江苏省如皋中学 2020 届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷四
一、填空题
1.已知集合퐴 = {0,9},퐵 = {1,2,9},则集合퐴 ∪ 퐵中的元素个数为 .4
2. 复数푧 = (4 − 2푖)(1 + 푖) (푖为虚数单位)的实部为 .6
3. 某中学为了了解高三年级女生的体重(单位:千克)情况,从中随机抽测了 100 名女生的体重,
所得数据均在区间[48,58]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 100 名女生中,体重在区间
[50,56]的女生数为 .75
4.已知抛物线 y2=4x 的准线是双曲线
22
2 1
2
xy
a
−=(a>0)的左准线,则 a= .√2
5.已知 2 sin cos( )
4
=+,则 tan( )
4
− 的值是 .− 1
2
6.已知{푎푛}是等比数列,푆푛是其前푛项和.若푎3 − 4푎1 = 12,푆4 = 17푆2,则푎2的值为 .±4
7. 设曲线 1 : 1( 0)xmC y e m+= − 上的一点 11( , )A x y ,曲线 2 : lnC y x= 上一点 22( , )B x y ,当
12yy= 时,对于任意的 12,xx都有 AB e 恒成立,则 m 的最小值为____1
8. 角形 ABC 外接圆直径为 AD,已知 BC=2, 3
2
AB BC = − ,则 AD BC=_______1
9. 在三角形 ABC 中,若 23( ) 2 | |CA AB CB AB AB + = ,则 min
1(tan )
tan
A
B
+ = ______ 25
10. 已知 D 是 ABC△ 边 AC 上一点,且 1s
4
3 2 coC BDABD D A C== =, , ,则3AB BC+ 的
最大值为_______ 16 5
5
11. 已知椭圆
22
22: 1( 0)xyC a b
ab
+ = 的左右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线与椭圆交于 AB 两
点,若 12AB F F= , 11
1
2
F A F B= ,则椭圆 C 的离心率为________1 145
18
+
12.
112
13. 已知直线 AC 过双曲线
22
22: 1( 0, 0)xyC a b
ab
− = 的右焦点 F 且与双曲线交于 A、C 两点,
1
2
AF CF= ,过点 F 作 BF AC⊥ 交双曲线左支于点 B,若 A、B 关于原点对称,则该双曲线的离心
率是_________ 17
3
14,已知函数 ( ) ln , ( ) ,f x x g x kx==若 ( ) ( )f x g x与 的图像有两个交点 1 2 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,则当
2
1
3x
x
时,实数 k 的取值范围为________ 3(0, ln 3]
6
二、解答题
15. 如图,在 ABC△ 中, 6=AC , D 为 AB 边上一点, 2== ADCD ,且
4
6cos =BCD .
(1)求sin B 的值;
(2)求 ABC△ 的面积.
【解析】(1)在 ADC 中,由余弦定理得
4
1
222
)6(22
2
cos
222222
=
−+=
−+=
CDAD
ACCDADADC ,
所以 4
15
4
11cos1sin
2
2 =
−=−= ADCADC ,
因为
4
6cos =BCD , BCD 是三角形 BCD 的内角,
所以 4
10
4
61cos1sin
2
2 =
−=−= BCDBCD ,
所以 )sin(sin BCDADCB −=
BCDADCBCDADC −= sincoscossin
4
10
4
1
4
6
4
15 −=
8
10= .
(2)在 BCD 中,由正弦定理得
BDC
BC
B
CD
BCD
BD
=
=
sinsinsin
,
4
8
10
4
102
sin
sin =
=
=
B
BCDCDBD ,
A B
C
D
(第 3 题) 62
8
10
4
152
sin
sin =
=
=
B
BDCCDBC ,
所以푆훥퐴퐵퐶 = 1
2 퐴퐵 ⋅ 퐵퐶 ⋅ 푠푖푛 ∠ 퐵 = 1
2 × 6 × 2√6 × √10
8 = 3√15
2
.
16. 如图,四面体 被一平面所截,平面与四条棱 分别相交于 四点,
且截面 是一个平行四边形, 平面 , . 求证:
(1) ;
(2) 平面 .
【解析】(1) 因为四边形 EFGH 为平行四边形,所以 EF HG∥ ,
又 EF 平面 BCD , HG 平面 BCD ,所以 EF∥平面 BCD ,
又 EF 平面 ABC ,平面 ABC 平面 BCD BC= ,所以 EF BC∥ .
(2) 因为 AD ⊥ 平面 BCD , BC 平面 BCD ,所以 AD BC⊥ ,
由(1)知 EF BC∥ ,所以 EF AD⊥ .
因为 BC CD⊥ ,所以 EF CD⊥ .
又 AD CD D= , AD 、 CD 平面 ACD ,
所以 EF ⊥ 平面 ACD .
17. 某地开发一片荒地,如图,荒地的边界是以 C 为圆心,半径为 1 千米的圆周.已有两条互相垂
直的道路 OE,OF,分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A,B.现规划修建一条新路(由线段 MP,
PQ⏜,线段 QN 三段组成),其中点 M,N 分别在 OE,OF 上,且使得 MP,QN 所在直线分别与荒地
的边界有且仅有一个接触点 P,Q,PQ⏜所对的圆心角为
6
.记 ∠PCA= 2 (道路宽度均忽略不计).
(1)若 5
12
= ,求 QN 的长度;
(2)求新路总长度的最小值.
【解析】(1)连接 CB,CN,CM,OM⊥ON,OM,ON,PM,QN 均与圆 C 相切
∴CB⊥ON,CA⊥OM,CP⊥MP,CQ⊥NQ,∴CB⊥CA
∵∠PCA= 5
6
= ,∠PCQ= ,∴∠QCB= 52
6 6 2 2
− − − = ,
ABCD , , ,AB AC CD BD , , ,E F G H
EFGH AD ⊥ BCD BC CD⊥
EF BC∥
EF ⊥ ACD
F
H
E
G
D
A
C
B 此时四边形 BCQN 是正方形,∴QN=CQ=1,
答:QN 的长度为 1 千米;
(2)∵∠PCA= 2 ,可得∠MCP= ,∠NCQ= 2
3
− ,
则 MP= tan , PQ
6
= ,NQ=
2tan tan2 tan 33tan( ) 23 3 tan 11 tan tan
3
− +− = =
−+
设新路长为 ()f ,其中 (
6
,
2
),即 3tan
3
∴ tan 3 3 4 2 3( ) tan tan
6 3 3 63 tan 1 3 tan 3
f
+= + + = − + + +
−−
≥ 2√3 + 휋
6
,
当 tan 3 = 时取“=”,
答:新路总长度的最小值为 2 3+
6
.
18..
16 分
19..
20. 对于数列{}na ,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和,则称{}na 为 P 数列.
(1)若{}na 的前 n 项和 32n
nS =+,试判断{}na 是否是 P 数列,并说明理由;
(2)设数列 1 2 3 10a a a a, , , , 是首项为 1− ,公差为 d 的等差数列,若该数列是 P 数列,求 d 的取
值范围;
(3)设无穷数列{}na 是首项为 a 、公比为 q 的等比数列,有穷数列{ } { }nnbc, 是从{}na 中取出部分
项按原来的顺序所组成的不同数列,其所有项和分别为 12TT, ,求{}na 是 P 数列时 a 与 q 所
满足的条件,并证明命题“若 0a 且 12TT= ,则{}na 不是 P 数列”.
解:(1)由 32n
nS =+,可知 11 23n
n n na S S++= − = ,
故 1 3 2 0n
nnaS+ − = − 对一切正整数 n 都成立,故{}na 是 P 数列. ················ 3 分
(2)由题意知,该数列的前 n 项和为 ( 1)
2n
nnS n d−= − + , 1 1na nd+ = − + ,
由数列 是 P 数列,可知 2 1 1a S a=,故公差 0d .
2
1
3(1 ) 1 0
22nn
dS a n d n+− = − + + 对满足19n≤ ≤ 中的每一个正整数 n 都成立,
即 2 3(1 ) 1 0
22
d n d n− + + 对于 都成立. ······································· 6 分
由
2
2
31 (1 ) 1 0
22
39 9(1 ) 1 0
22
d d
d d
− + +
− + +
,
,
可得 80
27
d ,故 d 的取值范围是 8(0 )
27
, . ····· 8 分
(3)若{}na 是 P 数列,则 12a S a aq= = , 若 0a ,则 1q ,又由 1nnaS+ 对一切正整数 n 都成立,
可知 1
1
n
n qaq a
q
−
−
,即 12 ( )nq
q
− 对一切正整数 n 都成立,
由 1( ) 0n
q
, 1( ) (0 1)n
q
, ,故 20q− ≤ ,可得 2q≥ .
若 0a ,则 1q ,又由 1nnaS+ 对一切正整数 n 都成立,
可知 1
1
n
n qaq a
q
−
−
,即 (2 ) 1nqq−对一切正整数 n 都成立,
又当 ( 1]q − −, 时, (2 ) 1nqq−当 2n = 时不成立,
故有 (0 1)
(2 ) 1
q
qq
−
, ,
,
或 2
( 1 0)
(2 ) 1
q
qq
−
−
, ,
,
解得 15( 0) (0 1)
2
q − , , .
所以{}na 是 P 数列时, a 与 q 所满足的条件为 0
2
a
q
,
≥ ,
或
0
15(0 1) ( 0)
2
a
q
−
,
, , .
12 分
下面用反证法证明命题“若 0a 且 12TT= ,则{}na 不是 P 数列”.
假设{}na 是 P 数列,由 0a ,可知 2q≥ 且{}na 中每一项均为正数,
若{}nb 中的每一项都在{}nc 中,则由这两数列是不同数列,可知 12TT ,
若{}nc 中的每一项都在{}nb 中,同理可得 12TT .
若{}nb 中至少有一项不在{}nc 中且{}nc 中至少有一项不在{}nb 中,
设{ } { }nnbc, 是将{ } { }nnbc, 中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列,它们的所有项和分别
为 12TT, ,不妨设{ },{ }nnbc中的最大项在{}nb 中,设为 ma ,则 2m≥ ,
则 2 1 2 1 1mmT a a a a T−+ + + ≤ ≤ ,故 21TT ,所以 21TT ,
故总有 12TT ,与 12TT= 矛盾.故{}na 不是 P 数列.································· 16 分
附加题
21. 已知矩阵 的一个特征值为 3, 求 的另一个特征值及其对应的一个特征向量.
解:矩阵 M 的特征多项式为 = ……1 分
因为 方程 的一根,所以 ……………………………………3 分
由 ,得 ………………………………………… 5 分
设 对应的一个特征向量为 ,则 ,得 ……………8 分
令 ,
所以矩阵 M 的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为 …………10 分 22. 已知直线l的参数方程为
12
2
3
2
xt
y m t
=+
=+
(t 为参数),点 P(1,2)在直线l上.
(1)求 m 的值;
(2)以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C:ρ=4 与直线l交于两点 A,
B 两点,求|PA|·|PB|的值.
解:(1)因为 ( )1,2P ,在直线l 上,所以
11 2 ,
2
32,
2
t
mt
=+
=+
解得 23m =+ .
(2)曲线C 的直角坐标方程为 2216xy+=,
将直线 l 的参数方程代入 C 的方程得 ( )2 1 2 3 11 0tt+ + − = ,
设 A , B 所对应的参数分别为 1t , 2t ,则 12 11tt = ,
故 12 11PA PB t t = = .
23. 如图,在三棱锥 A-BCD 中,已知 ,ABD BCD 都是边长为 2 的等边三角形,E 为 BD
中点,且 AE ⊥ 平面 BCD,F 为线段 AB 上一动点,记 BF
BA
= .
(1)当 2
3
= 时,求异面直线 DF 与 BC 所成角的余弦值;
(2)当二面角 A-CD-F 的余弦值 7 65
65
时,求 的值.
【解】连接 CE,以 EB,EC,EA 分别为 x,y,z 轴,
建立如图空间直角坐标系,
则 (0,0, 3)A , (1,0,0)B , (0, 3,0)C , ( 1,0,0)D − ,
因为 F 为线段 AB 上一动点,且 BF
BA
= ,
则 ( 1,0, 3) ( ,0, 3 )BF BA = = − = − ,
所以 (1 ,0, 3 )F − .
(1)当 2
3
= 时, 1 2 3,0,
33
F
, 4 2 3,0,
33
DF
=
, (1, 3,0)CB =− ,
22
22
4
73cos ,
74 2 3 1 ( 3)
33
DF CB = =
+ + −
.
所以异面直线 DF 与 BC 所成角的余弦值是 7
7
.
(2)设平面 ACD 的一个法向量为 ( , , )n x y z=
由 ,n DA n DC⊥⊥得 ( , , ) (1,0, 3) 0
( , , ) (1, 3,0) 0
x y z
x y z
=
=
化简得
30
30
xz
xy
+=
+=
,取 ( 3, 1, 1)n = − −
设平面 CDF 的一个法向量为 ( , , )m a b c= 由 ,m DF m DC⊥⊥得
( , , ) (2 ,0, 3 ) 0
( , , ) (1, 3,0) 0
abc
abc
− =
=
,化简得 (2 ) 3 0
30
ac
ab
− + =
+=
,取 ( 3 , , 2)m = − −
设二面角 A-CD-F 的平面角为 ,
2 2 2 2 2 2
3 3 ( ) ( 1) ( 2) ( 1) 7 65| cos | | cos ,m |
65( 3 ) ( ) ( 2) ( 3) ( 1) ( 1)
n
+ − − + − −= = =
+ − + − + − + −
,
化简得: 28 22 9 0− + = ,解得 1
2
= 或 9
4
= (舍去),所以 1
2
= .
24. (本小题满分 10 分)
(1)证明: 1
1 ,,m m m
n n nC C C m n N m n−
+ = + ( 且 );
(2)证 明 : 对 一 切 正 整 数 n 和 一 切 实 数 ( 0, 1, , )x x n − − ,有
0
!( 1)
( 1)( 2) ( )
n
mm
n
m
xnC
x m x x x n=
−=
+ + + + .
(1)右边= 1
! ! !( 1 ) ( 1)!
!( )! ( 1)!( 1)! !( 1)! !( 1)!
m
n
n n n n m m n C
m n m m n m m n m m n m +
− + + ++ = = =
− − − + − + − + =左边
(2)①当 1n = 时,左边= 11
11
x
xx
−=
++
=右边。
②假设 nk= 时,对一切实数 ( 0, 1, , )x x k − − ,都有
0
!( 1)
( 1)( 2) ( )
k
mm
k
m
xkC
x m x x x k=
−=
+ + + +
成立,
那么,当 1( )n k k N = + 时,对一切实数 ( 0, 1, , ( 1))x x k − − + ,有
1
11
1
01
( 1) 1 ( 1) ( 1)
1
kk
m m m m m k
k k k
mm
x x xC C C
x m x m x m
+
−+
+
==
− = + − + + −+ + + +
1
1
0 1 0 0
1( 1) ( 1) ( 1) ( ( 1) )
11
k k k k
m m m m m m t t
k k k k
m m m t
x x x x xC C C C
x m x m x m x t x
+
−
= = = =
+= − + − = − − −
+ + + + + +
!!
( 1)( 2) ( ) ( 2)( 3) ( 1) 1
k k x
x x x k x x x k x
= −
+ + + + + + + +
! ( 1) ( 1)!
( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2) ( 1)
k x k x k
x x x k x x x k
+ + − +==
+ + + + + + + +
。
所以,当时,等式成立。
故对一切正整数 n 和一切实数 ,有 。