｑ２ － ｑ － ２ ＝ ０解得ｑ ＝ ２ 或ｑ ＝ － １ ∵ ｑ ＞ ０ ∴ ｑ ＝ ２ ∴ ａｎ ＝ ２ｎ － １ ． ２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!设等差数列｛ｂｎ ｝的公差为ｄ ∵ ａ４ ＝ ｂ３ ＋ ｂ５ ，ａ５ ＝ ｂ４ ＋ ２ｂ６ ∴ ｂ１ ＋ ３ｄ ＝ ４ ３ｂ１ ＋ １３ｄ{ ＝ １６ 解得ｂ１ ＝ １ ｄ{ ＝ １ ∴ ｂｎ ＝ ｎ． ∴ ａｎ ＝ ２ｎ － １ ，ｂｎ ＝ ｎ ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）由（１）可知：ａｎ ＝ ２ｎ － １ ，ｂｎ ＝ ｎ， ∴ Ｔｎ ＝ ａ１ ｂ１ ＋ ａ２ ｂ２ ＋ …＋ ａｎ ｂｎ ＝ １ × ２０ ＋ ２ × ２１ ＋ …＋ （ｎ － １）× ２ｎ － ２ ＋ ｎ × ２ｎ － １ ∴ ２Ｔｎ ＝ １ × ２１ ＋ ２ × ２２ ＋ …＋ （ｎ － １）× ２ｎ － １ ＋ ｎ × ２ｎ ７ 分!!!!!!!! ∴ － Ｔｎ ＝ １ ＋ ２１ ＋ ２２ ＋ …＋ ２ｎ － １ － ｎ × ２ｎ 高三第二轮复习质量检测数学试题参考答案第１ 页（共７ 页）＝ １ － ２ｎ １ － ２ － ｎ × ２ｎ ＝ ２ｎ － １ － ｎ × ２ｎ ９ 分!!!!!!!!!!!!! ∴ Ｔｎ ＝ （ｎ － １）·２ｎ ＋ １． １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!方案二：选条件②：（１）设等比数列｛ａｎ ｝的公比为ｑ． ∵ ａ１ ＝ １，Ｓ３ － Ｓ２ ＝ ａ２ ＋ ２ａ１ ∴ ｑ２ － ｑ － ２ ＝ ０解得ｑ ＝ ２ 或ｑ ＝ － １ ∵ ｑ ＞ ０ ∴ ｑ ＝ ２ ∴ ａｎ ＝ ２ｎ － １ ． ２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!设等差数列｛ｂｎ ｝的公差为ｄ ∵ ａ４ ＝ ｂ３ ＋ ｂ５ ，ａ３ ＋ ａ５ ＝ ４（ｂ１ ＋ ｂ４ ） ∴ ｂ１ ＋ ３ｄ ＝ ４ ２ｂ１ ＋ ３ｄ{ ＝ ５ 解得ｂ１ ＝ １ ｄ{ ＝ １ ∴ ｂｎ ＝ ｎ． ∴ ａｎ ＝ ２ｎ － １ ，ｂｎ ＝ ｎ． ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）同方案一（２）．方案三：选条件③：（１）设等比数列｛ａｎ ｝的公比为ｑ． ∵ ａ１ ＝ １，Ｓ３ － Ｓ２ ＝ ａ２ ＋ ２ａ１ ∴ ｑ２ － ｑ － ２ ＝ ０解得ｑ ＝ ２ 或ｑ ＝ － １ ∵ ｑ ＞ ０ ∴ ｑ ＝ ２ ∴ ａｎ ＝ ２ｎ － １ ． ２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!设等差数列｛ｂｎ ｝的公差为ｄ ∵ ａ４ ＝ ｂ３ ＋ ｂ５ ，ｂ２ Ｓ４ ＝ ５ａ２ ｂ３ ∴ ｂ１ ＋ ３ｄ ＝ ４ ｂ１ － ｄ{ ＝ ０ 解得ｂ１ ＝ １ ｄ{ ＝ １ ∴ ｂｎ ＝ ｎ ∴ ａｎ ＝ ２ｎ － １ ，ｂｎ ＝ ｎ． ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）同方案一（２）． １８． （１２ 分）解：（１）∵ →ＢＡ·→ＢＤ ＝ ０ ∴ ＢＡ⊥ＢＤ 在△ＡＢＤ 中，ＢＤ ＝ １，ｓｉｎＡ ＝ 槡５ ５ 高三第二轮复习质量检测数学试题参考答案第２ 页（共７ 页）∴ ＡＤ 槡＝ ５，ｃｏｓ∠ＡＤＢ ＝ 槡５ ５又∵ ＡＤ ∶ ＤＣ ＝ ５ ∶ ３ ∴ ＤＣ ＝ 槡３ ５ ５ ３ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 在△ＢＣＤ 中，ｃｏｓ∠ＢＤＣ ＝ － 槡５ ５ ∴ ＢＣ２ ＝ ＣＤ２ ＋ ＢＤ２ － ２ × ＣＤ × ＢＤ × ｃｏｓ∠ＢＤＣ ＝ ９ ５ ＋ １ － ２ × 槡３ ５ ５ × １ × （－ 槡５ ５ ） ＝ ４ ∴ ＢＣ ＝ ２ ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）由（１）知，ＡＢ ＝ ２，ＡＥ ＝ １ ４ ＡＣ ＝ ２ ５ 槡５，ｃｏｓＡ ＝ 槡２ ５ ５在△ＡＢＥ 中 ＢＥ２ ＝ ＡＢ２ ＋ ＡＥ２ － ２ × ＡＢ × ＡＥ × ｃｏｓＡ ＝ ４ ＋ ４ ５ － ２ × ２ × 槡２ ５ ５ × 槡２ ５ ５ ＝ ８ ５ ∴ ＢＥ ＝ 槡２ １０ ５ ９ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 在△ＢＤＥ 中，ＤＥ ＝ 槡３ ５ ５ ，ｓｉｎ∠ＢＤＥ ＝ 槡２ ５ ５ ∵ ＤＥ ｓｉｎ∠ＤＢＥ ＝ ＢＥ ｓｉｎ∠ＢＤＥ ∴ ｓｉｎ∠ＤＢＥ ＝ ＤＥ × ｓｉｎ∠ＢＤＥ ＢＥ ＝ 槡３ １０ １０ １２ 分!!!!!!!!!!!!!! １９． （１２ 分）解：（１）证明：∵ 三棱柱ＡＢＣ － Ａ１ Ｂ１ Ｃ１ 为直三棱柱 ∴ ＡＡ１ ⊥Ａ１ Ｃ１ ∵ ＡＢ⊥ＡＣ ∴ Ａ１ Ｃ１ ⊥Ａ１ Ｂ１ ２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!又ＡＡ１ ，Ａ１ Ｂ１ 平面ＡＢＢ１ Ａ１ ，ＡＡ１ ∩Ａ１ Ｂ１ ＝ Ａ１ ∴ Ａ１ Ｃ１ ⊥平面ＡＢＢ１ Ａ１又ＡＢ１ 平面ＡＢＢ１ Ａ１ ， ∴ ＡＢ１ ⊥Ａ１ Ｃ１又侧面ＡＢＢ１ Ａ１ 为正方形 ∴ Ａ１ Ｂ⊥ＡＢ１ ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!又Ａ１ Ｃ１ ，Ａ１ Ｂ 平面Ａ１ ＢＣ１ Ａ１ Ｂ∩Ａ１ Ｃ１ ＝ Ａ１ ∴ ＡＢ１ ⊥平面Ａ１ ＢＣ１ 高三第二轮复习质量检测数学试题参考答案第３ 页（共７ 页）又ＡＢ１ 平面ＡＢ１ Ｃ１ ∴ 平面ＡＢ１ Ｃ１ ⊥平面Ａ１ ＢＣ１ ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）如图，以Ａ１ 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Ｏ － ｘｙｚ，则 Ａ（０，０，３），Ｂ（０，３，３），Ｂ１ （０，３，０），Ｃ１ （ 槡３ ６，０，０）， Ｃ（槡３ ６，０，３） ∴ →ＡＣ ＝ （槡３ ６，０，０），ＡＢ→ １ ＝ （０，３，－ ３），→ＡＢ ＝ （０，３，０），ＢＣ→ １ ＝ （槡３ ６，－ ３，－ ３） ∴ →ＭＢ ＝ →ＡＢ － →ＡＭ ＝ →ＡＢ － １ ６ →ＡＣ ＝ （－ 槡６ ２ ，３，０） ８ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 设平面ＭＢＣ１ 的一个法向量为ｎ ＝ （ｘ，ｙ，１），则 ｎ·→ＭＢ ＝ ０ ｎ·ＢＣ→ １{ ＝ ０解得ｘ ＝ 槡６ ５ ，ｙ ＝ １ ５ ∴ ｎ ＝ （槡６ ５ ，１ ５ ，１） １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 又ＡＢ→ １ 是平面Ａ１ ＢＣ１ 的一个法向量 ∴ ｃｏｓ〈ｎ，ＡＢ→ １ 〉＝ ３ ５ － ３ ３２槡２５ 槡× １８ ＝ － １ ２ ∴ 〈ｎ，ＡＢ→ １ 〉＝ ２π ３ ∴ 二面角Ｍ － ＢＣ１ － Ａ１ 的大小为π ３ ． １２ 分!!!!!!!!!!!!!! ２０． （１２ 分）解：（１）随机变量Ｘ 的所有可能取值为３，４，５，６， Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ ( )２ ３ ３ ＝ ８ ２７，Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ Ｃ１ ３ × ( )２ ３ ２ × ( )１ ３ ＝ ４ ９ Ｐ（Ｘ ＝ ５）＝ Ｃ２ ３ × ( )２ ３ × ( )１ ３ ２ ＝ ２ ９ ，Ｐ（Ｘ ＝ ６）＝ ( )１ ３ ３ ＝ １ ２７ ２ 分!!!!!! 所以，随机变量Ｘ 的分布列为 Ｘ ３ ４ ５ ６ Ｐ ８ ２７ ４ ９ ２ ９ １ ２７ ∴ Ｅ（Ｘ）＝ ３ × ８ ２７ ＋ ４ × ４ ９ ＋ ５ × ２ ９ ＋ ６ × １ ２７ ＝ ４ ４ 分!!!!!!!!!!! （２）由题意知，当１≤ｎ≤９８ 时，棋子要到第（ｎ ＋ １）站，有两种情况：高三第二轮复习质量检测数学试题参考答案第４ 页（共７ 页）①由第ｎ 站跳１ 站得到，其概率为２ ３ Ｐｎ ； ②由第（ｎ － １）站跳２ 站得到，其概率为１ ３ Ｐｎ － １ ６ 分!!!!!!!!!!! ∴ Ｐｎ ＋ １ ＝ ２ ３ Ｐｎ ＋ １ ３ Ｐｎ － １ ∴ Ｐｎ ＋ １ － Ｐｎ ＝ ２ ３ Ｐｎ ＋ １ ３ Ｐｎ － １ － Ｐｎ ＝ － １ ３ （Ｐｎ － Ｐｎ － １ ） ∴ Ｐｎ ＋ １ － Ｐｎ ＝ － １ ３ （Ｐｎ － Ｐｎ － １ ）（１≤ｎ≤９８） ８ 分!!!!!!!!!!!! （３）由（２）知，当棋子落到第９９ 站游戏结束的概率为Ｐ９９ ＝ ２ ３ Ｐ９８ ＋ １ ３ Ｐ９７ ， 当棋子落到第１００ 站游戏结束的概率为Ｐ１００ ＝ １ ３ Ｐ９８ ， １０ 分!!!!!!! ∵ Ｐ１００ ＜ Ｐ９９ ， ∴ 最终棋子落在第９９ 站的概率大于落在第１００ 站的概率 ∴ 游戏不公平． １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２１． （１２ 分）解：（１）由题意知 ２ａ ＝ 槡０ － ０ ＋ ４ ５ 槡４ ＋ １ ， ∴ ａ ＝ ２ 由２ｅ２ 槡－ ３ ２ｅ ＋ ２ ＝ ０ 解得ｅ ＝ 槡２ ２ 或ｅ 槡＝ ２（舍） ２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ｂ 槡＝ ２ ∴ 椭圆Ｃ 的方程为ｘ２ ４ ＋ ｙ２ ２ ＝ １． ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）存在 ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 假设ｙ 轴上存在与点Ｐ 不同的定点Ｑ，使得｜ ＱＡ｜ ｜ ＱＢ ｜ ＝ Ｓ△ＡＰＱ Ｓ△ＢＰＱ 恒成立 设Ｑ（０，ｍ）（ｍ≠１），Ａ（ｘ１ ，ｙ１ ），Ｂ（ｘ２ ，ｙ２ ），直线ｌ 的方程为ｙ ＝ ｋｘ ＋ １ 由ｘ２ ４ ＋ ｙ２ ２ ＝ １ ｙ ＝ ｋｘ{ ＋ １ ，可得 （２ｋ２ ＋ １）ｘ２ ＋ ４ｋｘ － ２ ＝ ０ ∴ ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ － ４ｋ ２ｋ２ ＋ １，ｘ１ ｘ２ ＝ － ２ ２ｋ２ ＋ １ Δ ＝ １６ｋ２ ＋ ８（２ｋ２ ＋ １）＝ ３２ｋ２ ＋ ８ ＞ ０ ７ 分!!!!! Ｓ△ＡＰＱ Ｓ△ＢＰＱ ＝ １ ２ ｜ ＱＰ ｜ ｜ ＱＡ｜ ｓｉｎ∠ＰＱＡ １ ２ ｜ ＱＰ ｜ ｜ ＱＢ ｜ ｓｉｎ∠ＰＱＢ ＝ ｜ ＱＡ｜ ｓｉｎ∠ＰＱＡ ｜ ＱＢ ｜ ｓｉｎ∠ＰＱＢ ８ 分!!!!!!!!!! 高三第二轮复习质量检测数学试题参考答案第５ 页（共７ 页）∵ ｜ ＱＡ｜ ｜ ＱＢ ｜ ＝ Ｓ△ＡＰＱ Ｓ△ＢＰＱ ∴ ｓｉｎ∠ＰＱＡ ＝ ｓｉｎ∠ＰＱＢ ∴ ∠ＰＱＡ ＝ ∠ＰＱＢ ∴ ｋＱＡ ＝ － ｋＱＢ ∴ ｙ１ － ｍ ｘ１ ＝ － ｙ２ － ｍ ｘ２ ∴ （ｍ － １）（ｘ１ ＋ ｘ２ ）＝ ２ｋｘ１ ｘ２ １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!! 即－ （ｍ － １） ４ｋ ２ｋ２ ＋ １ ＝ － ２ｋ ２ ２ｋ２ ＋ １解得ｍ ＝ ２ ∴ 存在定点Ｑ（０，２），使得｜ ＱＡ｜ ｜ ＱＢ ｜ ＝ Ｓ△ＡＰＱ Ｓ△ＢＰＱ 恒成立 １２ 分!!!!!!!!!! ２２． （１２ 分）解：（１）证明：ｆ ′（ｘ）＝ ｘ（ｅｘ － ｅ － ｘ ），当ｘ≥０ 时，ｅｘ ≥１，ｅ － ｘ ≤１， ∴ ｆ ′（ｘ）≥０， ∴ ｆ （ｘ）在［０，＋ ∞ ）上是增函数，又ｆ（０）＝ ０． ∴ ｆ（ｘ）≥０． ２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由ｆ（ｘ）≤（ １ ｘ ＋ １ ＋ ｘ － １）ｅｘ 整理得 （ｅｘ ）２ ≥（ｘ ＋ １）２ 即　 ｅｘ ≥ｘ ＋ １ ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!令φ（ｘ）＝ ｅｘ － ｘ － １（ｘ≥０），则φ′（ｘ）＝ ｅｘ － １≥０， ∴ φ（ｘ）在［０，＋ ∞ ）上是增函数，又φ（ｘ）＝ ０ ∴ φ（ｘ）≥０ ∴ ｅｘ ≥ｘ ＋ １ ∴ ｆ（ｘ）≤ １ ｘ ＋ １ ＋ ｘ( )－ １ ｅｘ 综上，０≤ｆ（ｘ）≤ １ ｘ ＋ １ ＋ ｘ( )－ １ ｅｘ ． ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!! （２）当ｘ∈［０，１］时，要证ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ），即证 （ｘ ＋ １）ｅ － ｘ ＋ （ｘ － １）ｅｘ ≥ ａｘ ＋ ｘ３ ２ ＋ ｘ ＋ ２ｘｃｏｓ( )ｘ ｅｘ ， 只需证明（１ ＋ ｘ）ｅ － ２ｘ － ａｘ ＋ ｘ３ ２ ＋ １ ＋ ２ｘｃｏｓ( )ｘ ≥０． ７ 分!!!!!!!!! 由（１）可知：当ｘ∈［０，１］时，ｆ（ｘ）＝ （ｘ ＋ １）ｅ － ｘ ＋ （ｘ － １）ｅｘ ≥０，即（１ ＋ ｘ）ｅ － ２ｘ ≥１ － ｘ， ∴ （１ ＋ ｘ）ｅ － ２ｘ － ａｘ ＋ ｘ３ ２ ＋ １ ＋ ２ｘｃｏｓ( )ｘ ≥１ － ｘ － ａｘ － １ － ｘ３ ２ － ２ｘｃｏｓｘ ＝ － ｘ ａ ＋ １ ＋ ｘ２ ２ ＋ ２ｃｏｓ( )ｘ ， 高三第二轮复习质量检测数学试题参考答案第６ 页（共７ 页）令Ｇ（ｘ）＝ ｘ２ ２ ＋ ２ｃｏｓｘ，则Ｇ′（ｘ）＝ ｘ － ２ｓｉｎｘ． 令Ｈ（ｘ）＝ ｘ － ２ｓｉｎｘ，则Ｈ′（ｘ）＝ １ － ２ｃｏｓｘ，当ｘ∈［０，１］时，Ｈ′（ｘ）＜ ０， ∴ Ｇ′（ｘ）在［０，１］上是减函数， ∴ 当ｘ∈［０，１］时，Ｇ′（ｘ）≤Ｇ′（０）＝ ０， ∴ Ｇ（ｘ）在［０，１］上是减函数， ∴ Ｇ（ｘ）≤Ｇ（０）＝ ２， ∴ ａ ＋ １ ＋ Ｇ（ｘ）≤ａ ＋ ３． ∴ 当ａ≤ － ３ 时，ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）在［０，１］上恒成立． ９ 分!!!!!!!!!!当ａ ＞ － ３ 时，由（１）可知：ｅ２ｘ ≥（ｘ ＋ １）２ 即（１ ＋ ｘ）ｅ － ２ｘ ≤ １ ｘ ＋ １， ∴ （１ ＋ ｘ）ｅ － ２ｘ － ａｘ ＋ ｘ３ ２ ＋ １ ＋ ２ｘｃｏｓ( )ｘ ≤ １ １ ＋ ｘ － １ － ａｘ － ｘ３ ２ － ２ｘｃｏｓｘ ＝ － ｘ １ ＋ ｘ － ａｘ － ｘ３ ２ － ２ｘｃｏｓｘ ＝ － ｘ １ ｘ ＋ １ ＋ ａ ＋ ｘ２ ２ ＋ ２ｃｏｓ( )ｘ ， １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!!! 令Ｉ（ｘ）＝ １ １ ＋ ｘ ＋ ａ ＋ ｘ２ ２ ＋ ２ｃｏｓｘ ＝ １ １ ＋ ｘ ＋ ａ ＋ Ｇ（ｘ），则Ｉ′（ｘ）＝ － １（１ ＋ ｘ）２ ＋ Ｇ′（ｘ），当ｘ∈［０，１］时，Ｉ′（ｘ）＜ ０． ∴ Ｉ（ｘ）在［０，１］上是减函数， ∴ Ｉ（ｘ）在［０，１］上的值域为［ａ ＋ １ ＋ ２ｃｏｓ１，ａ ＋ ３］． ∵ ａ ＞ － ３ ∴ ａ ＋ ３ ＞ ０ ∴ 存在ｘ０ ∈［０，１］，使得Ｉ（ｘ０ ）＞ ０，此时ｆ（ｘ０ ）＜ ｇ（ｘ０ ） ∴ 当ａ ＞ － ３ 时，ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）在［０，１］上不恒成立．综上，实数ａ 的取值范围是（－ ∞ ，－ ３］． １２ 分!!!!!!!!!!!! 高三第二轮复习质量检测数学试题参考答案第７ 页（共７ 页）