2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 1页（共 9 页）
a
b a b
O
B
A
2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷理数参考答案
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案 C A B C C D D B D A B B
2.【解析】 0,3UA B
3.【解析】∵ lny x 在 0 +， 内是增函数,∴ ln ln ，即 ln ln ,∴ ln ln 0 .
选项 B 正确.
4.【 解 析 】∵ 2 1nS n n ，∴数 列 na 是 公 差 为 4 的 等 差 数 列，∵ 4k l ，
∴ k la a 4 4 16
5.【解析】∵ 3 sin 0x x ，∴ 0x ，排除 A；∵ 0f x f x ,∴ f x 为奇函数，
排除 D,∵ 3
1 0f e
排除 B，故选 C.
6.【 解 析 】 由 上 表 知 ： 17.5, 39x z ,∵ lnz c kx 回 归 直 线 经 过 样 本 中 心, ∴
39 ln 4 17.5c ，即 ln 109c ,∴ 109c e
7.【解析】由 2 a a b ，得出 ,a b 夹角，进而求出 a 与 b a 的夹角，
或利用几何意构造三角形，解三角形.由已知得： 2 a a b ，
∴ 0 a a b ， 如 图 ， 令 OA
a ， OB
b ， 则 BA
a b , ∵ 0 a a b ，
∴ BA OB ，又∵ 2a b ,∴ 30OAB ，故 a 与 b a 的夹角为150 .
8.【解析】若 ABC 是锐角三角形，则
2A C ，即 02 2A C ，
∴ sin sin 2A C
， 即 sin cosA C ， 同 理 sin cosA B ， 反 之 不 成 立 ， 如
90 , 30A B 时，sin cosA C ，但 ABC 是直角三角形，∴ p 是 q 的充分不必要条件.
9.【解析】根据题意，现有 6 根算筹，可以表示的数字组合为
(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(3,3),(3,7),(4,6),(6,8),(7,7), 其 中 数 字 组 合
(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(3,7),(4,6),(6,8),中，每组可以表示 2 个两位数，分别为
15,51,19,91,24,42, 28,82, 37,73,46， 64,68,86， 共 2 7 14 个 两 位 数 ； 数 字 组 合
(3,3) ,(7,7)，只能表示 33,77 这 2 个两位数，故一共可以表示12 4 16 个两位数；其中
能被 3 整除的数是 15,51,24,42,33 这 5 个，故所求概率为 5
16
．2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 2页（共 9 页）
N
M O
30
x
y
3
3
1
O
10.【解析】据题意 9 810 2 9 2 2 2 1S , 10 9 22 10 2 9 2 2 2 1 2S
两式错位相减，得 10 9 8 1010 2 2 2 2 1 9 2 1S
11.【解析】如图，该圆台侧面展开图中三角形OMN ，
1, 3, 30OM ON MON ，∴ min 1MN .
12.【解析】设 ,( )M x y ，由
1 22| | | |MF MF 可得 2 2 2 2( ) [ 2) ]2 2 (x y x y ，
整理得 2 26 3) 2(x y ，即点 M 在以 (6,0) 为圆心， 4 2 为半径的圆上．
又 点 2F 到 双 曲 线 C 的 渐 近 线 的 距 离 为 b ， ∴ 当 双 曲 线 C 的 渐 近 线 与 圆
2 26 3) 2(x y 相切时， b 取得最大值，此时 2
64 2
b ，解得 4 2
3b ．
∴ 32 24 9 3a ，故 42 3a .
13.【答案】 0,3 【解析】画出可行域如图所示，其中直线 3 0x y z
与直线 3 3 0x y 平行，∴ z 取得最小值时， x 的取值范围是 0,3 .
14.【答案】13【解析】原二项式可化为
4 4 3 2
2 2 1 2 2 2 3 2
4 4 4
1 1 1 1 11 1x x C x C x C xx x x x x
，
由于二项式的展开式 2 2 2 3
1
1 1
r
rr n r r n r
r n nT C x C xx
，
令 2 3n r ，则当 3n 时， 2r ，此时对应的项是 2 2
31 3C ，
∴常数项的系数为3 4 1 13 .
15.【答案】 21n 【解析】法一：不完全归纳 1 0a ， 2 1a ， 3 4a ， 4 9a ， ，
21na n ,法二：转化为等差数列,∵ na 是单调递增数列，且 1 0a ,∴ 14 0n na a ，
∴ 1 11 2n n n na a a a ，即 2
1 1n na a ,∴ 1 1n na a ，即数列 na 是
首项为 0 公差为1的等差数列，∴ 1na n ，即 21na n .
M
N2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 3页（共 9 页）
16. 【答案】②④【解析】∵ f x 的图象关于直线 1x 对称,∴ 1 1f 或 1 0f ，
①错误；∵ 2 是半周期的整数倍，于是 4 是 f x 的一个周期，②正确；∵对于任意 , ，
0f x ，∴不存在 , 使 f x 为奇函数，③错误； 0 sin sinf
sin cos cos sin cos 或 sin ，于是 0f 的所有可能取值
是 20, ,12
，④正确.
17.【解析】（1）由正弦定理，可得 sin sinc A a C ，则有 5sin cos 6a C a C
∴ 3 1sin cos sin2 2C C C ， ∴ tan 3C
∵ 0,C ，∴ 120C …………………………………………………………6 分
（2）令 A ， 0 ,60 ，
由题意 ACD ， 2BDC ， 60ABC ， 120BCD
在 BCD 中，
sin sin
BD CD
BCD ABC
，
则
2 1
sin 120 sin 60
∴ 3 1 3 12 cos sin cos sin2 2 2 2
，
得 3 3cos sin2 2
∴ 3tan 3 ，即 30 ，∴ 60BDC ，
∴ BCD 的面积为 1 31 2sin 602 2 . …………………………………………12 分2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 4页（共 9 页）
18.【解析】（1）∵ ,E F 分别为 ,AD BC 的中点，∴ EF AB CD∥ ∥
∵ AB AD ，∴ EF AE ， EF DE
∵ 2AD AE ， AE DE
∴ 2 2 2AE DE AD
∴ DE EF
∴ DE 平面 ABFE
∵ DE 平面CDEF
∴平面CDEF 平面 ABFE ………………………………………………………4 分
（2）由（1）知， , ,AE DE EF 两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，令 1AE
则 0,0,1D ， 1,0,0A ， 1,1,0B ， 30, ,02F
， 0,2,1C ，………………6 分
1,1, 1DB
， 30, , 12DF
， 11, ,02FB
， 10, ,12FC
设平面 BDF 的法向量为 m , ,x y z ，
则 0
0
DB
DF
m
m
，即
0
3 2 0
x y z
y z
，
令 2y ，则 3, 1z x
∴平面 BDF 的一个法向量为 m 1,2,3 …………………………………………8 分
设平面 BCF 的法向量为 n , ,x y z ，
则 0
0
FB
FC
n
n
，即
2 0
2 0
x y
y z
，
令 1z ，则 2, 1y x
∴平面 BCF 的一个法向量为 n 1,2, 1 ………………………………………10 分
∴ cos , m nm n m n
2 21
2114 6
∵二面角C BF D 为锐二面角，设为 ，∴ 21cos 21 . ……………………12 分
x
y
z2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 5页（共 9 页）
19.【解析】法一：（1）∵
1PQF 的周长为8 ，∴ 4 8a ， 2a ………………………2 分
∵ 1 2PF F 面积的最大值为 2，∴ 1 2 22 c b ，即 2c b ，
又∵ 2 2 2 4b c a ，∴ 2b c ， 2 4a ，………………………………………… 4 分
故椭圆 C 的方程为
2 2
14 2
x y …………………………………………………… 5 分
（2）由（1）得 2 ( 2,0)F ，由题知设直线 l 的方程为 2x ty ，
代入
2 2
14 2
x y 消去 x 整理得： 2 2( 2) 2 2 2 0t y ty ，………………………………6 分
设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，则
1 2 2
1 2 2
0
2 2
2
2
2
ty y t
y y t
， ……………………………………………8 分
记直线 ,PA QA的斜率分别为 ,PA QAk k ，则
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2( )
2 2 2 2 2 2 ( 2)( 2)PA QA
y y y y ty y y yk k
x x ty ty ty ty
2 2
1 2
4 4( )2 2 0
( 2)( 2)
t t
t t
ty ty
…………………………………………………………11 分
∴ PA QAk k ，因此 APQ 内切圆的圆心在 x 轴上．………………………………………12 分
法二:（1）同解法一
（2）由（1）得 2 ( 2,0)F ，
若直线 2PF 与 x 轴垂直，由椭圆的对称性易得直线 PA 与直线QA 关于 x 轴对称.
若直线 2PF 与 x 轴不垂直，设直线 2PF 的方程为 ( 2)y k x ，
代入
2 2
14 2
x y 消去 y 整理得： 2 2 2 2(2 1) 4 2 4 4 0k x k x k ，……………………6 分
得 2 2 2 2 2( 4 2 ) 4(2 1)(4 4) 16 16 0k k k k ，……………………………………7 分
设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，则
2
1 2 2
2
1 2 2
4 2
2 1
4 4
2 1
kx x k
kx x k
，………………………………………………8 分
记直线 ,PA QA的斜率分别为 ,PA QAk k ，则2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 6页（共 9 页）
1 2 1 2
1 2 1 2
( 2) ( 2)
2 2 2 2 2 2 2 2PA QA
y y k x k xk k
x x x x
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2
[( 2)( 2 2) ( 2)( 2 2)] [2 3 2( ) 8]
( 2 2)( 2 2) ( 2 2)( 2 2)
k x x x x k x x x x
x x x x
2 2
2 2
1 2
8 8 24[ 8]2 1 2 1 0
( 2 2)( 2 2)
k kk k k
x x
……………………………………………………………11 分
∴ PA QAk k ，因此 APQ 内切圆的圆心在 x 轴上.………………………………………12 分
20.【解析】（1）由题意，可得石榴销售量在101 600 kg 之间的天数为15，
频率 15 3
20 4f ，故可估计概率为 3
4
， ……………………………………………1 分
显然未来 4 天中，石榴销售重量在101 600 kg 之间的天数服从二项分布，
即 34 4X B
～ ， ，
故所求概率为
4
0
4
3 2551 0 1 1 4 256P X C
. ……………………………4 分
（2）①样本中估计该销售点销售每千克石榴的价格的平均值为
15 50 18 80 18 70 16 80 18 120 20 100 17.78 18500
（元）
故估计该销售点销售每千克石榴的价格的平均值为18元. ………………………………6 分
②该石榴销售点应该裁员1人，理由如下：
根据题意及（2）①，销售量每增加1kg ，代办点快递收入增加18（元），
若不裁员，则每日销售量的上限为1500kg ，销售点每日销售量情况如下：
重量范围（单位：kg ） 0 100 101 300 301 600 601 900 901 1500
重量（单位： kg ） 50 200 450 800 1250
天数（单位：天） 1 5 10 3 1
频率 0.05 0.25 0.50 0.15 0.05
EY 50 0.05 200 0.25 450 0.5 800 0.15 1250 0.05 460 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 7页（共 9 页）
故销售点平均每日利润的期望值为 1460 18 5 280 13603 （元）；………………8 分
若裁员1人，则每日销售量的上限为1200kg ，销售点每日销售量情况如下：
重量范围（单位： kg ） 0 100 101 300 301 600 601 1200
重量（单位： kg ） 50 200 450 800
天数（单位：天） 1 5 10 4
频率 0.05 0.25 0.50 0.20
EY 50 0.05 200 0.25 450 0.5 800 0.2 437.5
故销售点平均每日利润的期望值为 1437.5 18 4 280 15053 （元）；……………10 分
∵1360 1505 ，故该销售点应该裁减工作人员1人. …………………………………12 分
21.【解析】（1） 21 12
xf x e x kx 定义域为 R ，
则 xf x e x k ，
令 xg x e x k ， 1xg x e
令 0g x ，则 0x
∴ ,0x ， 0g x ， f x 单调递减， 0,x ， 0g x ， f x 单调递增
0 1 0minf x f k ，∵ 0kf k e ，∴ 0 0f k f
由零点存在定理知： f x 在 ,0k 内存在唯一零点，
即 f x 在 ,0 存在唯一极值点，设为 1x
∵当 1x x 时， 0f x ， f x 单调递增
当 1 0x x 时， 0f x ， f x 单调递减
∴ 1x 是 f x 的极大值点 …………………………………………………………………3 分
2kf k e k ，令 2 , 1xu x e x x ，则 2xu x e
O
y
x2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 8页（共 9 页）
∴ 11 2 0u x u e ，∴ u x 在 1, 上单调递增
∴ 1 2 0u x u e ，即 0f k ，∴ 0 0f k f
由零点存在定理知： f x 在 0,k 内存在唯一零点，
即 f x 在 0, 存在唯一极值点，设为 2x
∵当 20 x x 时， 0f x ， f x 单调递减
当 2x x 时， 0f x ， f x 单调递增
∴ 2x 是 f x 的极小值点，∴ f x 有两个极值点；
综上：当 1k 时， f x 有两个极值点；…………………………………………………6 分
（2）由（1）可知，当 1k 时， 0 1 0minf x f k ，
∴ 0f x ，且 0f x 的解为有限个不连续，∴ f x 在 R 上单调递增
∵ 0 0f ，∴ f x 有且仅有一个零点
∵ f x 不止一个零点，故 1k
当 1k 时，由（1）可知， 1 20, 0x x ，
1 2, , ,x x x 时， f x 单调递增， 1 2,x x x 时， f x 单调递减
∵ 0 0f ，∴ 1 20, 0f x f x
2 2 22 1 0, 2 4 1k kf k e f k e k
令 2 22 4 1kh k f k e k ，则 22 8kh k e k ， 24 8 0kh k e
∴ h k 在 1, 上单调递增，
∵ h k 为连续函数，∴ 21 2 8 0h k h e ，∴ h k 在 1, 上单调递增，
∵ h k 为连续函数，∴ 21 5 0h k h e ，即 2 0f k
又∵ 0 0f ，∴ 1 22 , , ,2b k x a x k ， 8 2 2 4a b k k k
∴ 2k . ……………………………………………………………………………………12 分2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 9页（共 9 页）
22.【解析】（1） cos , sinx y 代入方程 2 2 8 | |x y x y ，
得 2 8 cos sin ，即： 2 8
1 cos sin ； ……………………………5 分
（2）法一：极坐标方程：
当 cos 0 时， 2 8 16 161 cos sin 2 sin 2
，即 4
当 cos 0 时， 2 8 16 161 cos sin 2 sin 2
，即 4
∴曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 4 .
法二：直角坐标方程：
由 2 2 8x y x y 得，
2 2
2 2 8 2
x yx y ，解得 2 2 16x y ，
∴曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 4 . …………………………………………10 分
23.【解析】（1）当 2a 时，
2 , 0
0, 0 2
4 2 , 2
x x
f x x
x x
，由 0f x 得，0 2x ；…5 分
（2） 1 max ,H x f x g x 的最小值 6A a ，
2 min ,H x f x g x 的最大值 2B a
∴ 4A B ……………………………………………………………10 分
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