高二下数学月考答案2020.6.pdf

试卷第 1 页，总 11 页 高二下学期数学月考试卷 2020.6 一、单选题（每小题 5 分，计 40 分） 1. 若复数 z 满足 3 i 2 6iz    （i 为虚数单位），则 z  （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 2. 若 22 1A 3 Cnn ，则 n 的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 3. 在某项测量中，测量结果 服从正态分布  21, ( 0)N  ，若 在 (0,2) 内取值 的概率为 0.8，则 在 (0, ) 内取值的概率为（ ） A．0.9 B．0.1 C．0.5 D．0.4 【答案】A 4. 函数 ( ) (e 1) lnxf x x x   的图象在点(1, (1))f 处的切线方程是（ ） A． 2e e 1yx   B． 2e e 1yx   C． 2e e 1yx   D． 2e e 1yx   【答案】A 5. 已知两变量 x 和 y 的一组观测值如下表所示： x 2 3 4 y 5 4 6 如果两变量线性相关，且线性回归方程为 7ˆ 2 ˆy bx，则 ^ b ＝( ) A．－ 1 10 B．－ 1 2 C． D． 【答案】D 6. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若 3 位女生中有且只有 2 位女生相邻， 则不同排法的种数是( ) 试卷第 2 页，总 11 页 A．36 B．24 C．72 D．144 【答案】C 7. 若 (2 )nx 的展开式中二项式系数最大的项只有第 6 项，则展开式的各项系数的绝． 对值．．之和为( ) A． 112 B． 102 C． 103 D． 113 【答案】C 8. 对于任意正实数 ,xy，不等式  2 ln lne yxx y x a     都成立，则实数 a 的取值 范围为（ ） A． 0,1 B． 1,e C． 1 ,ee    D． 21 ,ee    【答案】A 【详解】  2 ln lnyxx y xea    ，则 12 lnyy xe x a        ，设 y tx  ， 0t  ，   2 lntf t te  ，则   ln 2 1' tft e t e    ，   ln 2 1'0efe e e e     ，   2 12'' 0ft te t    恒成立，导函数单调递减， 故  0,te 时，  '0ft ，函数递增；当  ,te  时，  '0ft ，函数递减. 故    max 1f t f e，故 1 1a  ，故  0,1a . 二、多选题（每小题 5 分，计 20 分，多选得 0 分，少选得 3 分） 9. 某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车 4 辆工程车，将它们全部派往 3 个 工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有（ ）种方式． A．18 B． 1 1 1 1 3 2 1 3C C C C C． 1 2 2 3 4 2C C A D． 23 43CA 【答案】CD 试卷第 3 页，总 11 页 10. 下面是关于复数 2 1iz   （i 为虚数单位）的四个命题： ① 2z  ； ② 2 2iz  ； ③ z 的共轭复数为1i ； ④若 0 1zz，则 0z 的最大值为 21＋ . 其中正确的命题有( ) A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BD 11. 若满足     0f x f x ，对任意正实数 a ，下面不等式恒成立的是（ ） A．    2f a f a B．    2af a e f a C．    0f a f D．    0 a ffa e 【答案】BD 12. 定义在 R 上的函数  fx满足     2f x f x x   ，且当 0x 时，  f x x  ，记 集合 A      22111122x f x x f x x     ，若函数   eexg x x a    在 x ∈A 时存在零点，则实数 a 的取值可能是（ ） A． 1 2 B． 2 e C． 2 e D． e 【答案】BCD 解：令函数 21( ) ( ) 2T x f x x，因为 2( ) ( )f x f x x   ， 2 2 211( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 022T x T x f x x f x x f x f x x              ， ()Tx 为奇函数， 当 0x 时， ( ) ( ) 0T x f x x     ， 在 ,0 上单调递减， 在 R 上递减． ( ) (1 )T x T x ， 1xx ，即 1 2x ， () xg x e ex a   ； 1()2x ， 试卷第 4 页，总 11 页 0x 为函数 ()y g x 的一个零点； 当 1 2x 时， ( ) 0xg x e ex    ，函数 ()gx在 时单调递减， 由选项知 0a  ，取 1 2 ax e    ， 又 0 a eage e     ， 要使 在 时有一个零点， 只需使 11022g e e a    ，解得 2 ea ， a 的取值范围为 ,2 e   ． 三、填空题（每小题 5 分，计 20 分） 13. 已知随机变量 ~ (6, )Bp ，且期望 () 2E   ，则方差 ()V  ______． 【答案】 4 3 14. 若  2 3 4 0 1 2 3 4 412x a a x a x a x a x      ，则 1 2 3 4a a a a    __________． 【答案】80 15. 已知三棱锥 P—ABC 的底面是边长为 2 的正三角形，PC⊥底面 ABC，PC＝2，E 为 棱 PA 中点，则点 E 到平面 PBC 的距离为___________． 3 2 16. 设奇函数 f (x)定义在(－π, 0)∪(0, π)上，其导函数为 f (x)，且 f (π 2)＝0，当 0＜x＜π 时，有f (x)·sinx－f (x)·cosx＜0成立，则不等式f (x)＜2f (π 6)·sinx的解集．．是___________． 解：当 0＜x＜π 时，sinx＞0，∴f (x) sinx＜ f (π 6) sinπ 6 ，∵ f (x) sinx ＝f (x)·sinx－f (x)·cosx sin2x ＜0 ∴y＝f (x) sinx在(0,π)上单调递减，∵f (x) sinx＜ f (π 6) sinπ 6 ∴π 6＜x＜π， 当－π＜x＜0 时，sinx＜0，∵y＝f (x) sinx为偶函数，∴y＝f (x) sinx在(－π,0)上单调递增， 试卷第 5 页，总 11 页 ∴f (x) sinx＞ f (π 6) sinπ 6 ＝ f (－π 6) sin(－π 6) ，∴－π 6＜x＜0 ∴答案为：(－π 6,0)∪(π 6,π)． 四、解答题（共 6 小题，计 70 分） 17. 【本题满分 10 分，5+5】 已知二项式 3 2()nx x 展开式中的第 4 项是常数项，其中 n∈N． （1）求 n 的值； （2）求展开式中 3 4x 的系数．（用数字作答） 解：（1）二项式 展开式中的通项公式为 4 1 3( 2) nr rr rnT C x   ， 3r时， 12 03 n   ， 12n . （2）由（1）知， 3 44 1 12 ( 2) r rr rT C x    令 444 33 r，故 2r  ， 4 223 2 1 12 3 4( 2) 2= 64TC xx    故展开式中 的系数为 264. 18. 【本题满分 12 分，8+4】 下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费y（万元） 的几组对照数据： x（年） 2 3 4 5 6 y（万元） 1 2.5 3 4 4.5 （1）若知道 y 对 x 呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a； （2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用 10 年的维修费用为 9 万元，试根据（1） 求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用 10 年的维修费用能否比 技术改造前降低? 参考公式：      1 2 1 ˆ n ii i n i i x x y y b xx        ， ˆˆa y bx ． 试卷第 6 页，总 11 页 解：（1）根据所给表格数据计算得 23456 45x    , 1 2.5 3 4 4.5 35y    , 5 1 2 7.5 12 20 27 68.5ii i xy        , 5 2 1 4 9 16 25 36 90i i x        , 5 1 5 22 1 5 68.5 60ˆ 0.8590 205 ii i i i x y x y b xx          , ˆˆ 0.4a y bx    , 所以线性回归方程为 ˆ 0.85 0.4yx. （2）由（1）得，当 10x  时， ˆ 0.85 10 0.4 8.1y     ，即技术改造后的 10 年的 维修费用为 8.1 万元，相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了 0.9 万元. 19. 【本题满分 12 分，6+6】 已知四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是矩形，PD  平面 ，E 是 PB 的 中点， 2PD AD， 22AB  ． （1）求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小； （2）求二面角 E－AD－B 大小的余弦值． 【注：本题用综合法作答，不允许使用空间向量】 （1）π 4 （2） 6 3 试卷第 7 页，总 11 页 20. 【本题满分 12 分，3+4+5】 为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人 数之比为1: 4，且成绩分布在[0,60] 的范围内，规定分数在 50 以上（含 50）的作 文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取 400 人的成绩作为样本，得 到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中 ,,abc构成以 2 为公比的等比数列． （1）求 的值； （2）填写下面 22 列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下认为“获得 优秀作文”与“学生的文理科”有关？ 文科生 理科生 合计 获奖 6 不获奖 合计 400 （3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取 2 名学生， 记“获得优秀作文”的学生人数为 X ，求 的分布列及数学期望． 附： 2 2 () ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    .  2P K k 0.05 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：（1）由频率分布直方图可知， 10 ( ) 1 10 (0.018 0.022 0.025) 0.35a b c         ， 试卷第 8 页，总 11 页 因为 ,,abc构成以 2 为公比的等比数列，所以 2 4 0.035aaa   ，解得 0.005a  ， 所以 2 0.01ba ， 4 0.02ca . 故 ， 0.01b  ， 0.02c  . （2）获奖的人数为0.005 10 400 20   人， 因为参考的文科生与理科生人数之比为1: 4，所以 400 人中文科生的数量为 1400 805 ，理科生的数量为 400 80 320 . 由表可知，获奖的文科生有 6 人，所以获奖的理科生有 20 6 14 人，不获奖的文科生 有80 6 74 人. 于是可以得到 22 列联表如下： 文科生 理科生 合计 获奖 6 14 20 不获奖 74 306 380 合计 80 320 400 2 2 400 (6 306 14 74) 1.32 6.63520 380 80 320K         所以在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科” 有关. （3）由（2）可知，获奖的概率为 20 1 400 20 ， X 的可能取值为 0，1，2， 02 0 2 1 19 361( 0) 20 20 400P X C               ， 11 1 2 1 19 38 19( 1) 20 20 400 200P X C                ， 20 2 2 1 19 1( 2) 20 20 400P X C               ， 分布列如下： 试卷第 9 页，总 11 页 X 0 1 2 P 361 400 19 200 1 400 数学期望为 361 19 1 1( ) 0 1 2400 200 400 10EX        . 21. 【本题满分 12 分，6+6】 已知函数    21 2 1 2ln2f a a xx xx   ，其中 aR 。 （1）当 0a  时，讨论函数  fx的单调性； （2）当 0a  时，证明   2e 42fx x （其中 e 为自然对数的底数） 解：（1）由题意，函数 的定义域为 0,  ，            2 2 1 2 1 222 1 0ax a x ax xf x ax a xx x x             ， 当 10 2a时，  ' 0 0 2f x x    或 1x a ；   1' 0 2f x x a    ； 当 1 2a  时，    ' 0 ' 0f x f x   ； 当 1 2a  时，   1' 0 0f x x a    或 2x  ；   1'0f x xa     . 综上，当 时， 在 0,2 ， 1 ,a  上单调递增，在 12, a   上单调递减； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 10, a   ， 2,  上单调递增，在 1 ,2a   上单调递减. （2）当 时，由   24xf x e x   ，只需证明 ln 2xex， 令    ln 2 0xg x e x x    ，   1' xg x e x. 试卷第 10 页，总 11 页 设  0'0gx ，则  0 0 0 1 01xexx   . 当  00,xx 时，  '0gx ，  gx单调递减； 当  0,xx   时，  '0gx ， 单调递增， ∴当 0xx 时， 取得唯一的极小值，也是最小值. 的最小值是   0 00 0 0 00 1 1 1ln 2 ln 2 2 0x xg x e x xx e x          成立. 故   24xf x e x   成立. 【或：证明 ln 21x xex  ，再说明等号不同时取到】 22. 【本题满分 12 分，4+8】 已知函数 e( ) ln x f x a x axx    ，其中 aR ． （1）当 1a  时，求函数 ()fx的极值； （2）当 1a  时，若不等式 1( ) ( ) e 0xf x bx b xx      在 (1, )x  时恒成立， 求实数b 的取值范围． 解：（1）函数 f (x)的定义域为(0,+∞) 由题意，      22 11 1 xxx x e xxe efx x x x        , 令  =0fx 得，x=1 列表（略） ∴函数 f (x)的极大值为 e 1，无极小值。 （2）由题意，当 a=1 时，不等式   1 0xf x bx b e xx      在 x∈(1，+∞)时恒 成立. 整理，得  ln 1 0xx b x e   在(1，+∞)上恒成立. 试卷第 11 页，总 11 页 令    ln 1 xh x x b x e   . 易知，当 b≤0 时，   0hx ，不合题意. ∴b>0 又   1 xh x bxex   ，  11h be  . ①当 b≥ 1 e 时，  1 1 0h be   .又 在[1，+∞)上单调递减. ∴   0hx  在[1，+∞)上恒成立，则 h(x)在[1，+∞)上单调递减. 所以    h 1 0xh,符合题意； ② 10be时，  1 1 0h be   , 11 10hebb     , 又 在[1，+∞)上单调递减, ∴存在唯一 x0∈(1，+∞)，使得  0 0hx  . ∴当 h(x)在(1，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减. 又 h(x)在 x=1 处连续，h(1)=0，∴h(x)>0 在(1，x0)上恒成立，不合题意. 综上，实数 b 的取值范围为[ ，+∞ ).