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【G-020】数学(理科)试卷 　 第 1　　　　 页(共 4 页) 姓名 　 座位号 (在此卷上答题无效) 数　 学(理科) 本试卷共 4 页,23 题(含选考题)。 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。考生注意事项: 1. 答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置。 2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效。 4. 选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。 答案写在答题卡上 对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5. 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. i 是虚数单位,在复平面内,复数 z 对应点与复数 1-i 对应的点关于虚轴对称,则 z i = A. 1+i　 　 　 　 　 　 B. 1-i　 　 　 　 　 　 C. -1+i　 　 　 　 　 　 D. -1-i 2. 设集合 U= 0,1,2,3,4 { } ,A= 0,1,2,3 { } ,B = 1,2,4 { } ,则 A∩(∁U B)= A. 0,3 { } B. 1,3 { } C. 1 { } D. 0 { } 3. 已知 α,β∈R,且 α>β>0,则 A. tanα-tanβ>0 B. lnα-lnβ>0 C. tanα+tanβ>0 D. lnα+lnβ>0 4. 数列 an{ } 的前 n 项和 Sn =n 2n-1 ( ) ,若 k-l= 4(k,l∈N+ ),则 ak -al = A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5. 函数 f x( ) =ln x +x2 x3 +sinx 的图象大致为 x y 2 -2 π-π O x y 2 -2 π-π O x y 2 -2 π -π Ox y 2 -2 π-π O A. B. C. D. 6. 已知变量 x,y 的关系可以用模型 y =c·e kx 拟合,设 z=lny,其变换后得到一组数据如下: x 16 17 18 19z 50 34 41 31 由上表可得线性回归方程 z^ = -4x+a^ ,则 c= A. -4 B. e -4 C. 109 D. e 109【G-020】数学(理科)试卷 　 第 2　　　　 页(共 4 页) 7. 不共线向量 a,b 满足 a = 2 b ,且 b2 =a·b,则 a 与 b-a 的夹角为 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 8. 在△ABC 中,p:△ABC 是锐角三角形,q:sinA>cosC,则 p 是 q 的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木 棍. 如图,是利用算筹表示数 1~9 的一种方法. 例如:3 可表示为“≡”,26 可表示为“ = ⊥”. 现有 6 根 算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用 1~9 这 9 个数字表示两位数中,能被 3 整除的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A. 5 18 B. 7 18 C. 7 16 D. 5 16 !" !" # $ i n=1, =10 S=10 i≤ ？9 S S=2 n i=10- S S n= + i i= +1 '(S 10. 如右图所示的程序框图,输出的结果为 A. 9×2 10 +1 B. 10×2 10 +1 C. 9×2 9 +1 D. 10×2 9 +1 A B11. 圆台上底面和下底面圆的周长分别为2π 3 和2 3 π 3 ,母线长为 3 -1,三视图如图 所示. 圆台表面上的点 M 在主视图上的对应点为 A,圆台表面上的点 N 在侧视 图上的对应点为 B,则在此圆台的侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度 为 A. 3 2 B. 1 C. 2 D. 5 2 12. 双曲线 C: x2 a2 - y2 b2 = 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F 1(-2,0),F 2(2,0),若双曲线 C 的渐近线上存 在点 M 满足| MF 1 | = 2 | MF 2 | ,则双曲线 C 的实轴长的最小值为 A. 2 3 B. 4 3 C. 4 2 3 D. 8 2 3 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 已知实数 x,y 满足 x+3y-3≥0 x+y-3≤0 x≥0 ì î í ïï ïï ,则目标函数 z=x+3y 取得最小值时,x 的取值范围是 . 14. x2 - 1x +1( ) 4 的展开式中常数项是 . 15. 已知单调递增数列 an{ } 满足 a 1 = 0, an+1 +an -1 ( ) 2 = 4an+1 ·an n∈N∗( ) ,则 an = . 16. 设函数 f x( ) = sin ωx+φ( ) ω>0 ( ) 的图象关于直线 x = 1 和 x = -1 均对称,下述四个结论:①f( -1)= 1;②4 是 f x( ) 的一个周期;③存在 ω,φ 使 f(x)为奇函数;④f 0 ( ) 的值可能为 0, 2 2 ,1. 其中正确的结 论是 . (把所有正确结论的序号均填上)【G-020】数学(理科)试卷 　 第 3　　　　 页(共 4 页) 三. 解答题:共 70 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 17-21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答。 第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17. (12 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 csinA=acos 5π 6 -C( ) . (1)求 C; (2)D 是线段 AB 上靠近 A 点的三等分点,且 DA=DC = 1,求△BCD 的面积. 18. (12 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,AD = CD = 2AB,E,F 分别为 AD,BC 的中点,若沿着 EF 折叠使得 AD= 2 AE,如图 2 所示,连结 BC. A B CD E F A B E F CD !1 !2 (1)求证:平面 CDEF⊥平面 ABFE; (2)求二面角 C-BF-D 的余弦值. 19. (12 分) 已知椭圆 C: x2 a2 + y2 b2 = 1(a>b>0),F 1 ,F 2 分别为椭圆 C 的左、右焦点,过 F 2 且与 x 轴不重合的直线 l 交 C 于 P,Q 两点,△PQF 1 的周长为 8,△PF 1 F 2 面积的最大值为 2. (1)求 C 的方程; (2)点 A(2 2 ,0),证明:△APQ 内切圆的圆心在 x 轴上.【G-020】数学(理科)试卷 　 第 4　　　　 页(共 4 页) 20. (12 分) 石榴(Punicagranatum)原名“安石榴”,果实酸甜各异,是温带、亚热带稀有水果之一. 自古就有“九 州之奇树,天下之名果”、“多籽丽人”的美称. 石榴原产伊朗中亚地区,秦汉时期,通过“丝绸之路”引入 我国,已有两千多年的栽培历史,我国南北各地均有小流域的栽培,共有 100 多个品种. 金秋十月,怀远 石榴成熟. 不同品种的石榴价格及某石榴销售点根据以往各种石榴日销量的统计如下表: 种类 软籽 硬籽 红玛瑙 白花玉石籽 红花玉石籽 红玛瑙 白花玉石籽 红花玉石籽 售价(单位:元/ kg) 15 18 18 16 18 20日销量(单位:kg) 50 80 70 80 120 100 此销售点对去年同一时间的 20 天,每天到该销售点要求订购石榴数量统计如下表: 重量范围(单位:kg) 0~100 101~300 301~600 601~900 901~1500重量(单位:kg) 50 200 450 800 1250天数(单位:天) 1 5 10 3 1 以上数据已做近似处理,将频率视为概率. (1)计算此石榴销售点未来 4 天内至少有 1 天石榴销售重量在 101~600kg 之间的概率; (2)①估计该销售点销售每千克石榴的价格的平均值(精确到元);②根据以往的经验,该销售点只 有销售额的三分之一作为销售点员工的工资和销售点的利润,其余的费用是其它各项消费. 目前该销售 点有员工 5 人,每人每天销售石榴不超过 300kg,日工资 280 元. 该销售点正在考虑每日利润的数学期望 决定是否将员工裁减 1 人,若你是决策者,是否裁减工作人员 1 人. 21. (12 分) 已知函数 f x( ) =e x - 1 2 x2 -kx-1 k∈R( ) . (1)当 k>1 时,讨论 f x( ) 极值点的个数; (2)若 a,b 分别为 f(x)的最大零点和最小零点,当 a-b≥8 时,求证:k>2. (二)选考题:共 10 分。 请考生在第 22、23 题中任选一题做答。 如果多做,则按所做的第一题计分。 22. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】(10 分) 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线 C:x2 +y2 = 8+| x | y 就是其中之一(如图). x y O (1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程; (2)求证:曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 4. 23. 【选修 4-5:不等式选讲】(10 分) 已知函数 f x( ) =a- x - x-2 ,g x( ) = 4 9 x-4 ( ) 2 +a-6. (1)当 a = 2 时,求不等式 f x( ) ≥0 的解集; (2)设 H 1 x( ) =max f x( ) ,g x( ){ } ,H 2 x( ) =min f x( ) ,g x( ){ } ,记 H 1 x( ) 的最小值为 A,H 2 x( ) 的最大值 为 B,求 A-B. (max p,q{ } 表示 p,q 中的较大值,min p,q{ } 表示 p,q 中的较小值. )