北大附中 2020 届高三阶段性检测
数 学 2020.6
本试卷共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项。
1．复数 2
1i
（ i 为虚数单位）的共轭复数是
A. 1i B. 1i C. 1i D. 1i
2．设集合 {13}AxxN ， 2{1,}Byyxx R ，则 AB
A. {0,1,2,3} B. {1,2,3} C. [1,3] D. [0,3]
3. 设向量 (1,1),(1,3),(2,1)abc ，且()abc ，则
A． 3 B. 2 C. 2 D. 3
4. 在 101()xx 的展开式中， 4x 的系数为
A． 210 B. 120 C. 120 D. 210
5．已知平面 ,, 直线 ,mn满足 ,,mn 则“ //mn”是 “ //”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知正项数列 {}na 中， 1 1a ， 2 2a ， 222
112(2)nnnaaan ，则 6a 等于
A． 16 B． 8 C． 22 D． 4
7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3
2
，则正视图中的 x 的值是
A．2 B． 9
2
C． 3
2 D．3
8.若 ()sincosfxxx 在 [ , ] aa 上是增函数，则 a 的最大值是
A．
6
B．
4
C．
3
D．
2
9.德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金
分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金三角形有
两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角
为 36°的等腰三角形(另一种是顶角为 108°的等腰三角形)。例如，五角星由五个黄金三角形
与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中， 51
2
BC
AC
.根据这些信
息，可得 sin126°＝
A. 1 2 5
4
B. 35
8
C. 15
4
D. 45
8
10.甲、乙、丙三人尝试在下面的表格中填入第二排的数字，使得第一个数字表明这一排中 0
的数量，第二个数字表明这一排中 1 的数量，第三个数字表明这一排中 2 的数量，依此类
推，最后一个数字表明这一排中 6 的数量。
0 1 2 3 4 5 6
甲说：“第七个数字一定是 0”；
乙说：“这些数字的和是 7，所以第一个数字不能比 3 大”；
丙说：“这七个数字有且只有一种填法”
其中，说法正确的是
A. 甲 B. 乙 C. 甲 乙 D. 甲 乙 丙
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。
11．双曲线
2
2 14
yx 的渐近线方程为___，焦距为___.
12. 设 nS 为等比数列 {}na 的前 n 项和，若 1 1a ，且 1233 ,2 ,S S S 成等差数列，则 na ．
13. 不恒为常数的函数 ()fx的定义域为 R，且 为奇函数， ( 1)fx 为偶函数， 写出
一个满足条件的 的解析式____.
14．已知函数 2
, 0,()
, 0.
xxfx
xx
若 ()(1)5fxfx , 则 x 的取值范围是___.
15．已知曲线 C 是平面内到定点 (0 ,1)F 和定直线 :1ly 的距离之和等于 3 的动点 P 的轨
迹，则曲线 的一条对称轴方程是___, ||PF 的最小值是___.
三、解答题共 6 题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.（本小题共 14 分）
如图，在四棱锥 P A B C D 中，底面 A B C D 是边长为 1 的正方形， BC ^ PB ，平面
PAD ^ 平面 A B C D ，且 3PC ， E 为棱 PC 的中点.
（Ⅰ）求证： PA 平面 ；
（Ⅱ）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值.
17．（本小题共 14 分）
在 ABC 中，
3A ， 7a ,___________，求 AB 边上的高．
从① 21sin 7C ② 2cb ③ 33
2ABCS ,这三个条件中任选一个，补充在上面问题
中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
A
B C
D
P
E
B
D18.（本小题共 14 分）
某学校对甲、乙、丙、丁四支足球队进行了一次选拔赛，积分前两名的球队将代表学校
参加上级比赛。选拔赛采用单循环制（每两个队比赛一场），胜一场积 3 分，平一场积 1 分，
负一场积 0 分．经过三场比赛后，积分状况如下表所示：
甲 乙 丙 丁 积分 名次
甲 3：3 5：3 4：1 7
乙 3：3 1
丙 3：5 0
丁 1：4 0
根据以往的比赛情况统计，乙队与丙队比赛，乙队胜或平的概率均为 1
4
，乙队与丁队比
赛，乙队胜、平、负的概率均为 1
3
，且四个队之间比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求选拔赛结束后，乙队与甲队并列第 1 名的概率；
（Ⅱ）设随机变量 Χ 为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量 的分布列与数学期望；
（Ⅲ）在目前的积分情况下，不论后面的比赛中丙队与丁队相互比赛的结果如何，乙队一定
能代表学校参加上级比赛的概率是多少？说明理由.
19．（本小题共 14 分）
已知椭圆
22
22:1(0)xyCabab 经过点 ( 2,0), (0, 1)AB.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及其离心率；
（Ⅱ）若 P 为椭圆 上第一象限的点，直线 PA 交 y 轴于点 M ，直线 PB 交 x 轴于点 N .
求证：四边形 MABN 的面积 S 为定值.
20．（本小题共 15 分）
已知函数 1()ln1(0)fxaxa x .
（Ⅰ）讨论函数 ()fx的单调性；
（Ⅱ）若 ( ) 1f x a 对 (0 , )x 恒成立，求 a 的取值范围；
（Ⅲ）当 ea 时，关于 x 的方程 2 ()|() |0fxbfxc 有 7 个不同实数根，写出
bc 的值.(结论不要求证明)
21.（本小题共 14 分）
已知 ,ij mn
Aa
为 m 行 n 列的数表（ 2 , 2mn），称第 i 行 j 列的数 ,ija 为数表 A
的一个元素. 现给定 A 中所有元素 , 1ija ，定义 A 中第 i 行最大的数与第二大的数（这两数
可以相等）的比值为 iR ，第 j 列的最大数与第二大的数（两数也可以相等）的比值为 jC ，
, min{,}ijijbRC ，记 1AA ，由 1A 生成 2,ij mn
Ab
，同样的方法，由 2A 生成 3 ,A 3A
生成 4A ，...... .为了方便，我们可以把 kA 中的 , ,,i j i ja R C 记为 , , , ,,,i j k i k j ka R C .
（Ⅰ）若 1A 如表 1 所示，直接写出 2A ；
（Ⅱ）证明： 3A 中一定有一行或者一列为 1；
（Ⅲ）若 1A 如表 2 所示， 2n ，且 121... naaa ，
证明：存在 ,k kA 中所有元素都为 1.
1 2 3
6 5 4
1 1 ... 1
1a 2a ...
na
表 1
表 2
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