2020.6.10理数答案.docx

高三数学（理） 第 1页(共 6页) 高三数学（理） 第 2页(共 6页) 密 封 线 学 校 班 级 姓 名 学 号 密 封 线 内 不 得 答 题 太原五中 2019—2020 学年度第二学期 6 月模拟考试（一） 高 三 数 学（理） 命题、校对：李小丽 薛亚云 (2020.6.10) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个正确选项。 1. 已知集合 什 ಥנּô悔נּ ሻ悔נּ ሻ ， 什 ಥሼôנּ ሼ 什 1. 则 A ∩ B 什 悔    ሻ A. [ 3, 3] B. [ ,] C. [ ,] D. ⌀ . 设 z = a + bi 且 a、b ∈ R，“z 是纯虚数”是“a = 0”的(    ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若双曲线 ሼ נּ 什 1悔 ሻ 的一条渐近线与直线 ሼ 什 1 3 נּ 垂直，则此双曲线的实 轴长为 悔    ሻ A. 18 B. 9 C. 6 D. 3 . 已知方程 xx 211ln  的根为x0，且 נּ 悔݇,݇ 1ሻ ， ݇ ，则 k 什 悔 ሻA. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知某线性规划问题的约束条件是 ሼ נּ, 3ሼ נּ, נּ ሼ , 则下列目标函数中，在点 悔3,1ሻ 处取 得最小值的是 悔    ሻA. 什 נּ ሼ B. 什 נּ ሼ C. 什 1 נּ ሼ D. 什 נּ ሼ . 把 9 个完全相同的口罩分给 6 名同学，每人至少一个，不同的分法有 悔 ሻ 种 A. 41 B. 56 C. 156 D. 252 7. 如图所示，用一边长为 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成 一个蛋巢，将体积为 3 的鸡蛋 悔 视为球体 ሻ 放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋 悔 球 体 ሻ 离蛋巢底面的最短距离为 悔 ሻ A. 1 B. 1 C. 1 D. 31 8. 已知 α 悔π, 3 πሻ ， sinα 什 1 cosα ，则 tan α 什 悔    ሻA. 1 5 B. 1 5 C. 1 5 D. 1 5 . 设 f(x)，g(x)分别为定义在 [ π,π] 上的奇函数和偶函数，且 悔נּሻ ሻ悔נּሻ 什 נּ ݃נּ悔 为自然对数的底数 ሻ ，则函数 y = f(x) − g(x)的图象大致为 悔    ሻ A. B. C. D. 1. 如图是正态分布 N悔,1ሻ 的正态曲线图，下面 4 个式子中，等于图中阴影部分面积 的式子的个数为 悔    ሻ 注： 悔ሻ 什 悔 ሻ ①  a 2 1 ②  a 1 ③   2 1 a ④     aa  2 1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4高三数学（理） 第 3页(共 6页) 高三数学（理） 第 4页(共 6页) 密 封 线 内 不 得 答 题 11. 如图所示，在△ ABC 中，AD = DB，点 F 在线段 CD 上，设AB = a ，AC = b ， AF = xa + yb ，则 1 נּ ሼ1 的最小值为 悔    ሻ A. B. 3 C. D. 3 1. 设 f′(x)是函数 悔נּሻ悔נּ ሻ 的导函数，且满足 悔נּሻ 悔נּሻ נּ ，若在△ ABC 中，∠A 为钝角，则下列不等式一定成立的是 悔    ሻA. f(sinA)sin2B < f(sinB)sin2A B. f(sinC)sin2B < f(sinB)sin2C C. f( − cosA)sin2B > f(sinB)cos2A D. f(cosC)sin2B > f(sinB)cos2C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 5 3 被 7 除后的余数为______． 1. 若顶点在原点的抛物线经过三个点 悔 ,1ሻ ， 悔1,ሻ ， 悔,ሻ 中的 2 个点，则满足要 求的抛物线的标准方程有______． 15. 如图，在棱长为 2 的正方体 ೃ忀 11ೃ1忀1 中，E，F，G 分别是棱 AB，BC， ೃೃ1 的中点，P 是底面 ABCD 内一动点．若直线 忀1 与平面 EFG 不存在公共点， 设直线 忀1 与直线 ೃ1ೃ 所成角为θ，则 cosθ的取值范围是________. 1. △ ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.且 ݅悔 ೃሻ 什 3 ， 若 AC 边上的中线 BM 的长为 2，则△ ABC 面积的最大值为__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） 如图所示的多面体 ABCDEF 满足：正方形 ABCD 与正三角形 FBC 所在的两个平面互相 垂直， 且 什 ． 悔1ሻ 证明：平面 EFD ⊥ 平面 ABFE； 悔ሻ 求二面角 E FD C 的余弦值． 18. （12 分） 设各项均为正数的数列 ಥ 的前 n 项和为Sn，已知 1 什 1 ，且 1 1 什 1 ，对一切 n N 都成立． 悔1ሻ 当 什 1 时，证明数列 ಥ 1 是常数列，并求数列 ಥ 的通项公式； 悔ሻ 是否存在实数 ，使数列 ಥ 是等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，说明理 由． 19. （12 分） 已知椭圆 C： נּ ሼ 什 1悔 ሻ 经过点（ 3，1），离心率为 3 ． 悔1ሻ 求椭圆 C 的方程； 悔ሻ 过点 悔,ሻ 的直线交椭圆于 A，B 两点，若 什 ，在线段 AB 上取点 D，使 得 忀 什 忀 ．求证：点 D 在定直线上．高三数学（理） 第 5页(共 6页) 高三数学（理） 第 6页(共 6页) 密 封 线 学 校 班 级 姓 名 学 号 密 封 线 内 不 得 答 题 20. （12 分） 为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造．为了对比技术改造 后的效果，采集了生产线的技术改造前后各 20 次连续正常运行的时间长度(单位：天) 数据，并绘制了如茎叶图： 悔1ሻ悔 Ⅰ ሻ 设所采集的 40 个连续正常运行时间的中位数 m，并将连续正常运行时间超过 m 和不超过 m 的次数填入下面的列联表： 超过 m 不超过 m 改造前 改造后 悔 Ⅱ ሻ 根据 悔 Ⅰ ሻ 中的列联表，能否有 % 的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行 时间有差异？ 附：K2 = n(ad bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ， P(K2 k) .5 .1 .1k 3.81 .35 1.88 (2) 工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、 保障维护费两种．对生产线设定维护周期为 T 天(即从开工运行到第 kT 天(k N )进行 维护．生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维 护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则 产生保障维护费．经测算，正常维护费为 0.5 万元/次；保障维护费第一次为 0.2 万元/ 周期，此后每增加一次则保障维护费增加 0.2 万元．现制定生产线一个生产周期(以 120 天计)内的维护方案： 什 3 ， 4,3,2,1k . 以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周 期内生产维护费的分布列． 21.（12 分） 已知函数 悔נּሻ 什 נּ נּ1 的两个零点记为 נּ1 ， נּ ． 悔1ሻ 求 a 的取值范围； 悔ሻ 证明： ôנּ1 נּô 1 ． （二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做第 一题记分. 22．（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 נּ 什 3 㐱 ሼ 什 3㐱 悔 其中 t 为参数)，以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 A 的极坐标为 悔, π ሻ ，直线 l 经过点 A.曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin2 θ = 4cos θ ． 悔1ሻ 求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； 悔ሻ 过点 P悔 3,ሻ 作直线 l 的垂线交曲线 C 于 D，E 两点(D 在 x 轴上方)，求 1 ôPDô 1 ôPEô的值． 23．（10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f(x) = |x a| + |x + b|(a > 0,b > 0)． 悔1ሻ 当 a 什 b 什 1 时，解不等式 f(x) < x + 2； 悔ሻ 若 f(x)的值域为 [3, ∞ሻ ，证明： 悔1ሻ 8 ．