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高三数学练习卷
讲评建议
填空题的答案必须根据设问的要求针对性作答，若所求的对象是集合，则答案必须以集合
的形式呈现；若求函数的定义域和值域，则要将结果写成集合或区间的形式；若求圆的标准方
程，则不能写成一般方程；若所求值为分式或分数，则要化为最简形式；填空题的书写要清晰
规范，不得潦草、模糊，要便于阅卷教师评判辨认．
1． 集合答题注意事项：（1）高考第一题出错的机率较高，要审清交集还是并集；（2）注意有限
集与无限集；（3）集合表示方法的规范性；（4）注意元素的互异性；（ 5）搞清题目要求填的
是元素、元素的个数还是集合．
2． 复数答题的注意事项：（1）复数的虚部是实数；（2）共轭复数的概念；（3）求模要开方；（ 4）
注意运用积的模等于模的积，商的模等于模的商简化运算．
3． 统计问题注意事项：（1）注意频率分布直方图纵轴上单位的意义（频率/组距）；（2）注意方
差与标准差的区别与联系；（3）所有频率之和为 1；（ 4）防止茎叶图概念的遗忘；（ 5）系统
抽样防止遗漏．
4． 算法答题注意事项：（1）细心审题，做好转化；（2）用表格的形式罗列循环的过程，循环的
次数；（3）数列运算问题要看清共有多少项．
5． 解析几何填空题如果是双曲线、抛物线一般为容易题，审题要认真. （1）双曲线要注意焦点
位置，标准方程的形式；（2）注意双曲线 ,,abc的关系与椭圆中 的关系的区别；（3）注
意双曲线与抛物线定义的应用；（4）抛物线要注意开口方向，焦点位置.椭圆填空题要注意焦
点所在位置，椭圆与不等式结合的题目及有关离心率问题要关注椭圆上点的坐标的取值范围；
（5）注意看清焦距与半焦距等问题，注意焦半径的取值范围．
6． （1）几何概型尽可能画出图形，找出相应的测度；（2）古典概型用罗列法列出所有基本事件；
（3）理科生不提倡用排列组合法；（ 4）注意是一次性取出还是多次取出 .
7． 不等式问题：（1）基本不等式重点突破二元及多元问题，利用基本不等式求最值问题注意等
号成立的条件，特别是多次运用不等式时；（2）二元问题可以消元化为一元问题，转化为求
函数的最值．
8． （1）等差数列与等比数列填空题要注意基本量法与运用等差、等比数列的性质两类方法的选
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择；（2）叠加法，叠乘法要注意项数；（3） 构造法主要是通过转化将数列转化为等差数列或
者等比数列处理;（4）等比数列要注意公比为 1 的特殊情况．（5）利用基本不等式或函数最
值得方法求数列中的最值问题要注意取等号的条件，注意 n 为正整数．
9． 函数填空题的常考点有：（1）抽象函数问题．主要考查函数周期性奇偶性的综合应用，常常
可以结合具体函数方便理解；（2）定义域．要注意对数的真数大于 0，开偶次方被开方数为
非负数，分式的分母不为 0；（ 3）函数的图象和性质，函数的零点，分段函数等问题.常用方
法有直接运算，数形结合，特殊化等方法.（4）导数相关问题．切线问题要注意在某点的切
线与过某点的切线的区别，单调区间要注意函数的定义域．
10． 今年要特别关注涉及数学文化数学史和新冠疫情相关的应用题．这类问题要认真阅读，弄清
其数学本质，提取出相关数学信息，准确求解．
11． 直线与圆解题时要注意：（1）注意挖掘图形的几何特征，注意尽可能画出图象，利用数形结
合；（2） 对于动态图形要借助临界位置帮助解题；（3）直线问题斜率不存在的情况（4）关
注隐圆问题．
12． 平面向量注意事项：（ 1）涉及特殊图形问题优先考虑坐标化(本题建系后设点 C 的坐标时要注
意其位置的范围，由此确定点 C 横坐标的取值范围)；（2）关注用平面向量的几何意义优化解
题；（3）用基底法要目标明确；（4）动态图形特殊化；（5）极化恒等式常常可以简化运算．
法一：设圆心为O ，连结OC OD， .
则 =( )DC AB OC OD AB OC AB OD AB
2= cos +1 (0 )3OC AB ， ，
所以， DC AB 的取值范围为(0 3)， .
法二：以 AB 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
则 312( 1 0) B(10) ( ), (cos sin )2 2 3A D C ，， ，， ， ， ， (0， ).
所以， 13=(2 0)(cos + sin )=2cos +1 (0 3)22DC AB ， ， ， .
法三：利用数量积的几何意义，可得.
13． 分段函数、周期函数、函数零点问题注意事项：常用方法有数形结合、参数分离，特别要关注
数形结合法的应用，注意临界点在分类讨论中的关键作用；建议重点关注与一次函数、二次函
数、特别是三次函数有关的分段函数问题．
解：令 ( ) 2 4=f x x u ，则由 ( ) 0fu 可得， 0u 或 2u ．
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所以，原函数零点个数即方程 ( )=2 4f x x 与 ( )=2 2f x x 不同解的个数，
即函数 ()y f x 的图象与直线 2 4, 2 2y x y x 公共点的个数．
由图可知，公共点个数共 5 个，
所以，函数的零点个数有 5 个．
14． 解三角形综合题要注意：（1）利用正弦定理及余弦定理进行边角转换；（2）三角形的内角和等
于 π ；（ 3）记住一些三角形中的恒等式常常能帮助解题；（ 4）数形结合常常可以简化运算．
法一：设 ABC△ 中角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， ．
由已知GA GC 得， 0GA GC，
所以，( )( ) 0BA BG BC BG ，
又 1()3BG BA BC，
代入，可得 2 2 25b a c.
又 2 2 2 2 cosa c b ac B ，
所以， 224 2 cos 2sin sin sin cosb ac B B A C B，即 （1）．
又 111tan tanAC，即 cos cos sin cos cos sin sin =1sin sin sin sinC sin sin
A C A C A C B
A C A A C
，
所以，sin sin sinB A C （2）.
由（1）（ 2）得 1tan 2B ．
法二：连结 BG 并延长，交 AC 于 D 点，过 B 作 BH AC 于 H 点．
若点 H 在线段 AC 上，则 tan tanBH BHACAH CH， ．
所以 11 1tan tan
AH CH AC
A C BH BH
，
从而 AC BH ．
若点 在线段 的延长线上，同理可得 .
设 =2AC ，则 23BH BD， ，所以 5DH ．
所以，点 H 在线段 的延长线上，
所以
5 1 5 1
tan tan 122tan tan( ) 1 tan tan 25 1 5 11 22
ABH CBHB ABH CBH ABH CBH
.
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15． 作答立体几何试题时，每个结论的得出要有理有据，不得含糊；每个逻辑段的推理条件要完备，
缺一不可；前后逻辑段的联系要紧密，无关信息不得混入，过程书写要清晰．考生在解题时要
注意：（1）应用直线和平面平行（垂直）的判定定理、性质定理时要把条件写全（如
EF BEF 平面 这些条件也不要省了），每个逻辑段的条件结论要准确；（2）涉及平面几何中
的有关结论要进行必要的证明；（3）对给出线段长度的题目要结合勾股定理等知识判断线线
之间的位置关系；（4）对直棱柱、正棱柱、长方体、正方体中有关结论不要乱用；（5）不要
乱用“准定理”；（ 6）认真书写防止笔误（特别是顶点字母）．
16． 高考三角题的区分度往往是阅卷时对规范性的要求程度决定的，在求解三角解答题时一定要规
范．作答时过程要完整，原始公式、变形过程、数据代入、结果呈现，要环环相扣；推理过程
要严谨规范，符号取舍时要说理清晰，不能凭感觉简单随意；确定一个角的值时，要结合角的
范围准确定论．（1）运用诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和差的三角函数公式、正
弦定理、余弦定理等公式时，必须分三步①呈现公式，②代入数据，③得出结果；（ 2）确定角
的值及应用平方关系时必须交代角的范围；（3）在精准确定角的范围时可利用三角函数的图像
及性质；（4）三角形中注意两边之和大于第三边，三角形的内角和等于 0180 ，三角形的每个内
角都在 0 π（ ， ）之间．
17．应用题解题注意事项：（ 1）解题前至少把题目读两遍；（2）读题后把题目中的信息进行梳理，
必要时把数据列表，平面图形类应用题建模时是设角参、数参还是点参均需要思考不同建模方案
背后的答题路径，比较以后再操作．特别注意如果题中已设变量情况下不要轻易另设其他变量．考
试最忌讳毫无规划，盲目求解，否则费时费力，得不偿失；（ 3）函数应用题要交代定义域；（4）
建模过程要分步求解，不要一次性给出最后结果；（5）实际问题要注意单位统一；（6）解出结果
后要检验是不是符合条件（如本题中半圆是不是在矩形内）；（7）最后要作答．
方法三：
（1）以 AB 所在的直线为 x 轴，AD 所在的直线为 y 轴，
建立平面直角坐标系 xOy．
设直线 MN 的方程为 y＝kx＋b(k0)，半圆的直径 2r，半圆的圆心为 O，
则 AM=b m，AN= b
k m， 22
bbO k ， ，
在直角三角形 AMN 中，∠MAN=π
2，所以 MN=2r= 2
11b
k
．
因为假山区域面积为 400 m2，
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所以1
2AM·AN=1
2b b
k = 400，所以 b2=－800k，
所以喷泉区域面积
S 喷泉= 2π
22
MN = 2
22
π 1 π 111 ( 800 ) 1 100π ( ) 200π8 8 ( )b k k kkk
== ≥ ，
当且仅当 1k 时，取等号．
此时 b=20
2，r =20， (10 2 10 2)O ， ．
所以半圆方程为 22( 10 2) ( 10 2) 400 ( 20 2 0)x y x y ．
因为 AB=100 m，AD=75 m，所以直线 BC，CD 方程分别为 x＝100，y＝75，
所以点 O 到 CD 的距离 d1=75－10
2＞20=r，
点 O 到 BC 的距离 d2=100－10
2＞20=r，
所以 AM=20
2＜75=AD，AN=20
2＜100=AB，
所以满足以 MN 为直径在矩形广场内画一半圆区域用于修建喷泉．
所以 S 喷泉取得最小值 200π m2．
答：喷泉区域面积的最小值为 200π m2．
（2）由（1）知，AM=b m，AN= b
k m， 22
bbO k ， ，
若 MN=100 m，则
22
2 10000bb
k
，所以 2
210000
bk
b
．
点 O 到 CD 的距离 1 75 2
bd ，
点 O 到 BC 的距离 2 100 2
bd k．
因为以 MN 为直径在矩形广场内画一半圆区域用于修建喷泉，
所以 1dr≥ ， 2dr≥ ，即 75 502
b ≥ ，100 502
b
k ≥ ，
所以 50b≤ ， 2
2
3 0310000
bk
b
， ．
注意到，在边 AD，AB 上分别取点 M，N，构成△AMN，
所以0 50b ≤ ．
所以假山区域面积 S 假山=1
2AM·AN=1
2b ()b
k = 21 100002bb
2 4 2 21110000 ( 5000) 2500000022b b b ，
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所以当 350 3bk ， 时，假山区域面积取得最大值为 1250
3 m2．
（另解）假山区域面积 S 假山=1
2AM·AN=1
2b ()b
k = 2
5000
1
k
k
，
记 2
35000( ) ( 0)31
kf k k
k
≤ ，则
2
22
5000( 1)( ) 0
(1 )
kfk
k
，
所以 2
5000
1
kfk
k
在 3 03
， 上是单调减函数，
所以当 3
3k 时，S 假山取得最大值 1250
3 m2．
答：假山区域面积的最大值为 1250
3 m2．
18．解析几何解答题注意事项：（ 1）审题时要注意长轴长、长半轴长等的区别，焦距长与 c 的
关系；（2）直线和圆、直线和椭圆问题注意图形几何特征的挖掘及几何性质的使用；（3）注重回
归圆锥曲线的定义，利用定义或者创造条件使用定义，巧妙解题，椭圆问题注意一些常规结论（使
用时要推导，本题中 B 为 OC 的中点一定要证明）；（ 4）解析几何本质上是几何问题，只不过是
运用坐标法或者方程转化为代数问题，因此要充分利用几何性质，优化解题路径，减少运算量，
如焦点弦问题注意定义的应用；（5）注意答题时间的把控（不要轻易放弃、也不要一条路走到
黑）．（6）对于直线与二次曲线的问题要注意点差法与常规方法的选择，设点与设斜率的选择．是
设点还是设直线？这需要根据具体试题而定（本题设点更方便）．在设点的前提下，答题路径是
怎样的？其中运算最为复杂的节点在哪里？这种运算是不是你熟悉的？同样设直线又怎样？在
对不同方案进行简单比较、规划以后再动手操作，必然会事半功倍．（7）权衡所设变量，合理选
择方法，从而优化解题思路，优化运算过程，避免死算蛮算，从整体角度观察，优化运算过程．例
如本题如果设直线 AB 的方程就是用 2x my这种形式，后续在解题中消去 x 解题方便．因此我
们在解解析几何题时要特别注重优化解题思路，提高运算求解能力．
19、20．近几年 19、20 难度有所下降，特别是第二问．基础弱的学生立足第一问，关注第二问，不
好高骛远；中等学生量力而行，力求第二问有所突破；优秀学生在确保前面题目正确的基础
上要体现解题的意志力．
21． 附加题三选二注意事项：（1）我市考生明确选择 A、B，如无特殊情况不选择其他题目（如 A、
B 确实有困难可尝试选择其它题目）；（2）A、B 在解题时不要急于求成，要确保将这 20 分收
入囊中．
22． 江苏高考近几年常常考空间向量和概率，适当关注数学归纳法及抛物线．空间向量问题解题
时一定要注意解题的规范性．（1）建系前一定要先证明作为坐标轴的三条直线两两垂直；（2）
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A
B
C D
A1
D1 C1
B1 M
N
x
z
y
O
求出各点的坐标后一定要检查；（ 3）要理清线线角、线面角、面面角与相应的向量所成角之
间的关系，防止出现符号错误、正余弦关系混乱错误；（4）如果引入字母表示相关角一点要
交代清楚；（5）最后要根据题目要求下明确的结论．
（方法二）连结 BD ，交 AC 于点O ．
因为直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长均相等，
所以底面 ABCD 是菱形，所以 AC BD ．
因为直四棱柱 中，
1DD 平面 ABCD ， AC BD ， 平面 ，
所以 1D D AC ， 1D D BD ．
过点O 作 1DD 的平行线l ，则l AC ，l BD ．
分别以直线CA DB l， ， 为 x y z， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）设直四棱柱 的棱长均为 2，则
1( 3 0 0) ( 3 0 0) (0 1 0) (0 1 1) (0 1 2)A C B M D ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，
所以 1( 3 1 1) (0 2 2)AM BD ， ， ， ， ， ．
设异面直线 1DB 与 1AM所成角为 ，
从而 1
1
1
22 10cos cos 55 2 2
AM BD
AM BD
AM BD
，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 10
5 ．
（2）由（1）得， ( 2 3 0 0)AC ，， ， ( 3 1 1)AM ， ， ．
设面 AMC 的一个法向量 1 1 1 1()x y z ， ，n ，
则 1
1
AC
AM
，
，
n
n
即 1
1
0
0
AC
AM
，
= ，
n
n
所以 1
1 1 1
2 3 0
30
x
x y z
，
，
所以 1 0x ，取 1 1y ，则 1 1z ，
即平面 的一个法向量为 1 ( 0 11) ，，n ．
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设 ( 2)N a b， ， ，则 31 3ba ，所以 3( 3 1 2)3CN a a ， ， ．
设平面 ACN 的法向量为 2 2 2 2()x y z ， ，n ，
则 2
2
AC
CN
，
，
n
n
即 2
2
0
0
AC
CN
，
= ，
n
n
所以
2
2 2 2
2 3 0
3( 3) (1 ) 0.3
x
a x a y z
，
所以 2 0x ，取 2 1y ，则 2
31 3za ，
即平面 的一个法向量为 2
3(0 1 1 )3 a，，n ，
则 12
12
12 2
32 23cos cos4 | | | 232 1 (1 )3
a
a
nnnn | n n ，
解得 3a ，即 ( 3 0 2)N ，， ，
所以当二面角 M AC N--的大小为 4
，点 N 与点 1C 重合．
23． 一般考生重点完成第一问，不要在第二问中耗费太多时间，基础好的同学在确保前三题的正
确率的基础上争取有所突破．
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