★ 保 密
吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第四次调研测试
理科数学
本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条
形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、
笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案
无效。
4. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 设集合，则
A. B. C. D.
2． 复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为
A． B． C． D．
3．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cōng），周四丈八尺，
高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1
尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取）
A． 704立方尺 B． 2112立方尺 C． 2115立方尺 D．2118立方尺
4． 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是
A． 1
B． 2
C． 4
D． 7
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5. 在中，内角的对边分别为，，则
A. B. C. D.
6. 已知函数是偶函数,当时,,则曲线在处的切
线方程为
A. B. C. D.
7． 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）
如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为
A． B． C． D．
8. 已知正方体的棱长为,点在线段上，且，平面经过
点，则正方体被平面截得的截面面积为
A. B．
C. D．
9． 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若
，则的值为
A． B． C． D．
10. 函数的一条对称轴方程为,则
A. B. C. D.
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11． 三棱锥中，平面，,是边上的
一个动点，且直线与面所成角的最大值为则该三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
12．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我国其他地区，
传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治
疗方法，防控难度很大.在中国，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉
市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明
确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一
户、不漏一人.在排查期间，一户口之家被确认为“确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护
人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.
设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了个人
才能确定为“感染高危户”的概率为，当，最大，则=
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 已知随机变量服从正态分布且，则
_____________ .
14．在数列中，，则__________．
15．已知双曲线的一条渐近线为，圆与交于
两点，若是等腰直角三角形，且（其中为坐标原点），则双曲线
的离心率为______________．
16．若函数（为自然对数的底数）在和两处取得极值，且
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，则实数的取值范围是．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17.（12分）
如图,五边形中,四边形为长方形,为边长为的正三角形,将沿折起,使得点在平面上的射影恰好在上.
（1）当时,证明:平面平面;
（2）若,求平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值.
18．（12分）
已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，数列满足：，当，时，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，证明：.
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19．（12分）
体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度（单位：）平均在之间即为正常体温，超过即为发热.发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：；高热：；超高热（有生命危险）：.
某位患者因发热于12日至26日住院治疗. 医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午8:00服药，护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下：
抗生素使用情况
没有使用
使用“抗生素A”治疗
使用“抗生素B”治疗
日期
12日
13日
14日
15日
16日
17日
18日
19日
体温（）
38.7
39.4
39.7
40.1
39.9
39.2
38.9
39.0
抗生素使用情况
使用“抗生素C”治疗
没有使用
日期
20日
21日
22日
23日
24日
25日
26日
体温（）
38.4
38.0
37.6
37.1
36.8
36.6
36.3
（1）请你计算住院期间该患者体温不低于的各天体温平均值；
（2）在19日—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“项目”的检查，记为高热体温下做“项目”检查的天数，试求的分布列与数学期望；
（3）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由.
20．（12分）
已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为．
（1）若，点在椭圆上，分别为椭圆的两个焦点，求的范围；
（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
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（3）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线斜率；若不能，说明理由．
21．（12分）
已知，函数.
（1）判断极值点的个数；
（2）若是函数的两个极值点，证明：.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。
22.（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与交于两点，设直线的斜率分别为, 求的值.
23．（10分）
已知函数．
（1）在平面直角坐标系中作出函数的图象，并解不等式；
（2）若不等式对任意的恒成立，求证：．
数学理科第7页（共6页）
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