2020汕头市第二次模拟文科数学-评分细则.pdf

数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 1 页 共 10 页 2020 年汕头市普通高考第二次模拟考试试题及答案 文科数学试题参考答案及评分标准 评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有 较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D C B B C D C D C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．6 14． 4 5 15．1 16． 3 28 填空题评分细则：1.第 13、15 题必须与参考答案完全相同分别得 5 分，否则得 0 分； 2. 第 14 题答案是 4 5 或 0.8 都得 5 分，否则得 0 分； 3. 第 16 题答案是 或 28 3  或 28 3 得 5 分，否则得 0 分. 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解：（1）证明：由 1( ) ( )nng b f b  得： 1 21nnbb ………………………1 分 1 1 2( 1)nnbb    ………………………………………………………………2 分 ()nna f b 1 1 1( ) 2 1a f b b    又 1 1a  1 0b ……………………………………………………………3 分 1 1 1 0b    10nb   ……………………4 分 (这 1 分是给说明接下去的分母不为 0) 1 1 21 n n b b   数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 10 页  数列 1nb  是等比数列，首项为 1 11b ，公比为 2……………………5 分 【本小题若是得出递推关系 1 21nnbb （1 分），再通过列举出 nb ，进而得 1nb （2 分）， 猜想是等比数列（3 分）】 （2）由（1）知： 112n nb  121n nb      2 1 2 1n n n na f b b      (2 1) (2 1) 2 (2 1)n nnc n a n n       …………………………………………6 分 令 2 3 11 2 3 2 5 2 (2 3) 2 (2 1) 2nn nA n n             ， 1 3 5 (2 1)nBn      ，则 2,n n n nB n T A B   …………………7 分（这 1 分是 给计算出 nB 的前 n 项和） 2 3 1 2 3 4 1 1 2 3 2 5 2 (2 3) 2 (2 1) 2 2 1 2 3 2 5 2 (2 3) 2 (2 1) 2 nn n nn n A n n A n n                             ………8 分 两式相减得：  2 3 12 2 2 2 2 (2 1) 2nn nAn         …………………………………9 分 21 1222 2 (2 1) 212 n nn        …………………………………………10 分 16 (2 3) 2nn      1(2 3) 2 6n nAn      …………………………………………………………11 分 12(2 3) 2 6n n n nT A B n n        …………………………………………12 分 18.(1)证明 1：过点 M 作 ACME  交 AC 于点 E ，连接 EN ， -- - - -1 分 PA 平面 ABC ， AC 平面 ABC ACPA  在平面 PAC 内， //PA ME -- - - -2 分 AC AE PC PM  ， 211 22  ABPCANPM ， AC AE AB AN  BCNE // -- - - -4 分 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 10 页 090ACB ACNE  ，又 ENEME  AC 平面 MNE ，且 MN 平面  MNAC  （要出现 平面 ，并得到结论） -- - - -5 分 证法 2： ()AC MN AC MP PA AN     ----------------------------------------------------2 分 AC MP AC PA AC AN      cos135 cos90 cos45AC MP AC PA AC AN       --------------3 分 221 2 ( ) 0 1 222aa        0 ------------------------------------------------------------------------------------------4 分 AC MN ，即 AC MN ------------------------------------------------------------------------5 分 (2)解：设点 B 到平面CMN 的距离为 h ，由（1）可知 PAME // ， ME 平面 ABC ， -- - - -6 分 又由 BCNMCMNB VV   得 CMN BCN S MESh    -- - - -7 分  2 ABPC ， )10(2  aaANPM ，且 2 1a NM, 分别为 ABPC, 的中点 2 1ME ， 4 1112 1 2 1 2 1   ABCBCN SS -- - - -8 分 在直角 MEN 中， 2 2)2 1()2 1( 2222  NEMEMN 2 2 2 1  ABCN ， 2 2 2 1  PCCM （MN,CN,CM 算出一个 1 分）-- - - -10 分 CMN 为等边三角形，即 8 360sin)2 2(2 1 02 CMNS -- - - -11 分 3 3 8 3 2 1 4 1   h ，即点 到平面 的距离为 3 3 -- - - -12 分 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 4 页 共 10 页 19.【解析】（1） 生产时间 [60,70） [70,80） [80,90） [90,100） 频数 4 8 18 10 （说明：每填对两个得 1 分.） （说明：画对一个得 1 分.） （2）试从饼图中估计第二种生产方式的平均数为 5.7505.0952.0855.07525.065  min （说明：列式 1 分，答案 1 分。） （3）从频率分布直方图中估计第一种生产方式的平均数为 5.8325.09545.0852.0751.065  min （说明：列式 1 分，答案 1 分。） 从平均数的角度发现：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方 式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟．因此第二种生产方式的效率更高． （说明：只要能从平均数的角度进行比较，即可给 2 分。） 20．解：解：(1)依题意有： PN PQ ..............................................................1 分  2 6 2 3PM PN PM PQ MN      ...................................2 分  点 P 的轨迹是以 ,MN为焦点，长轴长为 26的椭圆.............................3 分 频率/组距 生产时间 60 70 80 90 100 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 ......................................................2 分 ..........................8 分 ....................6 分 .......................12 分 ..........................10 分 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 10 页 设椭圆的方程为 22 221( 0)xy abab    ，则 3,2 2 6ca 226, 6 3 3a b a c       ..............................4 分  所求轨迹 C 的方程为 22 163 xy．...............5 分 （没有第 4 分步骤，从第 3 分就到第 5 分直接把方程写对不扣分） (2)圆 E 的方程为 222xy ,设 O 为坐标原点， ①当直线 l 的斜率不存在时，不妨设直线 AB 方程为 2x ，则 ( 2, 2), ( 2, 2)AB ， 所以 =0OA OB ，所以 2AOB ， 即 AB 为直径的圆过坐标原点；............................................................................6 分 ②当直线l 的斜率存在时，设其方程设为 y kx m ，设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 因为直线与相关圆相切， 所以 2 22 211 m md kk 2222mk，..................................7 分 联立方程组 22 163 y kx m xy   得 222( ) 6x kx m , 即 2 2 2(1 2 ) 4 2 6 0k x kmx m ，.........................................8 分 2 2 2 2 2 2 2 16 4(1 2 )(2 6) 8(6 3) 8(4 1) 0 k m k m k m k ， 2 1 2 1 222 4 2 6 1 2 1 2 km mx x x xkk     ， ，.................................9 分（没有出现判别式不扣分） 22 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 22 (1 ) ( ) (1 )(2 6) 4 1 2 1 2 x x y y k x x km x x m k m k m mkk           ， 22 2 3 6 6 012 mk k ， …………………….10 分 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 6 页 共 10 页 OA OB ，…………………………11 分 所以以 AB 为直径的圆恒过坐标原点O 综上①②可知以 为直径的圆恒过坐标原点 ..............................12 分 21.（1）解：依题意有： ( ) sin ,xh x e x ax x R    '( ) cosxh x e x a    ……………………………………………………………………1 分 ()hx在 0, 单调递增 '( ) 0hx对  0,x  恒成立 即： cos 0xe x a   对 恒成立 (*) ……………………………………2 分 令 ( ) cos , 0xx e x a x     ，则 '( ) sinxx e x  当  0,x  时， 1, 1 sin 1, sin 0, '( ) 0xxe x e x x          ()x 在 0, 单调递增…………………………………………………………………3 分 min( ) (0) 2xa    min(*) ( ) 0,x   即： 2 0,a解得： 2a  故，  ,2a  ……………………………………………………………………………5 分 （2）当 1 2a  时，要证：当 0x  时，   2 11 2 ( ) () gx fx  . 即要证：当 时， 2( 2sin 1) 1xx x e   ……………………………………………6 分 构造函数：   2( ) 2sin 1 ,( 0)xF x x x e x    ，则 22 2 '( ) (1 2cos ) 2( 2sin 1) (3 2 4sin 2cos ) 7 xx x F x x e x x e x x x e           分 先证：当 0x  时， sinxx 要证： ，即要证： sin 0xx 构造函数： ( ) sin ,( 0)x x x x    ，则 '( ) 1 cosxx  当  0,x  时， 1 cos 1x   ，1 cos 0x， '( ) 0x 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 7 页 共 10 页  ()x 在 0, 单调递增. ( ) (0) 0x   ，即： sin 0xx sinxx ………………………………………………………………………………9 分 2 22 '( ) (3 2 4sin 2cos ) [3 2(sin cos )] [3 2 2sin( )] 0 104 x xx F x x x x e x x e x e              分 ()Fx 在 0, 单调递增.  11 分   0( ) 0 1F x F e    ,即：当 0x  时， 2( 2sin 1) 1xx x e   故，原不等式得证明. 12 分 22．解：（1）依题意，由曲线C 的参数方程: 2cos 3sin x y      （ 为参数）， 得 cos ,sin23 xy……………………1 分 由 22cos sin 1消参得曲线 的方程： 22 149 xy ……………………2 分 由 2 2 2xy ， cosx  ， siny  ， ………………………3 分 得直线l 的直角坐标方程为 2 6 0xy   ……………………………4 分 （2）方法 1： l 与 x 轴、 y 轴分别交于 ,AB两点，则  3,0A  0,6B ，……………5 分 即 35AB  ……………………………………6 分 设C 上的点  2cos ,3sinP ，则点 P 到直线 的距离为 4cos 3sin 6 5 d  ………………………………7 分  5cos 6 5  （注：此处写 5 6)sin(5  也正确）……………………………8 分  cos 1当 时, min 5 5d 得 …………………………………9 分 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 8 页 共 10 页 （注：此处若是上一步第二个结论 5 6)sin(5  ,则应为“当 1)sin(  时”） PAB 面积的最小值 min min 1 1 5 3352 2 5 2S AB d     ……………………10 分 方法:2： l 与 x 轴、 y 轴分别交于 ,AB两点，则  3,0A  0,6B ，……………5 分 即 35AB  ……………………………………6 分 设 的平行直线为 :m )6(02  ccyx ， 联立      194 02 22 yx cyx 消去 y 可得： 03641625 22  ccxx ，………………………7 分 当直线 m 与曲线C 相切时 03600144 2  c ，解得 5c 经检验可知当 5c 且 P 为切点时， PAB 的面积最小………………………8 分 此时 与 的距离 5 5 12 )6(5 22   d ………………………9 分 面积的最小值为 2 3 5 5532 1 2 1 min  dABS ………………………10 分 方法 3： 设 )sin,cosP （ ，易知 P 在第一象限时符合 ……………5 分 OPBOPAOABPAB S-S-SS   ……………6 分 PNOB2 1-PMOA2 1-632 1  cos262 1sin332 19  α α ）α（ cos4sin32 39  φ ）（α  sin2 159 ……………9 分 1sin φ ）（α当 ， 2 3 2 159S minPAB  ）（ ……………10 分 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 9 页 共 10 页 23．解：(1)法 1：要证 11 ab ab   ， 即证 1a b ab   ，…………………………………………........................1 分 即证 22( ) (1 )a b ab   ，………………………………………….......................2 分 即证 22( 1) (1 ) 0ab    ，…………………………………………........................3 分 ∵ 221ab， ∴ 2211ab， ，…………………………………………........................4 分 ∴ 22( 1) (1 ) 0ab    ， 故原不等式成立.  ……………………………………………………........................5 分 法 2：要证 ， 即证 ，…………………………………………........................1 分 即证 ，………………………………………….......................2 分 即证 2222 212 baabbaba  ……………………………………......................3 分 ∵ ，∴ 220 ba ，…………………………………………......................4 分 显然成立，故原不等式成立………………………………………….......................5 分 (2).法 1： 0ab baabbababa 334433 ))((  …………………..... …….......................6 分 4334 2 babbaa  …………………………..... …….......7 分 1)( 222  ba ……....……....…………...........................8 分 ∴当 22 22a b a b    或 时等号成立 ……....……....…………...........................9 分 ))(( 33 baba  的最小值为 1 . ……....……....…………...................................10 分 法 2： baabbababa 334433 ))((  .......................6 分 baabbaba 3322222 2)(  .......................7 分 )2()( 22222 babaabba  数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 10 页 共 10 页 2)(1 baab  0ab 1)(1 2  baab .......................8 分 当且仅当 2 2 ba 时等号成立 ........................9 分 ))(( 33 baba  的最小值为 1. ........................10 分 法 3：（a+b）(a³+b³)=（a+b）（a+b）（a²+b²-ab）………………….............6 分 =（a²+b²+2ab）（a²+b²-ab） =（1+2ab）（1-ab） =1+ab-2a²b²…………………………….......................7 分 ∵a²+b²≥2ab ∴ab≤ 2 1 …………………………….......................8 分 令 ab=t 原式=1+t-2t²，t∈     2 10， …………………………….......................9 分 当 t＝ 时，原式有最小值 1…………………………….......................10 分 法 4： 0ab ， 221ab ∴由柯西不等式得 )()())(( 3333 babababa  ])()[(])()[( 232322 baba  .......................6 分 233 )( bbaa  ......................7 分 1)( 222  ba ........................8 分 当且仅当 时等号成立 ........................9 分 的最小值为 1. ........................10 分 法 5：令 a=sinθ ，b=cosθ ， …………………………….......................6 分 (a+b)(a³+b³)=（sinθ +cosθ ）(sin³θ +cos³θ ) =（1+2sinθ cosθ ）（1-sinθ cosθ ）……………………….............7 分 =（ 2sin1 ）（ 2 sin2-1  ） =  2sin2 12sin2 1-1 2  ……………………………......................8 分 ∵a.b＞0∴Sin2θ ＞0 ∴sin2θ ∈（0,1] ……………………………..................9 分 ∴当 sin2θ =1 时，原不等式有最小值为 1……………………………...................10 分