二模数学试卷答案.pdf

1 芦台一中 2020 届高三年级第二次模拟考试（数学答案详解） 1.已知集合 2{ | 2 0}A x x x    ， { | 1}B x x，则 AB （ ） A. (1 ，1) B. (1 ， 2) C. ， ) D. ， 【答案】C 【详解】由题, 2 20xx   ,则 12x   ,所以  | 1 2A x x    , 则  |1A B x x    ,故选：C 2. 设 Rx ，则“ 12 x ”是“ 022  xx ”的 A. 充分而不必要条 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为     20,40 , 40,60 , 60,80 ,[80,100]. 若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是( ) A． 45 B．50 C．55 D． 【答案】B 【解析】根据频率分布直方可知成绩低于 60 分的有第一、二组数据， 在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为 0.005，0.01，每组数据的组距为 20， 则成绩低于 60 分的频率 P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于 60 分的人数是 15 人， 所以该班的学生人数是 15÷0.3=50. 本题选择 B 选项. 4.已知函数 f(x)＝e|ln x|，则函数 y＝f(x＋1)的大致图象为( ) 2 解析：f(x)＝e|ln x|＝   x（x≥1）， 1 x（00)经过点( 6 ,1),且离心率 e 2 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 与椭圆 C 相交于 A､B 两点,且满足∠AOB=90°(O 为坐标原点),求|AB|的取值范围. 【解析】(1)由题意:e 2 2 c a , 22 61 ab1,a2=b2+c2,解得:a2=8,b2=4,所以椭圆的方程为: 22 184 xy; ————————5 分 (2)当直线 l 的斜率不存在时,设直线 l 为:x=m,A(x,y),B( x , y ),代入椭中:y2=4(1 2 8 m ), ∠AOB=90°,∴OA OB   0,∴x +y =m2﹣4(1 )=0,∴m2 8 3 , ∴|AB|=|y﹣ |=4 2 461 83 m ;————————7 分 当直线的斜率存在时,设直线为:y=kx+m,A(x,y),B( , ),代入椭圆中整理得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣ 8=0,x+ 2 4 12 km k   ,x 2 2 28 12 m k   , yy =k2xx'+km(x+ )+m2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 2 8 1 2 1 2 1 2 1 2 k m k k m m k m m k k k k k           ,∵∠AOB=90°,∴x +y =0,∴2m2﹣8+m2﹣8k2=0, ∴3m2=8+8k2, ————————10 分       2222 22 22 21 1 )21( 1 2 113 64 21 )48(81'4)'(1|| kkk mkkxxxxkAB , 令 t 2 1 12k  ∈(0,1],所以|AB|  24 6 1132tt   ,当 t 1 2 ,g(t)=1 1 2 (t2﹣t)最大为 9 8 ,t=19 时,g(t)取得最小值 1,综上所述:|AB|的取值范围[ 46 3 ,2 3 ].————————15 分 19.已知数列{an}的奇数项是首项为 1 的等差数列，偶数项是首项为 2 的等比数列．数列{an}前 n 项和为 Sn，且满足 S3＝a4，a3＋a5＝2＋a4. （1）求数列{an}的通项公式； （2）在数列{an}中，是否存在连续的三项 am，am＋1，am＋2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出 所有满足条件的正整数 m 的值；若不存在，说明理由． 【解析】 (1)设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为 q，则 a1＝1，a2＝2，a3＝1＋d，a4＝2q， a5＝1＋2d，∵S3＝a4，∴1＋2＋(1＋d)＝2q，即 4＋d＝2q，又 a3＋a5＝2＋a4，(1＋d)＋(1＋2d)＝2＋2q， 即 3d＝2q，解得 d＝2，q＝3，∴对于 k∈N*，有 a2k－1＝1＋(k－1)·2＝2k－1，a2k＝2·3k－1，故        kn knn a nn 2,32 12, 1 2 k∈N*.————————6 分 （2）在数列{an}中，仅存在连续的三项 a1，a2，a3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数 m 的值 为 1 其理由是，若 am＝a2k，则由 am＋am＋2＝2am＋1，得 2·3k－1＋2·3k＝2(2k＋1)化简得 4·3k－1＝2k＋1， 此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立；————————10 分 若 am＝a2k－1，则由 am＋am＋2＝2am＋1，得 (2k－1)＋(2k＋1)＝2·2·3k－1 化简得 k＝3k－1，令 Tk＝ k 3k－1， (k∈N*)，则 Tk＋1－Tk＝k＋1 3k － k 3k－1＝1－2k 3k T2>T3>„ ，故只有 T1＝1，此时 k＝1，m＝2×1 －1＝1。综上，在数列{an}中，仅存在连续的三项 a1，a2，a3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数 m 的值为 1. ————————15 分 20．已知函数    sin , lnf x x a x g x x m x    . (1)求证:当 1a  时,对任意    0, , 0x f x   恒成立; (2)求函数  gx的极值; (3)当 1 2a  时,若存在  12, 0,xx  且 12xx ,满足        1 1 2 2f x g x f x g x   ,求证: 12 2 4 9 xx m  . 【详解】 (1)    sin 1 cosf x x a x f x a x    ， 1 cos 1x   ,  1 1 cos 0a f x a x    ， , 10   sinf x x a x 在 0 ， 上为增函数, 所以当  0,x  时,恒有    00f x f成立; ————————4 分 (2)由      ln , 1 0m x mg x x m x g x xxx        当  00m g x，  gx在 上为增函数,无极值 当    0,0 0; 0m x m g x x m g x       ， ， 在 0 m， 上为减函数,在 ,m  上为增函数,  x m x   ，g 有极小值  lnm m m   ,无极大值, 综上知:当  0m g x ， 无极值, 当  0m g x ， 有极小值 ,无极大值. ————————8 分 (3)当  11sin22a f x x x  ， 在 上为增函数, 由(2)知,当 0m  , 在 上为增函数, 这时,    f x g x 在 上为增函数, 所以不可能存在  12, 0,xx  , 满足        1 1 2 2f x g x f x g x   且 12xx 所以有 0m  现不防设        1 2 1 1 2 20 x x f x g x f x g x    ， 得: 1 1 1 2 2 2 112 sin ln 2 sin ln22x x m x x x m x          2 1 2 1 2 1 1ln ln 2 sin sin2m x x x x x x      ① 1 1 2 2sin sinx x x x      2 1 2 1 11sin sin22x x x x     ② 由①②式可得:      2 1 2 1 2 1 1ln ln 2 2m x x x x x x      即    2 1 2 1 3ln ln 02m x x x x     又 1 2 2 1ln ln ,ln ln 0x x x x   11 21 21 3 02 ln ln xxm xx     ③ 又要证 12 2 4 9 xx m  ，即证 2 12 9 4m x x 120,0m x x   即证 11 3 2m x x „„④ 所以由③式知,只需证明: 21 12 21ln ln xx xxxx   即证 2 12 2 1 1 ln 1x xx x x x   设 2 1 1xt x,只需证 1 ln t tt   ,即证:  1 ln 0 1t tt t     令    1 ln 1th t t t t    由         2 1 01 2 t h t t h t tt      ， 在 1 ， 上为增函数,    10h t h   21 12 21ln ln xx xxxx  成立, 所以由③知, 12 3 02m x x   成立, 所以 12 2 4 9 xx m  成立. ————————16 分