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数学（文科类）模拟测试（答案） 第 1 页(共 7 页) 2020 年沈阳市高中三年级教学质量监测（三） 数 学（文科）【答案与评分标准】 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D A A A D 题号 7 8 9 10 11 12 答案 D C B A C B 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 29 14． 75 24 + 15． ( e,1) 16． 7 2 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 解：（1）当 2n 时， 1n 21−= − = − +nna S S n p， ……2 分 当 1=n 时， 111= = +a S p ，也满足 n 21= − +a n p ， 故 n 21= − +a n p ． ……4 分 （2）∵ 4a ， 7a ， 12a 成等比数列， 2 4 12 7=a a a ， ……6 分 ∴( )( ) ( )27 23 13+ + = +p p p ，∴ 2=p ， ∴ n 21=+an． ……8 分 （2）由（1）可得 ( )( )1 111 1 12 1 2 22 3 2 1 2 3+ = + = + = + − + + + +n nn b a a n n n n ， ……10 分 数学（文科类）模拟测试（答案） 第 2 页(共 7 页) ∴ 21 1 1 1 1 1 1 6 11 2 1 2 3 1 3 5 5 7 3 2 3 6 9 += + − + − ++ − = + − =+ + + +n nnT n nn n n n ． ……12 分 18．（本小题满分 12 分） 解：（1） 5 4(40 ), 40 200, 40 x x xy x − − =   ，即 9 160, 40 200, 40 xxy x −=   ． ……4 分 （2）根据（1）中函数关系完成统计表如下： 日销售量 25 30 35 40 45 50 频数 10 16 28 24 14 8 获得利润 65 110 155 200 200 200 所以获利不低于 150 元的概率为 10 161 0.74100P += − = ． ……8 分 【如果不写出各销售量所获得的利润不给分】 （3） 10 16 28 24 14 865 110 155 200 ( ) 159.5100 100 100 100 100 100 +  +  +  + + = ， 所以快餐店每天平均利润为159.5元． ……12 分 19．（ 本小题满分 12 分） 解：（1）在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， 因为 11BC ⊥ 平面 11AA B B ， BE  平面 ， 所以 11B C BE⊥ ， ……2 分 又 1BE EC⊥ ， 1 1 1 1B C EC C= ， 且 1EC  平面 11EB C ， 11BC 平面 11EB C ， 所以 BE ⊥平面 11EB C ； ……4 分 又因为 BE  平面 BCE ， 所以平面CBE ⊥平面 11EB C ． ……6 分 （2）设长方体侧棱长为 2a ，则 1AE A E a==， 由（1）可得 1EB BE⊥ ；所以 2 2 2 11EB BE BB+=，即 22 12BE BB= ， 又 2AB = ，所以 2 2 2 122AE AB BB+=，解得 2a = ． ……8 分 取 1BB 中点 F ，连结 EF ，因为 1AE A E= ，则 EF AB ， 所以 EF ⊥ 平面 11BB C C ， ……9 分 A C D 1A 1B 1C 1D E B F数学（文科类）模拟测试（答案） 第 3 页(共 7 页) 所以四棱锥 11E BB C C− 的体积为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 82423 3 2 3 2 3C EBC E BCC BCCV V S EF BC BB EF−−= =  =    =     = ． ……12 分 20．（本小题满分 12 分） 解：（1）易知 3 6( 2, )3−P ， 4 6(2, )3P 关于 y 轴对称，一定都在椭圆上． 所以 1(2, 3)P 一定不在椭圆上．根据题意 2 (0, 2)P 也在椭圆上． ……2 分 将 ， 带入椭圆方程，解得椭圆方程为 22 162 xy+=．……4 分 （II）设直线l 方程为 ( 2)y k x=+（ 0k  ）， ( )11,P x y ， ( )22,Q x y ，PQ 的中点为 N ． 联立 22 162 ( 2) xy y k x  +=  =+ ，可得( )2 2 2 23 1 12 12 6 0k x k x k+ + − =+ ． 则 2 12 2 12 31+ = − + kxx k ， 2 12 2 12 6 31 −= + kxx k ， ……6 分 所以 2 12 2 6 2 3 1 += = − +N xx kx k ， 2 22 62( 2)3 1 3 1= − + =++N kkykkk ， N 坐标为 2 22 62,3 1 3 1 −++ kk kk ， 2 2 2 2 6 1| | 1 31 +=+ + kPQ k k 2 2 2 6( 1) 31 += + k k ． ……8 分 PQ 垂直平分线方程为： 2 22 2 1 6()3 1 3 1− = − +++ kkyxk k k ， 令 0x = ，求得 2 4 31 ky k −= + ，则 2 4 | |||31 kOD k= + ， ……10 分 所以 ||PQ OD 2 2 2 4 | | 31 2 6( 1) 31 k k k k + += + 26( 1) 6 1(| | ) 62 | | 2 | | k kkk++= =  ． 因此，当 1||||k k= ，即 1=k 时， ||PQ OD 最小值为 6 ． ……12 分 数学（文科类）模拟测试（答案） 第 4 页(共 7 页) 21．（本小题满分 12 分） 解：（1） '( ) xf x e m=−， ……1 分 ①当 0m  时， '( ) 0fx ，此时 ()fx在 R 上单调递增，无极值； ②当 0m  时，由 '( ) 0fx= ，得 lnxm= ． 所以 ( ,ln )xm − 时， '( ) 0fx ， ()fx单调递减； (ln , )xm + 时， '( ) 0fx ， 单调递增． ……3 分 此时函数有极小值为 (ln ) lnf m m m m=− ，无极大值． ……4 分 （2）方法一： 由题设可得 12( ) ( )f x f x m= = − ，所以 1 2 1 2 ( 1) ( 1) x x e m x e m x  =−  =− ， ……5 分 且由（1）可知 1 lnxm ， 2 lnxm ， 2em  ． 由 1 1( 1)xe m x=−，可知 1 10x − ，所以 120 1 1 1xx −   − ． 设 211 ( 1)x x t− = − + （ 0t  ），由 2 1 2 1 1 1 x x xe ex −= − ，得 1 1 ( 1)e 1 t xt x −+= − ， 所以 1 1 e1t tx −= − ， 即 1 1e1t tx =+− ， 所以 2 e 1e1 t t tx =+− ， ……6 分 124xx+ e 2e 1 e 1 t tt tt+−− e 2e 2tttt+  − 2e e 2 0tttt− − −  ． 设 ( ) 2e e 2tth t t t= − − − （ 0t  ）， ……8 分 则 '( ) e e 1tth t t= − − ， 设 ( ) '( ) e e 1ttg t h t t= = − − ，则 '( ) etg t t=− ，所以 '( ) 0gt ． 所以 '( )ht在 (0, )+ 单调递减， '( ) '(0) 1 0 1 0h t h = − − = ． ……10 分 所以 ()ht 在 单调递减， ( ) (0) 2 0 0 2 0h t g = − − − = ． ……11 分 所以 124xx+． ……12 分 数学（文科类）模拟测试（答案） 第 5 页(共 7 页) 方法二： 由题设可得 12( ) ( )f x f x m= = − ，所以 1 2 1 2 ( 1) ( 1) x x e m x e m x  =−  =− ， ……5 分 且由（1）可知 1 lnxm ， 2 lnxm ， 2em  ． 由 1 1( 1)xe m x=−，可知 1 10x − ，所以 120 1 1 1xx −   − ． 由 ，得 11 22 ln ln( 1) ln ln( 1) x m x x m x = + −  = + − ， ……6 分 作差得 2 21 1 1ln 1 x xxx − =−− 设 211 ( 1)x t x− = − （ 1t  ），由 ，得 1ln ( 1)( 1)t t x= − − ， 所以 1 ln1 1 tx t−=− ，即 1 ln 11 tx t=+− ， 所以 2 ln 11 ttx t=+− ， ……8 分 124xx+ ln ln 211 t t t tt+−− ( 1)ln 21 tt t + − 4ln 2 01t t+ − + ． 设 4( ) ln 21h t t t= + −+ （ 1t  ）， ……9 分 则 2 2 ( 1)'( ) 0( 1) tht tt −=+ ． 所以 ()ht 在 (0, )+ 单调递增， ( ) (1) 0 2 2 0h t h = + − = ． ……11 分 所以 124xx+． ……12 分 （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分． 22．【选修 4-4 坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 解：（1）设 P 的极坐标为( , ) （ 0  ）， M 的极坐标为 0( , )（ 0 0  ）． ……1 分 由题设知||PO = ， 0 2|| sinOM  == ． 由 PO OM | || | cosPO OM=| || |PO OM=− 4=− ， ……3 分 得 2 4sin   = ， 数学（文科类）模拟测试（答案） 第 6 页(共 7 页) 所以 2C 的极坐标方程 2sin= （ 0  ）， 因此 2C 的直角坐标方程为 22( 1) 1xy+ − = （ 0y  ）． ……5 分 （2）依题意： 1| | 2sin 33OA  = = = ， 2| | 2sinOB == ． ……6 分 于是△OAB 面积： S 1 | || | sin2 OA OB AOB=3sin | sin( ) |3=− 31| sin(2 ) |2 6 2 −=+． ……８分 当 2 3 = 时， S 取得最大值 33 4 ． ……9 分 所以△OAB 面积的最大值为 33 4 ． ……10 分 23．【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 解：（1）当 2 2 2abc= = = 时，不等式 ( ) 3fx 化为 1 1 1xx− − +  ，……1 分 当 1x − 时，原不等式化为1 +1+ 1xx−，解集为； 当 11x−   时，原不等式化为1 1 1xx− − −  ，解得 1 12 x−   ； 当 1x  时，原不等式化为 1 1 1xx− − −  ，解得 1x  ． ……4 分 ∴不等式 的解集为 1 ,+2 − ． ……5 分 （2）因为 ( )f x x b x c a= − − + + ( ) ( )x c x b a + − − + b c a= + + ， 又因为 , , 0abc ，所以 ( )max 2f x a b c= + + = ． ……6 分 方法一： 1 4 9 ()abca b c + + + + 4 9 4 914 ( ) ( ) ( )b a c a c b a b a c b c= + + + + + + 4 9 4 914 2 2 2b a c a c b a b a c b c +  +  +  36= ， ……9 分 当且仅当 4 9 4 9 2 b a c a c b a b a c b c abc  = = =  + + = 且 且 ，即 2 3 2 3 2 b a c a c b abc = = =  + + = 且 且 即 12, , 133a b c= = = 等号成立． ……10 分 数学（文科类）模拟测试（答案） 第 7 页(共 7 页) 方法二： 1 4 9 ()abca b c + + + + 2 2 21 2 3 abc      = + +           ( ) ( ) ( )2 2 2 abc++ 21 2 3a b c a b c   +  +  36= ， ……9 分 当且仅当 1 2 3 2 abc abc  ==  + + = ，即 12, , 133a b c= = = 等号成立． ……10 分