★ 保 密
吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第四次调研测试
文科数学
本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条
形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、
笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案
无效。
4. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 设集合,则
A. B. C. D.
2．复数，为虚数单位，则
A． B． C． D．
3．一组数据的众数是，则这组数据的中位数是
A． B． C． D．
4. 函数的图象在处的切线方程为
A． B． C． D．
5. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是
A． B．
C． D．
数学理科第6页（共6页）
6． 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是
A． 1
B． 2
C． 4
D． 7
7. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cōng），周四丈八尺，
高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1
尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取）
A． 704立方尺 B． 2112立方尺 C． 2115立方尺 D．2118立方尺
8． 若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则
A． B． 16 C． D．
9. 在中，内角的对边分别为，，则
A. B. C. D.
10．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）
如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为
A． B． C． D．
数学理科第6页（共6页）
11. 已知正方体的棱长为,点在线段上，且，平面经过
点，则正方体被平面截得的截面面积为
A. B．
C. D．
12. 已知函数，若函数图象
与直线至少有个交点，则的最小值为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知向量，若∥，则实数 .
14．若满足约束条件，则的最小值为．
15. 若，则_____________
16. 如图（1），在圆锥内放两个大小不同且不相切的球,使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，
用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到截口曲线是椭圆。理由如下：如图（2），若两个球分别与截面相切于点，在得到的截口曲线上任取一点，过点作圆锥母线，分别与两球相切于点，由球与圆的几何性质，得所以
，且,由椭圆定义知截口曲线是椭圆，切点为焦点。
这个结论在圆柱中也适用，如图（3），在一个高为，底面半径为的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱所得的截口曲线也为一个椭圆，则该椭圆的离心率为______________
图（1） 图（2） 图（3）
数学理科第6页（共6页）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17.（12分）
在三棱柱中，为的中点.
（1）证明：∥平面；
（2）若，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，
求三棱锥的体积.
18．（12分）
在等差数列中，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为.若，求的值.
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19．（12分）
一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，共抗疫情。每天测量体温也就成为了所有人的一项责任，一般认为成年人腋下温度（单位：）平均在之间即为正常体温，超过即为发热。发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：；高热：；超高热（有生命危险）：.
某位患者因发热，虽排除肺炎，但也于12日至26日住院治疗. 医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午8:00服药，护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下：
抗生素使用情况
没有使用
使用“抗生素A”治疗
使用“抗生素B”治疗
日期
12日
13日
14日
15日
16日
17日
18日
19日
体温（）
38.7
39.4
39.7
40.1
39.9
39.2
38.9
39.0
抗生素使用情况
使用“抗生素C”治疗
没有使用
日期
20日
21日
22日
23日
24日
25日
26日
体温（）
38.4
38.0
37.6
37.1
36.8
36.6
36.3
（1）请你计算住院期间该患者体温不低于的各天体温平均值；
（2）在18日—22日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“项目”的检查，求至少两天在高热体温下做“项目”检查的概率;
（3）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由.
20．（12分）
已知椭圆的短轴的两个端点分别为，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点，设为直线上一点，且直线
的斜率的积为．证明：点在轴上．
数学理科第6页（共6页）
21．（12分）
已知函数，其中为正实数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，求证：
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。
22.（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与交于两点，设直线的斜率分别为, 求的值.
23．（10分）
已知函数．
（1）在平面直角坐标系中作出函数的图象，并解不等式；
（2）若不等式对任意的恒成立，求证：．
数学理科第6页（共6页）
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