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东莞市 2020 届高三第二学期第一次统考（5 月）模拟考试 文科数学试题参考答案评分细则 第 1页 共 4 页 东莞市 2020 届高三第二学期第一次统考（5 月）模拟考试 文科数学试题参考答案及阅卷评分细则 评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C D A B D C A D C A 二．填空题 13． exy  14． 4 11 15． 4 16．  3 25 三、解答题 17. （本小题满分 12 分） （1）填写列联表如下：（3 分）（评分细则：每一列各 1 分，只要发现 1 个错误该列不得分） 2K 的观测值 841.3)466.0(429 200 15644100100 )20768024(200 2  K （6 分） （评分细则：每一部分各 1 分，若没有具体代入数据计算过程答案算对给 2 分，观测值比 较错误且前面过程无错误给 2 分；若把观测值化简成小数形式也可，例如 0.5/0.47/0.466） 所以没有 95%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关。（7 分） （2）在这 11 名学生中，被抽到的女生人数为 544 1120  （人）（8 分） 被抽到的男生人数为 644 1124  （人）或 6511  （人）（9 分） 因为入围的分数不低于 120 分，且每个女生的测试分数各不相同，每个人的分数都是整数。 （补充答案要点：依题意假设这 5 名女生的成绩分别为 120，121，122，123，124）（10 分） 所以这 11 名学生中女生的平均分的最小值为 1225 124123122121120  （12 分） （评分细则：阅卷时应注意补充答案要点中对各女生分数的假设，没有的就算后面最小值 正确也要扣 1 分） 性别 入围人数 未入围人数 总计 男生 24 76 100 女生 20 80 100 总计 44 156 200东莞市 2020 届高三第二学期第一次统考（5 月）模拟考试 文科数学试题参考答案评分细则 第 2页 共 4 页 18. （本小题满分 12 分） （1）令 xt 1 ，则 1 11)1(  xxf 可化简为 ttf 11)(  （1 分） （评分细则：运用整体法化简即可，若有其他转换原理对即可） 所以 n nn aaaf  111)1( （2 分） 将 1na 带入进一步化简得 11  nn aa （3 分） 所以 na 是以 2 为首项，1为公差的等差数列（4 分） （评分细则：一定要详细写是怎样的数列，若只下“数列为等差数列”的结论该步不得分） 所以 11)1(2  nnan 是（5 分） （2）由（1）得 1 nan ，则 12)1(  n n nb 所以 110 2)1(......2322  n n nT ①（6 分） ②n n nT 2)1(......23222 21  （7 分） ①-②得 nn n nT 2)1(2......222 121   （8 分） n n n 2)1(21 2222 1    （9 分） nn 2 即 n n nT 2 （10 分） ∴通过计算可得      100,5 100,41 n n Tn Tn （11 分） 所以综上所述，当 100nT 时， n 的最小值为 5 （12 分） 19. （本小题满分 12 分） （1）因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD  （1 分） 又因为 ABCDAEFCABCDBD 平面平面平面  , AEFCBDACABCDAEFC 平面所以平面平面  , （3 分） （面面垂直的性质写对一条给 1 分，漏写条件扣 1 分，若有条件写错不给分） AEFCBEDBDEBD 平面所以平面平面因为  , （4 分） （2）过 O点 作 HFHCDOH 连接交于点 , 因为 ABCDCDABCDOF 面面  , ，所以 CDOF  （5 分） 因为 OOHOFCDOFCDOH  ,, ，所以 HOFCD 面 （7 分） （漏写条件扣 1 分，有条件写错不给分） 因为 HOFHF 面 ，所以 HFCD  （8 分） 在 2 7 4 31222  OHOFHFHOP中，△ ， 2 7 2 722 1 2 1  HFCDS CDF△ （9 分） （重点是求出面积即给 1 分，其他情况不给分） 设点 A 到 CDF面 的距离为 h ，则 ACDCDFACDCDF SOFShVV   3 1 3 1,即 （11 分）东莞市 2020 届高三第二学期第一次统考（5 月）模拟考试 文科数学试题参考答案评分细则 第 3页 共 4 页 所以 2 3222 112 7 h 所以 7 212 7 32 h （12 分） 20. （本小题满分 12 分） 21.（本小题满分 12 分） （1）因为  f x 在 0, 上单调递增， 所以      ' 2 2 2 0x xf x e x a e x a       恒成立 （2 分） 令   xg x e x a   ,当  0,x  ,  ' 1 0xg x e    g x 在 0, 上单调递增 （4 分） 依题意有    min 0 1 0g x g a    ,得 1a   （5 分） （2）由（1）可知,  g x 在 0, 上单调递增,当 ln 2 2 1a    时,  0 1 0g a   ,  ln 2 2 ln 2 0g a    , （6 分） 存在  0 0,ln 2x  ,使得   0 0 0 0xg x e x a    , 且当  00,x x 时,   0g x  ,即  ' 0f x  ,  f x 在 00, x 上单调递减 当  0 ,x x  时,   0g x  ,即  ' 0f x  ,  f x 在 00, x 上单调递增（8 分）东莞市 2020 届高三第二学期第一次统考（5 月）模拟考试 文科数学试题参考答案评分细则 第 4页 共 4 页 所以  f x 在 0, 上的最小值为           0 2 2 0 0 0 0 0 0=2 =2 = 2xf x e x a x a x a x a a x        ln 2 2 1a    ,  0 0,ln 2x  , 0 0x a  , 02 0a x    0 0f x  ,即   0f x  成立 （12 分） 【或者        0 0 0 0 0 22 0 0=2 =2 = 2x x x x xf x e x a e e e e     0 0,ln 2x  , 01 2xe   0 0f x  ,即   0f x  成立】 22.（本小题满分 10 分） （1）消去参数t 得到 6y x  （1 分） 故曲线 1C 的普通方程为 6 0x y   （2 分） 2 2 23 2 cos 3    ，由 cos sin x y        （3 分）（注意：无写出此公式本得分点不给分） 得到 2 2 23( ) 2 3x y x   即 2 2 13 x y  （4 分）（注意：无化简本得分点不给分） 故曲线 2C 的普通方程为 2 2 13 x y  （5 分） （2）【解法 1】设点 P 的坐标为 ( 3cos ,sin )  （6 分） 点 P 到曲线 1C 的距离 | 2cos( ) 6 || 3 cos sin 6 | 6 2 2 d       （8 分） ∴当 cos( ) 16     时 d 的值最小（9 分）即点 P 到曲线 1C 的最小距离为 22 （10 分） 【解法 2】设平行直线 1C ： 6 0x y   的直线 方程为 0x y m   （6 分） 当直线 1C 与椭圆 2C 相切于点 P 时，P 到直线 1C 的距离取得最大或最小值。 由 2 2 0 13 x y m x y      得 2 24 6 3 3 0x mx m    （7 分）令其判别式 0  ，解得 2m   （8 分） 经检验，当 2m  时，点 P 到直线 1C 的距离最小，最小值为 | 6 2 | 2 2 2 d   （9 分） 所以点 P 到曲线 1C 的最小距离为 22 （10 分） 23.（1）由题意得| 1| | 2 1|x x   （1 分）所以 2 2| 1| | 2 1|x x   （2 分）化简得3 ( 2) 0x x   （3 分） 解得0 2x  （4 分） 原不等式的解集为 | 0 2x x  （5 分） （2）由已知可得， ( )a f x x  恒成立，设 ( ) ( )g x f x x  （6 分） 则 2, 1 1( ) 2 , 1 2 12 2, 2 x g x x x x x             ,（7 分）由 ( )g x 的单调性可知， 1 2x  时， ( )g x 取得最大值 1（9 分） 所以a 的取值范围是[1, ) （10 分）