皖江名校联盟2020届高三最后一卷文科数学试题PDF版含答案.pdf

【G-020】数学(文科)试卷 　 第 1　　　　 页(共 4 页) 姓名 　 座位号 (在此卷上答题无效) 数　 学(文科) 本试卷共 4 页,23 题(含选考题)。 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。考生注意事项: 1. 答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置。 2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效。 4. 选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。 答案写在答题卡上 对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5. 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. i 是虚数单位,复数 3+i 1-3i = A. 1　 　 　 　 　 　 　 B. i　 　 　 　 　 　 　 C. -1　 　 　 　 　 　 　 D. -i 2. 设集合 U= 0,1,2,3,4 { } ,A= 0,1,2,3 { } ,B = 1,2,4 { } ,则 A∩(∁U B)= A. 0,3 { } B. 1,3 { } C. 1 { } D. 0 { } 3. 已知 α,β∈R,且 α>β>0,则 A. tanα-tanβ>0 B. lnα-lnβ>0 C. tanα+tanβ>0 D. lnα+lnβ>0 4. 由 y = f( x) 的图象向右平移 π 3 个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到 y =sin x- π 6 ( ) 的图象,则 f(x)= A. cos2x B. sin 1 2 x C. cos 1 2 x+ π 6 ( ) D. sin 2x+ π 6 ( ) 5. 函数 f x( ) =ln x +x2 x3 +sinx 的图象大致为 x y 2 -2 π-π O x y 2 -2 π-π O x y 2 -2 π -π Ox y 2 -2 π-π O A. B. C. D.【G-020】数学(文科)试卷 　 第 2　　　　 页(共 4 页) ". . % 19 9 23 8 0. % 45 10 3. % 67 . % 23 0 89#. :;< . %5 2 =>?> @ . % 14 5 ABCD ?EF . %8 5 GHI J . %9 3 ()#. ?;< . %1 3 ! . %0 6 "#$ 1 6. % %& 1 7. % %' . %2 5 () . %3 8 *+ . %2 5 ,-. . %1 9 /" . %2 0 0+ . %1 2 ()1+ . %2 1 6. 据国家统计局发布的数据,2019 年 11 月全国 CPI(居民消费 价格指数),同比上涨 4. 5%,CPI 上涨的主要因素是猪肉价 格的上涨,猪肉加上其他畜肉影响 CPI 上涨 3. 27 个百分点. 下图是 2019 年 11 月 CPI 一篮子商品权重,根据该图,下列 结论错误的是 A. 猪肉在 CPI 一篮子商品中所占权重约为 2. 5% B. CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住 C. 猪肉与其他畜肉在 CPI 一篮子商品中所占权重约为 0. 18% D. CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过 50% 7. 已知 P 为椭圆 C: x2 a2 + y2 b2 = 1(a>b>0)上任意一点,F 为椭圆 C 的右焦点,则以 | PF | 为直径的圆与以椭 圆 C 的长轴为直径的圆的公切线的条数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 !" !" # $ i n=1, =10 S=10 i≤ ？9 S S=2 n i=10- S S n= + i i= +1 '(S 8. 不共线向量 a,b 满足 a = 2 b ,且 b2 =a·b,则 a 与 b-a 的夹角为 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 9. 在△ABC 中,p:△ABC 是锐角三角形,q:sinA>cosC,则 p 是 q 的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 如右图所示程序框图,输出的结果为 A. 9×2 10 +1 B. 10×2 10 +1 C. 9×2 9 +1 D. 10×2 9 +1 11. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 bcosC = 2ccosB,c= 4,且△ABC 的面 积为 6 3 ,则 B = A. π 6 B. π 4 C. π 6 或 π 3 D. π 4 或 π 2 12. 三棱椎 S-ABC 的底面 ABC 是等腰直角三角形,∠ABC = 90°,且 SA = SC = AC = 2 ,SB = 3 ,则三棱椎 S-ABC 外接球表面积为 A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 已知命题 p:∀x∈ 0, π 2 ( ) ,x-sinx≥0,则౑ p 为 . 14. 已知实数 x,y 满足 x+3y-3≥0 x+y-3≤0 x≥0 ì î í ïï ïï ,则目标函数 z=x+3y 取得最小值时,x 的取值范围是 . 15. 已知 F 是双曲线 C: x2 5 - y2 4 = 1 的一个焦点,点 P 在双曲线 C 的渐近线上,O 为坐标原点,若 | OP | = | OF | ,则△OPF 的面积为 . 16. 近日,教育部对外公布普通高中课程方案和语文等学科课程标准(2017 年版 2020 年修订),方案显 示,普通高中应增设劳动课程,共 6 个学分,为必修,其中包括志愿服务,某教育主管部门特为此举办 了一次有关劳动教育方面的知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.【G-020】数学(文科)试卷 　 第 3　　　　 页(共 4 页) 甲:我的成绩比乙高;乙:丙的成绩比我和甲的都高;丙:我的成绩比乙高,成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为 . 三. 解答题:共 70 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 17-21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答。 第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17. (12 分) 已知数列 an{ } 为等差数列,数列 bn{ } 满足 bn = 2 an ,若 b 1 = 32,b 2 = 16. (1)求数列 an{ } 和数列 bn{ } 的通项公式; (2)设数列{tbn } t>0 ( ) 前 n 项积为 Sn ,若当且仅当 n = 6 时,Sn 取得最大值,求实数 t 的取值范围. 18. (12 分) 如图所示,在矩形 ABCD 中,CD= 2CB = 2CE,将△DAE 沿 AE 折起至△PAE 的位置,使得 PA⊥PB. A B CD E P A B CE(1)求证:PA⊥BE; (2)若 CB = 2,求点 C 到平面 PAE 的距离. 19. (12 分) 樱桃以富含维生素 C 而闻名于世,是世界公认的“天然 VC 之王”和“生命之果”. 樱桃原产于热带美 洲西印度群岛加勒比海地区,花期 3-4 月,果期 5-6 月. 我国栽培樱桃始于 19 世纪 70 年代,现在南北各 地均有栽培,共有近 200 个品种. 某种植基地栽培了红灯、红密、黄蜜和龙冠四个品种的樱桃,去年该基 地销售各品种樱桃的价格及日销售量的统计如下表: 种类 红灯 红密 黄蜜 龙冠 售价(单位:元/ 千克) 15 18 18 20日销售量(单位:千克) 50 100 80 70 该基地通过网络平台和实体店进行”线上”和”线下”销售,基地对去年同一时间的 20 天,每天通过”线 上”和”线下”销售的樱桃数量统计如下表: 重量范围(单位:千克) 0~100 101~300 301~600 601~900销售方式 线上 线下 线上 线下 线上 线下 线上 线下 重量(单位:千克) 50 30 120 100 300 150 500 300天数(单位:天) 1 3 7 9 10 7 2 1 　 　 (1)估计该基地销售每千克樱桃的价格的平均值(精确到元); (2)①分别计算未来某天内”线上”和”线下”樱桃销售量不小于 150 千克的概率;②利用分层抽样 的方法,从”线上”和”线下”单日销售量不少于 150 千克的日期内选出 5 天进行专项调研,再从这 5 天 内随机选出 3 天,由当日的销售人员进行销售经验交流,计算至多有一天是”线下”的概率.【G-020】数学(文科)试卷 　 第 4　　　　 页(共 4 页) 20. (12 分) 已知抛物线 C:x2 = 2py p>0 ( ) 的焦点为 F,过 F 点的直线 l 交 C 于 A,B(其中 B 在 y 轴右侧)两点,当 直线 l 平行于 x 轴时,C 在点 B 处的切线方程为 y = a-1 ( ) x-1. (1)求 a 的值及抛物线 C 的方程; (2)若直线 m 与 C 交于 M,N 两点,且 MN = 6a,当以 MN 为直径的圆与抛物线 C 的准线相切时,求直线 m 的方程. 21. (12 分) 已知定义在 0,+[ ) 上的函数 f x( ) = 1 e 2x -1,g x( ) =x-2sinx. (1)若 f x( ) 的最大值为 a,g x( ) 的最小值为 b,比较 a,b 的大小; (2)证明:f x( ) ≤g x( ) . (二)选考题:共 10 分。 请考生在第 22、23 题中任选一题做答。 如果多做,则按所做的第一题计分。 22. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】(10 分) 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线 C:x2 +y2 = 8+| x | y 就是其中之一(如图). x y O (1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程; (2)求证:曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 4. 23. 【选修 4-5:不等式选讲】(10 分) 已知函数 f x( ) =a- x - x-2 ,g x( ) = 4 9 x-4 ( ) 2 +a-6. (1)当 a = 2 时,求不等式 f x( ) ≥0 的解集; (2)设 H 1 x( ) =max f x( ) ,g x( ){ } ,H 2 x( ) =min f x( ) ,g x( ){ } ,记 H 1 x( ) 的最小值为 A,H 2 x( ) 的最大值 为 B,求 A-B. (max p,q{ } 表示 p,q 中的较大值,min p,q{ } 表示 p,q 中的较小值. ) 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·文数参考答案 第 1 页（共 7 页） 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷文数参考答案 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B A B A C C D D B A C B 1.【解析】  133 1 3 1 3 iii iii   . 2.【解析】    0,3UAB 3.【解析】∵ lnyx 在 0+， 内是增函数，∴ ln ln ，即 ln ln ∴ ln ln 0.选项 B 正确. 4.【解析】 1 321sin sin 266y x y x                向左平移 个单位横坐标缩短到原来的 21sin 2 sin 2 sin 23 6 3 6 2y x x x                           cos2x ， 即 ( ) cos 2f x x ． 5.【解析】∵ 3 sin 0xx，∴ 0x  ，排除 A；∵     0f x f x   ，∴  fx为奇函数， 排除 D，∵ 3 1 0f e  排除 B，故选 C. 6.【解析】猪肉在 CPI 一篮子商品中所占权重约为 2.5%，选项 A 正确；CPI 一篮子商品中， 居住所占权重为 23.0%，最大，选项 B 正确；猪肉与其他畜肉在 CPI 一篮子商品中所占权重 约为 4.6%，选项 C 错误，故选 C；吃穿住所占权重为 19.9%+8.0%+23.0%=50.9%>50%，选项 D 正确. 7.【解析】如图，设椭圆左右顶点分别为 12,AA,左焦点为 1F ，线 段 PF 的中点为 M,连接 1PF ,OM,则 O 为以长轴为直径的圆的圆心， M 为以 PF 为 直 径 的 圆 的 圆 心 ， 在 1FPF 中，中位线 22 1 2 | | | |1| | | |2 2 2 a PF PFOM PF a    ，即 OM 为半径之差，两圆相内切，因而只有 1 条公切线。 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·文数参考答案 第 2 页（共 7 页） a b ab O B A 8.【解析】由 2 a a b ，得出 ,ab夹角，进而求出a 与 ba的夹 角，或利用几何意构 造三角形，解三角形.由已知得： 2 a a b ，∴   0  a a b ， 如图， 令OA  a ，OB  b ，则 BA ab，∵   0  a a b ， ∴ BA OB ， 又∵ 2ab，∴ 30OAB，故a 与 ba的夹角为150 . 9. 【 解 析 】 若 ABC 是 锐 角 三 角 形 ， 则 2AC  ， 即 022AC    ，∴ sin sin2AC ， 即 sin cosAC ， 同理sin cosAB ，反之不成立，如 90 , 30AB时，sin cosAC ，但 ABC 是直角三角形，∴ p 是 q 的充分不必要条件. 10.【解析】根据题意 9810 2 9 2 2 2 1S         ， 10 9 22 10 2 9 2 2 2 1 2S          ，两式错位相减， 得  10 9 8 1010 2 2 2 2 1 9 2 1S           . 11.【解析】∵ cos cosa b C c B，∴ 3 cos 12cosa c B B， 1 sin 24sin cos 12sin 2 6 32ABCS ac B B B B      ∴ 3sin 2 2B  ， ∵  2 0 ,360B ，∴ 2 60B  或 2 120B  ，∴ 30B  或 60B  12.【解析】由题意知，可以把三棱锥 S ABC 按如图所示的 位置放到棱长为 1 的正方体中，则正方体的体对角线长为 3l  ， ∴三棱椎 S ABC 外接球表面积为 234π( ) 3π.2  13.【答案】 π0, , sin 02x x x    . 14.【答案】 0,3 【解析】画出可行域如图所示， 其中直线 30x y z   与直线 3 3 0xy   平行， ∴ z 取得最小值时， x 的取值范围是 0,3 . x y 3 3 1 O 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·文数参考答案 第 3 页（共 7 页） 15.【答案】3【解析】不妨设 F 为右焦点， 00( , )P x y 在第一象限，即在直线 25 5yx ， 依题意，| | | | 3OP OF，解得 0 2y  ，从而 OPF△ 的面积为 1 3 2 32    . 16.【答案】甲、乙、丙【解析】若结果为甲、丙、乙，则甲、乙的判断正确，不符合题意； 若结果为丙、甲、乙，则甲、乙、丙三人的判断都正确，不符合题意；若结果为丙、乙、甲， 则乙、丙的判断正确，不符合题意；若结果为乙、甲、丙或乙、丙、甲，则甲、乙、丙三人 的判断都错误，不符合题意. 17.【解析】（1）设等差数列{}na 的公差为 d . ∵ 2 na nb  ， 1 32b  ， 2 16b  ，……………………………………………………………2 分 ∴ 122 32 2 16aa， ，得 125 4, 1a a d   ， . ………………………………………4 分 ∴ 66 , 2 n nna n b    . ………………………………………………………………6 分 （2）∵ 62 n nb  ，∴ 62 n ntb t  ∴数列{}ntb 是等比数列. …………………………………………………………………8 分 ∵当且仅当 6n  时， nS 取得最大值 ∴ 6 7 1 1 tb tb     ，∴ 1 2 1 1 t t     ，∴12t . ∴实数t 的取值范围 12tt . ……………………………………………………12 分 18. 【解析】（1）证明：在矩形 ABCD 中， DCAD  ， PEPA  ， 又 PBPA  ， PPBPE  ， PB PE PBE， 平面 PBEPA 平面 ， BEPA  …………………………………………………5 分 （2）法一:设点C 到 PAE平面 的距离为 d . 422  CECBCD 22222222 4 ABCBBCCEDEADBEAE  A B CE P H 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·文数参考答案 第 4 页（共 7 页） BEAE  ， APAAE  ， PAEPAAE 平面，  ， PAEBE 平面 . ………8 分 ABCEPAE 平面平面  ，过 P 作 PH 垂直 AE 于点 H ，则 ABCEPH 平面 PEPA  的中点为AEH 2CB 24222  PAABCEADPEBEAE ，，， ， 2AH . 1 2 2 22ACES     ， 1 2 22233P ACEV      ………………………………9 分 2222 1 PAES ……………………………………………………………10 分 1 23C PAEVd     22 3P ACEV   ……………………………………………11 分 2d ………………………………………………………………12 分 法二: 设点C 到 PAE平面 的距离为 d . 422  CECBCD 2 2 2 2 2 2 2 24AE BE AD DE CE BC CB AB        BEAE  ， APAAE  ， PAEPAAE 平面，  ， PAEBE 平面 …………………………………………………………8 分 取 AB 中点为 F ，过 F 作 BEFG // 交 AE 于G ，连接 FC ∴ FG 平面 PAE ………………………………………………………10 分 由已知得 FG AE∥ ， 1 22d FG BE   …………………………………………12 分 注:其他方法酌情给分. 19. 【解析】（1）该基地销售每千克樱桃的价格的平均值为 15 50 18 100 18 80 20 70 1850 100 80 70           （元） ……………………………………2 分 （2） “线上”单日销售量不少于 150 千克的天数为 12 天， “线下”单日销售量不少于 150 千克的天数为 8 天. ①未来某天内”线上”樱桃销售量不小于 150 千克的概率为 12 3 20 5 ，…………………4 分 未来某天内”线下”樱桃销售量不小于 150 千克的概率为 82 20 5 ………………………6 分 ②因为 51 20 4 ，所以”线上”单日销售量不少于 150 千克的日期内选取 1 12 34 天，分 A B E C P F G 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·文数参考答案 第 5 页（共 7 页） 别记为 1 2 3,,a a a ，”线下”单日销售量不少于 150 千克的日期内选取 1 824 天，记为 12,bb……………………………………………………………………………………………8 分 从这 5 天内随机选出 3 天，所有的情况为 1 2 3( , , )a a a ， 1 2 1( , , )a a b ， 1 2 2( , , )a a b ， 1 1 3( , , )a b a ， 1 2 3( , , )a b a ， 1 2 3( , , )b a a ， 2 2 3( , , )b a a ， 1 1 2( , , )a b b ， 2 1 2( , , )a b b ， 3 1 2( , , )a b b ，共 10 种不 同的情况，……………………………………………………………………………………10 分 其中至多有一天是“线下”的情况有 1 2 3( , , )a a a ， 1 2 1( , , )a a b ， 1 2 2( , , )a a b ， 1 1 3( , , )a b a ， 1 2 3( , , )a b a ， 1 2 3( , , )b a a ， 2 2 3( , , )b a a ，共 7 种不同的情况， ………………………11 分 所以至多有一天是”线下”的概率为 7 10 ………………………………………………12 分 20.【解析】（1）由题可设 , 2 pBp  ，又 xy p   ，故 1xp py p  ∴C 在点 , 2 pBp  处的切线方程为 2 py x p   ，即 2 pyx ……………………4 分 对比  11y a x   ，∴ 1 1, 12 pa    ， ∴ 2ap，抛物线C 的方程为 2 4xy ；………………………………………………6 分 （2）由题意可知直线 m 斜率存在，可设 :m y kx b， 由 2 4xy y kx b     ，得 2 4 4 0x kx b   ，则 216 16 0kb    ， 设    1 1 2 2, , ,M x y N x y ，则 MN 中点 1 2 1 2,22 x x y yP   ， 点 P 到 x 轴的距离为 12 2 yy ∵ 124x x k ， 12 4x x b   ∴ 2 2 2 121 1 4 12MN k x x k k b         ，∴ 2 2 9 1bkk  12 2121 1 2 122 k x xyy b k b        2 2 91 1k k     2 2 9211k k    6 当且仅当 2 2 91 1k k  ，即 2 2k  ， 2k  时等号成立 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·文数参考答案 第 6 页（共 7 页） 此时 21, 16 16 0b k b     成立，符合题意 故所求直线方程为 21yx   …………………………………………………………12 分 21.【解析】（1）∵  fx在 0, 上单调递减， ∴    max 00a f x f   ，  gx  1 2cos x ……………………………………2 分 当  0,x  时，  gx 有唯一零点 3x  0, 3x  时，   0gx  ， ,3x   时，   0gx  ， 故在区间 0, 内  gx有极小值为 333g  ………………………………4 分 当  ,x   时，   233gx     ∴  min 33b g x    ， ∴ ab ……………………………………………………6 分 （2）∵       2 2 12sin 1 1 2sin 1x xf x g x x x x x ee         令     21 2sin xh x x x e   ，     23 2 4sin 2cos xh x x x x e     再令   sin , 0F x x x x   ，则   1 cos 0F x x    ∴   sinF x x x 在 0, 上单调递增， ∴    00F x F，即 sinxx ，∴ 2 2sinxx 又∵3 2sin 2cos 3 2 2 sin 04x x x       ∴3 2 4sin 2cos 0x x x    ，∴     23 2 4sin 2cos 0xh x x x x e      ∴  hx在 0, 上单调递增 ∴    01h x h，故    f x g x .…………………………………………………12 分 22.【解析】（1） cos , sinxy   代入方程 228 | |x y x y   ， 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·文数参考答案 第 7 页（共 7 页） 得 2 8 cos sin     ，即： 2 8 1 cos sin   ； ……………………………5 分 （2）法一：极坐标方程： 当 cos 0  时， 2 8 16 161 cos sin 2 sin 2      ，即 4  当 cos 0  时， 2 8 16 161 cos sin 2 sin 2      ，即 4  ∴曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 4 . 法二：直角坐标方程： 由 228x y x y   得， 22 228 2 xyxy    ，解得 2216xy， ∴曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 4 . …………………………………………10 分 23.【解析】（1）当 2a  时，   2 , 0 0, 0 2 4 2 , 2 xx f x x xx       ，由   0fx 得，02x；…5 分 （2）       1 max ,H x f x g x 的最小值 6Aa，       2 min ,H x f x g x 的最大值 2Ba ∴ 4AB   ……………………………………………………………10 分