南平市2019—2020学年高中毕业班第三次综合质量检测理科数学试卷.pdf

南平市2019—2020学年高中毕业班第三次综合质量检测 理科数学试题答案及评分参考 说明：‎ ‎1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ ‎2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ ‎3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．‎ ‎（1）B （2）A （3）C （4）D （5） C （6）A ‎（7）A （8）B （9）C （10）A （11）D （12）B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．‎ ‎（13） （14） （15） （16） ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎ ‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ （1） 解：因为，‎ 所以， ………………2分 两式相减得 ………………4分 又把代入已知得，从而 ………………5分 ‎（2） ……………6分 …………7分 ‎ ‎ 理科数学参考答案 第9页（共9页）‎ ‎ ……………8分 设 则， …………………9分 相减得，‎ ‎， …………………11分 所以 …………………12分 ‎ (18) （本小题满分12分）‎ （1） 证明：取的中点为，在中，，所以……1分 又，所以 ………………2分 平面，，所以平面 ………………3分 从而，………………4分，‎ 所以在中，由及的中点为，得………………5分 （2） 由四边形为正方形，得,‎ 由为正三角形，得，所以 ‎ 又由（1）知，所以为正三棱锥 ‎ ‎ 过点作平面，则为正的中心，取上靠近点的三等分点为，则两两垂直，分别以射线为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，‎ 理科数学参考答案 第9页（共9页）‎ ‎，‎ ‎，，………………………6分 ‎,‎ 设平面的法向量，则，取，得………………8分 设平面的法向量，则，‎ 所以，取，得 ………………………10分 ‎，………………………11分 设二面角为，因为为钝角，所以，‎ 即所求的二面角的余弦值为 ………………………12分 理科数学参考答案 第9页（共9页）‎ ‎(19) （本小题满分12分）‎ ‎（1）因为，，‎ 所以 因为，所以与具有很强的线性相关关系……………………… 2分 由题意知，，，………4分，‎ 关于的线性回归方程为 ………6分 ‎2020年1月对应的是，则 即预测公司2020年1月（即时）的利润为230万元；………7分 ‎（2）由频率估计概率，型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.15，0.4，0.35，0.1.‎ 理科数学参考答案 第9页（共9页）‎ 所以型材料利润的数学期望为(万元)；……9分 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2‎ 型材料利润的数学期望为 ‎(万元)；……11分 ‎，故应该采购型材料．…………………………………12分 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 解: 解析：（1）椭圆的离心率为，且过点.‎ 所以，解得………………3分 所以椭圆的标准方程为………………4分 ‎（2）由（1）知以为直径的圆的方程为 又直线与该圆相切，所以，即 由得………………6分 因为直线与椭圆交于不同的两点，所以 设 理科数学参考答案 第9页（共9页）‎ 则 ‎，………………8分 依题意，所以 ‎…………..10分 设则；‎ ‎，关于在上单调递增，………….11分 所以△面积的取值范围是……………..12分 ‎(21) （本小题满分12分）‎ ‎（1）.…………………1分 ‎①当时，在区间单调递减；在区间单调递增.‎ ‎②当时，令，，，‎ 则在区间单调递增；在区间和 单调递减.………3分 ‎③当时，令，，恒成立，则在上单调递减；‎ 综上，当时，在区间单调递减；在区间单调递增，‎ 理科数学参考答案 第9页（共9页）‎ 当时，在区间单调递增；在区间和 单调递减；‎ 当时，在上单调递减. ……………5分 ‎（2）由（1）知，当时，在区间单调递减；在区间单调递增.‎ 则函数没有极大值，‎ 当时，在上单调递减. 则函数没有极大值，…………………7分 只有当时，在区间单调递增；在区间和 单调递减，…………………8分 要证明，即证：‎ 令，，…………………9分 设，则， ，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ ‎∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值. ‎ 的最小值是成立，…………………11分 从而，，即. ……………12分 法二：令，则，由，得，‎ 当时，，当时，，‎ 所以当时，，即…………………9分 理科数学参考答案 第9页（共9页）‎ 令，则，，得，‎ 当时，，当时，，‎ 所以当时，，即…………………10分 所以，等号不能同时成立，即，即 即…………………12分 法三：令，则，由，得，‎ 当时，，当时，，‎ 所以当时，，即…………………9分 令，则，，得，‎ 当时，，当时，，‎ 所以当时，，…………………10分 等号不能同时成立，即，‎ 即，即 即…………………12分 ‎（22）（本小题满分10分）‎ 解：（1）曲线的极坐标方程化为， ，‎ 曲线的直角坐标方程为. ………………………3分 直线的普通方程为. ………………………5分 ‎（2）射线的极坐标方程为，，则，射线 理科数学参考答案 第9页（共9页）‎ 的极坐标方程为，，则，…7分 由得，，解得：………………8分 ‎ 故 ……………………10分 ‎23.解： （1）当时, 原不等式化简为,即； ……………1分 当时, 原不等式化简为,恒成立，即； ……………2分 当时, 原不等式化简为,即. ………………3分 综上,原不等式的解集. ………………5分 ‎（2）当时，均为正数，‎ ‎++++ …………8分 ‎ …………10分 理科数学参考答案 第9页（共9页）‎