江苏省如皋中学2020届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷四含附加题PDF版(含答案)2份打包
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资料简介
江苏省如皋中学 2020 届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷四 一、填空题 1.已知集合퐴 = {0,9},퐵 = {1,2,9},则集合퐴 ∪ 퐵中的元素个数为 .4 2. 复数푧 = (4 − 2푖)(1 + 푖) (푖为虚数单位)的实部为 .6 3. 某中学为了了解高三年级女生的体重(单位:千克)情况,从中随机抽测了 100 名女生的体重, 所得数据均在区间[48,58]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 100 名女生中,体重在区间 [50,56]的女生数为 .75 4.已知抛物线 y2=4x 的准线是双曲线 22 2 1 2 xy a −=(a>0)的左准线,则 a= .√2 5.已知 2 sin cos( ) 4 =+,则 tan( ) 4  − 的值是 .− 1 2 6.已知{푎푛}是等比数列,푆푛是其前푛项和.若푎3 − 4푎1 = 12,푆4 = 17푆2,则푎2的值为 .±4 7. 设曲线 1 : 1( 0)xmC y e m+= −  上的一点 11( , )A x y ,曲线 2 : lnC y x= 上一点 22( , )B x y ,当 12yy= 时,对于任意的 12,xx都有 AB e 恒成立,则 m 的最小值为____1 8. 角形 ABC 外接圆直径为 AD,已知 BC=2, 3 2 AB BC = − ,则 AD BC=_______1 9. 在三角形 ABC 中,若 23( ) 2 | |CA AB CB AB AB +  = ,则 min 1(tan ) tan A B + = ______ 25 10. 已知 D 是 ABC△ 边 AC 上一点,且 1s 4 3 2 coC BDABD D A C== =, , ,则3AB BC+ 的 最大值为_______ 16 5 5 11. 已知椭圆 22 22: 1( 0)xyC a b ab + =   的左右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线与椭圆交于 AB 两 点,若 12AB F F= , 11 1 2 F A F B= ,则椭圆 C 的离心率为________1 145 18 + 12. 112 13. 已知直线 AC 过双曲线 22 22: 1( 0, 0)xyC a b ab − =   的右焦点 F 且与双曲线交于 A、C 两点, 1 2 AF CF= ,过点 F 作 BF AC⊥ 交双曲线左支于点 B,若 A、B 关于原点对称,则该双曲线的离心 率是_________ 17 3 14,已知函数 ( ) ln , ( ) ,f x x g x kx==若 ( ) ( )f x g x与 的图像有两个交点 1 2 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,则当 2 1 3x x  时,实数 k 的取值范围为________ 3(0, ln 3] 6 二、解答题 15. 如图,在 ABC△ 中, 6=AC , D 为 AB 边上一点, 2== ADCD ,且 4 6cos =BCD . (1)求sin B 的值; (2)求 ABC△ 的面积. 【解析】(1)在 ADC 中,由余弦定理得 4 1 222 )6(22 2 cos 222222 =  −+=  −+= CDAD ACCDADADC , 所以 4 15 4 11cos1sin 2 2 =    −=−= ADCADC , 因为 4 6cos =BCD , BCD 是三角形 BCD 的内角, 所以 4 10 4 61cos1sin 2 2 =      −=−= BCDBCD , 所以 )sin(sin BCDADCB −= BCDADCBCDADC −= sincoscossin 4 10 4 1 4 6 4 15 −= 8 10= . (2)在 BCD 中,由正弦定理得 BDC BC B CD BCD BD  =  =  sinsinsin , 4 8 10 4 102 sin sin =  =  = B BCDCDBD , A B C D (第 3 题) 62 8 10 4 152 sin sin =  =  = B BDCCDBC , 所以푆훥퐴퐵퐶 = 1 2 퐴퐵 ⋅ 퐵퐶 ⋅ 푠푖푛 ∠ 퐵 = 1 2 × 6 × 2√6 × √10 8 = 3√15 2 . 16. 如图,四面体 被一平面所截,平面与四条棱 分别相交于 四点, 且截面 是一个平行四边形, 平面 , . 求证: (1) ; (2) 平面 . 【解析】(1) 因为四边形 EFGH 为平行四边形,所以 EF HG∥ , 又 EF  平面 BCD , HG  平面 BCD ,所以 EF∥平面 BCD , 又 EF  平面 ABC ,平面 ABC 平面 BCD BC= ,所以 EF BC∥ . (2) 因为 AD ⊥ 平面 BCD , BC  平面 BCD ,所以 AD BC⊥ , 由(1)知 EF BC∥ ,所以 EF AD⊥ . 因为 BC CD⊥ ,所以 EF CD⊥ . 又 AD CD D= , AD 、 CD  平面 ACD , 所以 EF ⊥ 平面 ACD . 17. 某地开发一片荒地,如图,荒地的边界是以 C 为圆心,半径为 1 千米的圆周.已有两条互相垂 直的道路 OE,OF,分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A,B.现规划修建一条新路(由线段 MP, PQ⏜,线段 QN 三段组成),其中点 M,N 分别在 OE,OF 上,且使得 MP,QN 所在直线分别与荒地 的边界有且仅有一个接触点 P,Q,PQ⏜所对的圆心角为 6  .记 ∠PCA= 2 (道路宽度均忽略不计). (1)若 5 12  = ,求 QN 的长度; (2)求新路总长度的最小值. 【解析】(1)连接 CB,CN,CM,OM⊥ON,OM,ON,PM,QN 均与圆 C 相切 ∴CB⊥ON,CA⊥OM,CP⊥MP,CQ⊥NQ,∴CB⊥CA ∵∠PCA= 5 6 = ,∠PCQ= ,∴∠QCB= 52 6 6 2 2     − − − = , ABCD , , ,AB AC CD BD , , ,E F G H EFGH AD ⊥ BCD BC CD⊥ EF BC∥ EF ⊥ ACD F H E G D A C B 此时四边形 BCQN 是正方形,∴QN=CQ=1, 答:QN 的长度为 1 千米; (2)∵∠PCA= 2 ,可得∠MCP= ,∠NCQ= 2 3  − , 则 MP= tan , PQ 6 = ,NQ= 2tan tan2 tan 33tan( ) 23 3 tan 11 tan tan 3     − +− = = −+ 设新路长为 ()f  ,其中 ( 6  , 2  ),即 3tan 3   ∴ tan 3 3 4 2 3( ) tan tan 6 3 3 63 tan 1 3 tan 3 f       += + + = − + + + −− ≥ 2√3 + 휋 6 , 当 tan 3 = 时取“=”, 答:新路总长度的最小值为 2 3+ 6  . 18.. 16 分 19.. 20. 对于数列{}na ,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和,则称{}na 为 P 数列. (1)若{}na 的前 n 项和 32n nS =+,试判断{}na 是否是 P 数列,并说明理由; (2)设数列 1 2 3 10a a a a, , , , 是首项为 1− ,公差为 d 的等差数列,若该数列是 P 数列,求 d 的取 值范围; (3)设无穷数列{}na 是首项为 a 、公比为 q 的等比数列,有穷数列{ } { }nnbc, 是从{}na 中取出部分 项按原来的顺序所组成的不同数列,其所有项和分别为 12TT, ,求{}na 是 P 数列时 a 与 q 所 满足的条件,并证明命题“若 0a  且 12TT= ,则{}na 不是 P 数列”. 解:(1)由 32n nS =+,可知 11 23n n n na S S++= − =  , 故 1 3 2 0n nnaS+ − = −  对一切正整数 n 都成立,故{}na 是 P 数列. ················ 3 分 (2)由题意知,该数列的前 n 项和为 ( 1) 2n nnS n d−= − + , 1 1na nd+ = − + , 由数列 是 P 数列,可知 2 1 1a S a=,故公差 0d  . 2 1 3(1 ) 1 0 22nn dS a n d n+− = − + +  对满足19n≤ ≤ 中的每一个正整数 n 都成立, 即 2 3(1 ) 1 0 22 d n d n− + +  对于 都成立. ······································· 6 分 由 2 2 31 (1 ) 1 0 22 39 9(1 ) 1 0 22 d d d d   − + +    − + +  , , 可得 80 27 d ,故 d 的取值范围是 8(0 ) 27 , . ····· 8 分 (3)若{}na 是 P 数列,则 12a S a aq=  = , 若 0a  ,则 1q  ,又由 1nnaS+  对一切正整数 n 都成立, 可知 1 1 n n qaq a q − − ,即 12 ( )nq q − 对一切正整数 n 都成立, 由 1( ) 0n q  , 1( ) (0 1)n q  , ,故 20q− ≤ ,可得 2q≥ . 若 0a  ,则 1q  ,又由 1nnaS+  对一切正整数 n 都成立, 可知 1 1 n n qaq a q − − ,即 (2 ) 1nqq−对一切正整数 n 都成立, 又当 ( 1]q − −, 时, (2 ) 1nqq−当 2n = 时不成立, 故有 (0 1) (2 ) 1 q qq   − , , , 或 2 ( 1 0) (2 ) 1 q qq −  − , , , 解得 15( 0) (0 1) 2 q − , , . 所以{}na 是 P 数列时, a 与 q 所满足的条件为 0 2 a q    , ≥ , 或 0 15(0 1) ( 0) 2 a q   − , , , . 12 分 下面用反证法证明命题“若 0a  且 12TT= ,则{}na 不是 P 数列”. 假设{}na 是 P 数列,由 0a  ,可知 2q≥ 且{}na 中每一项均为正数, 若{}nb 中的每一项都在{}nc 中,则由这两数列是不同数列,可知 12TT , 若{}nc 中的每一项都在{}nb 中,同理可得 12TT . 若{}nb 中至少有一项不在{}nc 中且{}nc 中至少有一项不在{}nb 中, 设{ } { }nnbc, 是将{ } { }nnbc, 中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列,它们的所有项和分别 为 12TT, ,不妨设{ },{ }nnbc中的最大项在{}nb  中,设为 ma ,则 2m≥ , 则 2 1 2 1 1mmT a a a a T−+ + + ≤ ≤ ,故 21TT ,所以 21TT , 故总有 12TT ,与 12TT= 矛盾.故{}na 不是 P 数列.································· 16 分 附加题 21. 已知矩阵 的一个特征值为 3, 求 的另一个特征值及其对应的一个特征向量. 解:矩阵 M 的特征多项式为 = ……1 分 因为 方程 的一根,所以 ……………………………………3 分 由 ,得 ………………………………………… 5 分 设 对应的一个特征向量为 ,则 ,得 ……………8 分 令 , 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为 …………10 分 22. 已知直线l的参数方程为 12 2 3 2 xt y m t  =+  =+ (t 为参数),点 P(1,2)在直线l上. (1)求 m 的值; (2)以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C:ρ=4 与直线l交于两点 A, B 两点,求|PA|·|PB|的值. 解:(1)因为 ( )1,2P ,在直线l 上,所以 11 2 , 2 32, 2 t mt  =+  =+ 解得 23m =+ . (2)曲线C 的直角坐标方程为 2216xy+=, 将直线 l 的参数方程代入 C 的方程得 ( )2 1 2 3 11 0tt+ + − = , 设 A , B 所对应的参数分别为 1t , 2t ,则 12 11tt = , 故 12 11PA PB t t = = . 23. 如图,在三棱锥 A-BCD 中,已知 ,ABD BCD 都是边长为 2 的等边三角形,E 为 BD 中点,且 AE ⊥ 平面 BCD,F 为线段 AB 上一动点,记 BF BA = . (1)当 2 3  = 时,求异面直线 DF 与 BC 所成角的余弦值; (2)当二面角 A-CD-F 的余弦值 7 65 65 时,求  的值. 【解】连接 CE,以 EB,EC,EA 分别为 x,y,z 轴, 建立如图空间直角坐标系, 则 (0,0, 3)A , (1,0,0)B , (0, 3,0)C , ( 1,0,0)D − , 因为 F 为线段 AB 上一动点,且 BF BA = , 则 ( 1,0, 3) ( ,0, 3 )BF BA   = = − = − , 所以 (1 ,0, 3 )F − . (1)当 2 3  = 时, 1 2 3,0, 33 F   , 4 2 3,0, 33 DF  =  , (1, 3,0)CB =− , 22 22 4 73cos , 74 2 3 1 ( 3) 33 DF CB = = +  + −   . 所以异面直线 DF 与 BC 所成角的余弦值是 7 7 . (2)设平面 ACD 的一个法向量为 ( , , )n x y z= 由 ,n DA n DC⊥⊥得 ( , , ) (1,0, 3) 0 ( , , ) (1, 3,0) 0 x y z x y z  = = 化简得 30 30 xz xy  += += ,取 ( 3, 1, 1)n = − − 设平面 CDF 的一个法向量为 ( , , )m a b c= 由 ,m DF m DC⊥⊥得 ( , , ) (2 ,0, 3 ) 0 ( , , ) (1, 3,0) 0 abc abc   − = = ,化简得 (2 ) 3 0 30 ac ab  − + = += ,取 ( 3 , , 2)m   = − − 设二面角 A-CD-F 的平面角为  , 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) ( 1) ( 2) ( 1) 7 65| cos | | cos ,m | 65( 3 ) ( ) ( 2) ( 3) ( 1) ( 1) n        + −  − + −  −=   = = + − + −  + − + − , 化简得: 28 22 9 0− + = ,解得 1 2  = 或 9 4  = (舍去),所以 1 2  = . 24. (本小题满分 10 分) (1)证明: 1 1 ,,m m m n n nC C C m n N m n− + = +  ( 且 ); (2)证 明 : 对 一 切 正 整 数 n 和 一 切 实 数 ( 0, 1, , )x x n − − ,有 0 !( 1) ( 1)( 2) ( ) n mm n m xnC x m x x x n= −= + + + + . (1)右边= 1 ! ! !( 1 ) ( 1)! !( )! ( 1)!( 1)! !( 1)! !( 1)! m n n n n n m m n C m n m m n m m n m m n m + − + + ++ = = = − − − + − + − + =左边 (2)①当 1n = 时,左边= 11 11 x xx −= ++ =右边。 ②假设 nk= 时,对一切实数 ( 0, 1, , )x x k − − ,都有 0 !( 1) ( 1)( 2) ( ) k mm k m xkC x m x x x k= −= + + + + 成立, 那么,当 1( )n k k N = +  时,对一切实数 ( 0, 1, , ( 1))x x k − − + ,有 1 11 1 01 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 kk m m m m m k k k k mm x x xC C C x m x m x m + −+ + == − = + − + + −+ + + + 1 1 0 1 0 0 1( 1) ( 1) ( 1) ( ( 1) ) 11 k k k k m m m m m m t t k k k k m m m t x x x x xC C C C x m x m x m x t x + − = = = = += − + − = − − −  + + + + + +    !! ( 1)( 2) ( ) ( 2)( 3) ( 1) 1 k k x x x x k x x x k x = −  + + + + + + + +  ! ( 1) ( 1)! ( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2) ( 1) k x k x k x x x k x x x k + + − +== + + + + + + + + 。 所以,当时,等式成立。 故对一切正整数 n 和一切实数 ,有 。

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